高考理科数学专题复习练习9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程

高考理科数学专题复习练习9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程

第九章解析几何 ‎9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程 专题2‎ 直线的方程 ‎■(2015河南省六市高考数学二模,直线的方程,填空题,理14)曲线C1:=1与曲线C2:=1所围成图形的面积为　　　　. ‎ 解:对于曲线C1:=1,‎ 当x>0,y>0时,=1,‎ 当x>0,y<0时,=1,‎ 当x<0,y<0时,=-1,‎ 当x<0,y>0时,=-1;‎ 对于曲线C2:=1,‎ 当x>0,y>0时,=1,‎ 当x>0,y<0时,=1,‎ 当x<0,y<0时,=-1,‎ 当x<0,y>0时,=-1.‎ 在同一坐标系中画出这8条线段,它们所围成的图形是四边形ABCD和四边形EFGH,‎ 如图所示.‎ 由得点A;‎ ‎∴△ABC的面积为S△ABD=BD·yA=×4×;‎ ‎∴四边形ABCD的面积为=2×;‎ 由C1,C2所围成的图形的面积为 S==2×.‎ 故答案为.‎ 答案:‎ ‎9.2点与直线、两条直线的位置关系 专题3‎ 距离公式 ‎■(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考,距离公式,选择题,理12)已知实数a,b,c,d满足=1,其中e是自然对数的底数,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.4 B.8 C.12 D.18‎ 解析:∵实数a,b,c,d满足=1,∴b=a-2ea,d=2-c,‎ ‎∴点(a,b)在曲线y=x-2ex上,点(c,d)在曲线y=2-x上,‎ ‎(a-c)2+(b-d)2的几何意义就是曲线y=x-2ex到曲线y=2-x上点的距离最小值的平方.‎ 考查曲线y=x-2ex平行于直线y=2-x的切线,‎ ‎∵y'=1-2ex,令y'=1-2ex=-1,‎ 解得x=0,∴切点为(0,-2),‎ 该切点到直线y=2-x的距离d==2就是所要求的两曲线间的最小距离,‎ 故(a-c)2+(b-d)2的最小值为d2=8.‎ 故选B.‎ 答案:B ‎9.3圆的方程 专题3‎ 与圆有关的最值问题 ‎■(2015甘肃省张掖市高考数学4月模拟,与圆有关的最值问题,选择题,理10)圆心在曲线y=(x>0)上,且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(x-1)2+(y-2)2=5 B.(x-2)2+(y-1)2=5‎ C.(x-1)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y-1)2=25‎ 解析:设圆心为(a>0),‎ 则r=,当且仅当a=1时等号成立.‎ 当r最小时,圆的面积S=πr2最小,此时圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.故选A.‎ 答案:A ‎9.4直线与圆、圆与圆的位置关系 专题1‎ 直线与圆的位置关系 ‎■(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考,直线与圆的位置关系,填空题,理16)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C有公共点,则k的最小值是　　　　　. ‎ 解析:圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,即圆C的方程为(x-4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;‎ 又直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,‎ ‎∴只需圆C':(x-4)2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可.‎ 设圆心C(4,0)到直线y=kx+2的距离为d,则d=≤2,即3k2≤-4k,‎ 求得-≤k≤0,故k的最小值是-,‎ 故答案为-.‎ 答案:-‎ ‎■(2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,直线与圆的位置关系,填空题,理16)在平面直角坐标系xOy中,设A,B,C是圆x2+y2=1上相异三点,若存在正实数λ,μ,使得=λ+μ,则λ2+(μ-3)2的取值范围是　　　　. ‎ 解析:因为A,B,C互异,所以-1<<1,‎ 由=λ+μ,得λ2=1+μ2-2μ,‎ 则f(μ)=λ2+(μ-3)2‎ ‎=1+μ2-2μ+(μ-3)2‎ ‎=2μ2-6μ-2μ+10‎ ‎>2μ2-8μ+10≥2.‎ f(μ)=2μ2-6μ-2μ+10‎ ‎<2μ2-4μ+10,无最大值,‎ ‎∴λ2+(μ-3)2的取值范围是(2,+∞).‎ 故答案为(2,+∞).