中考数学函数与一次函数押轴题专练
函数与一次函数
1．如图，已知A、B是反比例函数图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点从坐标原点O出发，沿O→A→-B→-C（图中所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为
【解题思路】本题应分三种情形来讨论，第一种情形就是点P在OA上运动，其面积应是二次函数的关系，当点在反比例函数上运动时，根据反比例函数的几何意义，其面积应是不变的，当点在BC上运动是，其面积逐渐变小的，于是选A．
【答案】A
【点评】本题考查了分段函数的概念，同时也考查了反比例函数的几何意义．难度稍大．
2.小亮同学汽车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图），若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1、v2、v3，且v1
0的一次函数。
【答案】：如y=x+1
【点评】：本题考察了一次函数的解析式，一次函数的增减性等。题型多见，难度较小。
7．一家电信公司给顾客提供两种上网方式：方式A以每分0．1元的价格按上网所用时间计费；方式B除收月基费20元外，再以每分0．05元的价格按上网所用时间计费。若上网所用时间为x分，计费为y元，如图，是在同一直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函数的图象，有下列结论：
图象甲描述的是方式A；图象乙描述的是方式B；当上网所用时间为500分时，选择方式B省钱。其中，正确结论的个数是
A．3 B．2 C．1 D．0
【解题思路】：函数图象的识读，特殊坐标点的实际含义
【答案】：A
【点评】：本题考察了函数图象的实际意义，关键在于从图象中读取信息的数结合能力。难度中等。
8．一次函数y＝6x＋1的图像不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析与解】一次函数y＝6x＋1的图像的位置是由k与b决定，k＞0，b＞0，图像经过一、二、三象限，即不经过第四象限，故D正确，此题选D.本题也可利用图像法直接选取.
【点评】本题属于容易题，主要考查学生对一次函数图像与性质的理解与掌握．
9．直线一定经过点（ ）．
A．(1，0) B．(1，k) C．(0，k) D．(0，－1)
【解题思路】本题用排除法解答较为容易，把选项逐一代入即可得答案。也可用使含k的项为0来直接求。
【答案】D
【点评】本题考查了函数过一定点的知识，定点即不受常数k的变化而变化，即含k的项为0（x=0）再求出y＝－1。难度较小．
10．函数 yl= x ( x ≥0 ) , （ x > 0 ）的图象如图所示，则结论：① 两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 )， ② 当 x > 3 时， ③ 当 x ＝1时， BC = 8，④ 当 x 逐渐增大时， yl 随着 x 的增大而增大，y2随着 x 的增大而减小．其中正确结论的序号是____________________＿ .
【解题思路】由函数 yl= x ( x ≥0 ) , （ x > 0 ）构造出的方程组得出A点坐标故①正确；由于当x>3时，的图像在的下面故应＜；当时，故③正确；当 x 逐渐增大时，yl 图像的上升，y2图像的下降得④正确.
【答案】①③④．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像交点、函数值的求法及利用图像升降判断其增减性的数形结合思想，解决本题的关键是熟练一次函数与反比例函数的图像与性质，难度中等.
11．函数中自变量的取值范围是
A． B． C． D．
【解题思路】根据分式有意义的条件是分母不等于0，即可求解
【答案】B
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，是需要熟记的内容．难度较小．
（－1，1）
（2，2）
x
y
O
第10题图
12．如图所示，函数和的图象
相交于（－1，1），（2，2）两点．当时，x的取值范围是
A．x＜－1 B．—1＜x＜2
C．x＞2 D． x＜－1或x＞2
【解题思路】由函数图象可得，两函数的交点分别为（-1，1），（2，2）.y1>y2就是函数y1的图象在函数y2的函数图象的上方，观察图象可知，y1>y2的解集是x＜-1或x＞2，即得x的范围．
【答案】D．
【点评】本题主要考查根据一次函数图象确定不等式的解集问题，解题的关键是确定两直线交点的横坐标，再根据数形结合的思想解答，学生易错的地方是搞不清图像之间的关系，难度较大．
13.在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4个
【解题思路】起跑后1小时内，甲的图象始终在乙的图象的上方，所以甲在乙的前面，①正确；当1小时时，两人都欧式从起跑点跑到10千米的位置，所以两人都跑了10千米，②正确；从图象上看，当2小时时，乙已到达终点，而甲还未到达，所以乙比甲先到达终点，③错误；从乙的图象可以看出，以匀速跑的速度是：10÷1=10千米，所以乙跑的距离是10×2=20千米，所以④正确。选择C.