‎ 答案:(2,+∞)‎ ‎9.5椭圆 专题2‎ 椭圆的几何性质 ‎■(2015甘肃省张掖市高考数学4月模拟,椭圆的几何性质,选择题,理11)已知F1(-c,0),F2(c,0)是椭圆=1(a>b>0)的左右两个焦点,P为椭圆上的一点,且=c2,则椭圆的离心率的取值范围为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析:设P(x0,y0),则=1,∴=b2.‎ ‎∵=c2,‎ ‎∴(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=c2,‎ 化为-c2+=c2,∴+b2=2c2,‎ 化为(3c2-a2),∵0≤≤a2,∴0≤(3c2-a2)≤a2,‎ 解得≤e≤.故选D.‎ 答案:D 专题3‎ 直线与椭圆的位置关系 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学二模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)设M是焦距为2的椭圆E:=1(a>b>0)上一点,A,B是其左右顶点,直线MA与MB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)已知椭圆E:=1(a>b>0)上点N(x,y)处切线方程为=1,若与椭圆E相切于C(x1,y1),D(x2,y2)两点的切线相交于P点,且=0,求证:点P到原点距离为定值.‎ ‎(1)解:设A(-a,0),B(a,0),M(m,n),则=1,‎ 即n2=b2·,‎ 由k1k2=-,即=-,‎ 即有=-,‎ 即为a2=2b2,又c2=a2-b2=1,‎ 解得a2=2,b2=1.‎ 即有椭圆E的方程为+y2=1.‎ ‎(2)证明:设切点C(x1,y1),D(x2,y2),‎ 则两切线方程PC,PD分别为+y1y=1,+y2y=1,‎ 解得P,‎ 由=0,则PC⊥PD,‎ 即有kPC=,‎ 由于+2=2,即有-2=-2,1-,‎ 代入上式,可得kPC=,‎ 同理可得kPD=,‎ 即有kPC·kPD=-1,即为x1x2=-4y1y2,‎ 又=2-2=2-2,‎ 即有|PO|2=,‎ 又(x1x2)2=16(y1y2)2,‎ 即有(2-2)(2-2)=16(y1y2)2,‎ 即(1-)(1-)=4(y1y2)2,‎ 即(1-),‎ 则|PO|2==3,‎ 即|PO|=,‎ 故P到原点距离为定值.‎ ‎■(2015甘肃省兰州一中三模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)‎ 如图,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,左焦点为F,A,B,C为其三个顶点,直线CF与AB交于点D,若△ADC的面积为15.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)是否存在分别以AD,AC为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的圆心坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)设左焦点F的坐标为(-c,0),其中c=,‎ ‎∵e=,‎ ‎∴a=c,b=c.‎ ‎∴A,B,C,‎ ‎∴AB:-=1,CF:-=1,‎ 联立解得D点的坐标为.‎ ‎∵△ADC的面积为15,‎ ‎∴|xD|·|AC|=15,‎ 即c·2·c=15,‎ 解得c=3,∴a=5,b=4,‎ ‎∴椭圆C的方程为=1.‎ ‎(2)由(1)知,A点的坐标为(0,4),D点的坐标为.‎ 假设存在这样的两个圆M与圆N,其中AD是圆M的弦,AC是圆N的弦,‎ 则点M在线段AD的垂直平分线上,点N在线段AC的垂直平分线y=0上.‎ 当圆M和圆N是两个相外切的等圆时,一定有A,M,N在一条直线上,且AM=AN.‎ ‎∴M,N关于点A对称,设M(x1,y1),‎ 则N(-x1,8-y1),‎ 根据点N在直线y=0上,∴y1=8.‎ ‎∴M(x1,8),N(-x1,0),而点M在线段AD的垂直平分线y-=-上,可求得x1=-.‎ 故存在这样的两个圆,且这两个圆的圆心坐标分别为M,N.‎ ‎9.6双曲线 专题2‎ 双曲线的几何性质 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学二模,双曲线的几何性质,选择题,理9)已知双曲线C:=1(a>0,b>0),斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A,B两点,若与向量n=(-3,-1)共线,则双曲线C的离心率为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D.‎ 解析:双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为(-c,0),‎ 斜率为1的直线方程设为y=x+c,‎ 代入双曲线的方程得(b2-a2)x2-2a2cx-a2c2-a2b2=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=,y1+y2=x1+x2+2c=+2c=,‎ 若与向量n=(-3,-1)共线,则有y1+y2=(x1+x2),‎ 即有a2=3b2,即c2=a2+b2=a2,‎ 即e=.‎ 故选B.‎ 答案:B ‎■(2015河南省六市高考数学二模,双曲线的几何性质,选择题,理11)如图,已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q,若∠PAQ=60°且=3,则双曲线C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D.2‎ 解析:因为∠PAQ=60°且=3,‎ 所以△QAP为等边三角形,设AQ=2R,则OP=R,‎ 渐近线方程为y=x,A(a,0),取PQ的中点M,则AM=.‎ 由勾股定理可得(2R)2-R2=,‎ 所以(ab)2=3R2(a2+b2).①‎ 在△OQA中,,所以7R2=a2,②‎ ‎①②结合c2=a2+b2,可得e=.故选B.‎ 答案:B ‎■(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考,双曲线的几何性质,选择题,理11)已知F2,F1是双曲线=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为(　　)‎ A.3 B. C.2 D.‎ 解析:由题意,F1(0,-c),F2(0,c),‎ 一条渐近线方程为y=x,则F2到渐近线的距离为=b.‎ 设F2关于渐近线的对称点为M,F2M与渐近线交于A,‎ ‎∴|MF2|=2b,A为F2M的中点,‎ 又O是F1F2的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角,‎ ‎∴△MF1F2为直角三角形,‎ ‎∴由勾股定理得4c2=c2+4b2,‎ ‎∴3c2=4(c2-a2),∴c2=4a2,∴c=2a,∴e=2.‎ 故选C.‎ 答案:C ‎■(2015甘肃省兰州一中三模,双曲线的几何性质,选择题,理10)已知双曲线=1(a>0,b>0),被方向向量m=(6,6)的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值为(　　)‎ A. B. C. D.2‎ 解析:设l与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则有两式相减,‎ 得kAB==-,‎ 由直线方向向量m=(6,6)得kAB=1,‎ 截得的弦的中点为(4,1),得x1+x2=4,y1+y2=2,‎ ‎∴=1,a2=4b2得双曲线的离心率.‎ 故选A.‎ 答案:A ‎9.7抛物线 专题2‎ 抛物线的几何性质 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学二模,抛物线的几何性质,填空题,理16)已知F1,F2分别是双曲线3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦点,P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为　　　　　. ‎ 解析:‎ 由双曲线方程=1(a>0)得c=2a,‎ ‎∴F1(-2a,0),F2(2a,0),‎ 由抛物线方程y2=8ax,设F2(2a,0)为抛物线的焦点,其准线为x=-2a,过F1点,‎ 则有|PF1|-|PF2|=2a,‎ ‎∵|PF1|+|PF2|=12,‎ ‎∴|PF1|=6+a,|PF2|=6-a,‎ 又双曲线左准线为x=-a,离心率e=2,‎ ‎∴|PF1|=2xP+a=6+a,∴xP=3,‎ ‎∴|PF2|=xP+2a=6-a,∴a=1,‎ ‎∴抛物线方程为y2=8x,‎ ‎∴抛物线的准线方程为x=-2.‎ 故答案为x=-2.‎ 答案:x=-2‎ ‎■(2015河南省六市高考数学二模,抛物线的几何性质,选择题,理6)从抛物线y2=4x图象上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=3,设抛物线焦点为F,则△MPF周长为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.6+3 B.5+2 C.8 D.6+2‎ 解析:设P(x0,y0),‎ 依题意可知抛物线准线x=-1,焦点F为(1,0),‎ 由抛物线的定义可得,|PM|=|PF|=3,即x0=3-1=2,‎ ‎∴|y0|=2,即有M(-2,±2),‎ ‎∴△MPF的周长为|PF|+|PM|+|FM|=6+=6+2.故选D.‎ 答案:D ‎■(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考,抛物线的几何性质,选择题,理8)抛物线x2=y在第一象限内图象上 一点(ai,2)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai+1,其中i∈N*,若a2=32,则a2+a4+a6等于(　　)‎ A.64 B.42 C.32 D.21‎ 解析:∵y=2x2(x>0),‎ ‎∴y'=4x,‎ ‎∴x2=y在第一象限内图象上一点(ai,2)处的切线方程是y-2=4ai(x-ai),‎ 整理,得4aix-y-2=0,‎ ‎∵切线与x轴交点的横坐标为ai+1,‎ ‎∴ai+1=ai,‎ ‎∴{a2k}是首项为a2=32,公比q=的等比数列,‎ ‎∴a2+a4+a6=32+8+2=42.‎ 故选B.