【答案】C
【点评】图象信息题是考查函数部分知识常考的题目类型，解决这类问题的关键就是弄清楚函数图象上每段图象的含义。难度中等。
14、已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式的解集为
(A) x<－1 (B)x> -1 （C） x>1 （D）x<1
【解题思路】：根据题意：∵一次函数的图象过第一、二、四象限，∴a＜0,b＞0,又∵一次函数与x轴交于点（2，0）,∴b=-2a;而不等式的解集为：x＜.把b=-2a代入解得x<－1。故A正确。
【答案】A。
【点评】本题是对函数的图象性质与不等式解法的综合考查，先根据函数所在的象限及与坐标轴交点的坐标，确定a、b的符号和a与b的关系，然后用a、b表示不等式的解集，代入a与b的关系式，计算求解。本题难度中等。
15．小高骑自行车从家上学，先走上坡路达到A，再走下坡路到达B，最后平路到达学校，所用时间与路程关系如图所示．放学后，他沿原路返回，且上坡、下坡、平路的速度分别与上学时保持一致，那么他从学校到家用的时间是（ ）
A．14分钟 B．17分钟 C．18分钟 D．20分钟
A
B
【思路分析】上坡路400米，下坡路1200-400=800米；上坡、下坡的速度分别是400÷5=80米/分钟，800÷（9-5）=200米/分钟．回家过程中平路所需时间与上学时所需时间相同是8分钟，回家山坡路所需时间是800÷80=10分钟，下坡路所需时间400÷200=2分钟，所以共需时间8+10+2=20分钟．
【答案】D．
【点评】图像信息题是每年中考重点内容之一，处理这类问题通常有两种方法：一种是根据函数的有关性质解决问题，另外一种思路是根据问题的实际意义构建数学模型解决问题．
16、下列函数中，自变量x的取值范围为x＜1的是
(A) (B) （C） （D）
【解题思路】：研究函数，首先要确定函数有无意义，自变量的取值范围就是检验函数有无意义的标准：因为A中自变量的取值范围是x≠1；B中自变量的取值范围是x≠0；C中自变量的取值范围是x≤1；D中自变量的取值范围是x＜1；故A、B、C都不正确。
【答案】D。
【点评】对函数自变量取值范围的考查方式有两种，一是根据函数的特点，有意义或无意义来确定自变量的取值范围；二是在已知自变量的取值范围的情况下，来确定函数的解析式有无意义。本题属于后者，难度较小。
17．已知一次函数y=mx+n－2的图象如图所示，则m、n的取值范围是 （ ）
A.m＞0,n＜2 B. m＞0,n＞2 C. m＜0,n＜2 D. m＜0,n＞2
【解题思路】由于一次函数y=mx+n-2的图象较于y轴的正半轴，且y随x
的增大而减小，所以n－2>0，m<0，即n>2，m<0.
【答案】D
【点评】一次函数y=kx+b（k≠0）的图象位置与k、b的符号有关：（1）过第一、二、四象限k<0、b>0；（2）过第一、二、三象限k>0、b>0；（3）过第一、三、四象限k>0、b<0；（4）过第二、三、四象限k<0、b<0. 以上规律可以结合平面直角坐标系的一次函数的图象进行理解，不必死记硬背. 难度中等.
18）在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程 S （米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD ． 下列说法正确的是（ ）
A．小莹的速度随时间的增大而增大
B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大
C．在起跑后 180 秒时，两人相遇
D．在起跑后 50 秒时，小梅在小莹的前面
【解题思路】由OA可知，小莹在整个过程中是匀速跑步的；800米跑小梅用时220秒，小莹用时180秒，所以小梅的平均速度比小莹速度小；起跑180秒时，小莹已到达终点，小梅未到，所以180秒时，并未相遇；起跑50秒时，小梅跑了300米，小莹未跑到300米，所以小梅在小莹前面．
【答案】D．
【点拨】本题是一道以现实生活中的情景出发构造题目，考查学生对一次函数的图象和性质的理解运用能力，从图象中获取各量之间的关系是解题关键．难度较小．
19关于一次函数y=-x+1的图像,下列所画正确的是( )
【解题思路】可以通过判断经过的象限来确定，函数y=-x+1的图像经过一、二、四象限。选C.