‎ 答案:B 专题3‎ 直线与抛物线的位置关系 ‎■(2015甘肃省兰州一中三模,直线与抛物线的位置关系,选择题,理7)设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为(　　)‎ A.1 B. C. D.2‎ 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,‎ 解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+,‎ 由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,‎ 整理得2p=1,即p=,‎ 从而A,B,‎ ‎|OA|2==5-2,|OB|2==5+2,‎ ‎△OAB的面积S=|OA|·|OB|=.‎ 故选B.‎ 答案:B ‎9.8直线与圆锥曲线 专题1‎ 轨迹与轨迹方程 ‎■(2015河南省六市高考数学二模,轨迹与轨迹方程,解答题,理20)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(1,0),动点C满足条件:△ABC的周长为2+2.记动点C的轨迹为曲线T.‎ ‎(1)求曲线T的方程;‎ ‎(2)已知点M(,0),N(0,1),是否存在经过点(0,)且斜率为k的直线l与曲线T有两个不同的交点P和Q,使得向量共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.‎ 解:(1)设C(x,y),∵|AC|+|BC|+|AB|=2+2,|AB|=2,‎ ‎∴|AC|+|BC|=2>2,‎ ‎∴由椭圆的定义可知:动点C的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为2的椭圆,除去与x轴的两个交点,‎ ‎∴a=,c=1,∴b2=a2-c2=1.‎ ‎∴曲线T的方程为+y2=1(y≠0).‎ ‎(2)设直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程可得:x2+2kx+1=0,‎ ‎∵直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q,‎ ‎∴Δ=8k2-4>0,解得k>或k<-.‎ ‎∴满足条件的k的取值范围是.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ ‎∴=(x1+x2,y1+y2),‎ 又x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2=(-,1).‎ ‎∵向量共线,‎ ‎∴x1+x2=-(y1+y2),‎ ‎∴+2,解得k=,‎ ‎∵,‎ ‎∴不存在k使得向量共线.‎ ‎■(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考,轨迹与轨迹方程,解答题,理20)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点在椭圆C上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△AF2B的面积为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.‎ 解:(1)设椭圆的方程为=1(a>b>0),由题意可得:‎ 椭圆C两焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0).‎ ‎∴2a=.‎ ‎∴a=2,又c=1,b2=4-1=3,‎ 故椭圆的方程为=1.‎ ‎(1)当直线l⊥x轴时,计算得到:‎ A,B·|AB|·|F1F2|=×3×2=3,不符合题意.‎ 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),‎ 由消去y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,‎ 显然Δ>0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=-,x1·x2=,‎ 又|AB|=‎ 即|AB|=,‎ 又圆F2的半径r=,‎ 所以|AB|r=,‎ 化简,得17k4+k2-18=0,‎ 即(k2-1)(17k2+18)=0,解得k=±1,‎ 所以,r=,‎ 故圆F2的方程为(x-1)2+y2=2.‎ ‎■(2015甘肃省兰州一中三模,轨迹与轨迹方程,填空题,理15)如果双曲线x2-y2=a2经过圆(x-3)2+(y-1)2=5的直径AB的两个端点,则正实数a的值等于　　　. ‎ 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程作差得(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2),‎ ‎∵x1+x2=6,y1+y2=2,=3,‎ ‎∴AB的方程为y=3x-8,与圆方程联立得10(x-3)2=5,‎ ‎∴(x-3)2=,‎ ‎∴a2=(x+y)(x-y)=(4x-8)(8-2x)=8-8(x-3)2=4.‎ ‎∴a=2.‎ 故答案为2.‎ 答案:2‎