【答案】C
【点评】主要考察了一次函数的图像，当k＞0时必经过一、三象限。当k＜0时经过二、四象限。b＞0与y轴交与正半轴，b＜0与y轴交与负半轴。难度较小。
20.（山东临沂 第14题 3分）甲、乙两同学同时从40m环形跑道上的同一点出发，同向而行，甲的速度为6m/s,乙的速度为4m/s,设以过x（单位：s）后，跑道上此两人间的较短部分的长度为y(单位：m)，则y与x（0≤x≤300）之间的函数关系可用图象表示为（ ）
O
100
200
300
400
O
100
200
300
200
O
100
200
300
200
O
100
200
300
200
A. B. C. D.
解题思路：设x秒后甲第一次追上乙，则6x-4x=400,x=200,即200秒时，两人之间的最短距离是0，只有选项B,C符合题意；当0≤x≤100时，两人之间的最短距离y(m)与时间x(s)的关系是y=6x-4x=2x,y随x的增大而增大，且是直线关系；当100＜x≤200时，两人之间的最短距离y(m)与时间x(s)的关系是：y=400-(6x-4x)=-2x+400, y随x的增大而减小，也是直线关系；当200＜x≤300时，与第一个图像类似.故选C.
解答：选C.
点评：这是一个分段函数的题目，首先要弄清楚甲、乙两人什么时间第一次相遇，正确理解两人间的较短部分的长度的意义是解答本题的关键，并能采用分段方法来分析函数之间的关系，从而用筛选法正确做出选择，本题难度较大.
5
1
3
4
5
2
A2
A3
B3
B2
B1
S1
S2
S3
A1
y=2x
y
3
4
O
1
2
x
21.（山东省威，18,3分）如图，直线l1⊥x轴于点（1,0），直线l2⊥x轴于点（2,0），直线l3⊥x轴于点（3,0），…直线ln⊥x轴于点（n,0）. 函数y=x的图像与直线l1,l2,l3,…ln，分别交于点A1,A2，A3，…An.函数y=2x的图像与直线l1,l2,l3,…ln，分别交于点B1,B2，B3，…Bn.如果△OA1B1D的面积记为S1，四边形A1A2B2B1的面积记为S2，四边形A,2A3B3B2
的面积记为S3，…四边形An-1AnBnBn-1的面积记为Sn，那么S2011= .
【解题思路】四边形An-1AnBnBn-1的面积记为Sn=（An-1Bn-1+AnBn）×1÷2，代入计算即可.
【答案】2010.5.
【点评】本题涉及到一次函数，求交点坐标，线段的长度，图形的面积等相关知识. S2011=（A2010B2010+A1011B2011）×1÷2=[（B2010的纵坐标-A2010的纵坐标）+（A2011的纵坐标-B2011的纵坐标）] ×1÷2=[(2×2010-2010)+(2×2011-2011)] ×1÷2=2010.5.难度中等.
22．写出一个具体的随的增大而减小的一次函数解析式____
【解题思路】考虑一次函数的性质，一次函数满足条件随的增大而减小即可，即y=kx+b中k＜0即可。
【答案】答案不唯一，如：y=－x+1
【点评】本题为条件开放试题，难度中等
23． 在直角坐标中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、A3B3C3C2、、、、、、AnBnCnCn-1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、、、、、An均在一次函数y=kx+b上，点C 1、C2、C 3、、、、、Cn均在x轴上.若点,B1的坐标为（1,1），点B2的坐标为（3,2），则点An的坐标为 .
y=kx+b
O
A1
A2
A3
B3
B2
B1
C1
C2
C3
x
y
【思路分析】解：由B1的坐标为（1,1），点B2的坐标为（3,2），知A1（0,1）， A2（1,2），设直线解析式y=kx+b,把A1（0,1）， A2（1,2）代入上式得，，∴k=1,b=2,∴y＝x＋1．
∵点B2的坐标为（3,2），∴C2的坐标为（3,0），把x=3代入y＝x＋1得y=4,∴A3的坐标为（3,4），同理得A4的坐标为（7,8），A5的坐标为（15,16）………An的坐标为(2n－1－1, 2n－1) ．
【答案】(2n－1－1, 2n－1) ．
【点评】解答这类问题首先根据点在图像上求出前几个点的坐标，然后根据所出现的规律找到相应的公式，然后对公式进行验证．
24．如图4所示，直线OP经过点P(4, )，过x轴上的点l、3、5、7、9、11……分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S1、S2、S3……Sn则Sn关于n的函数关系式是____
0
1
3
5
7
9
11
S1
S2
S3
图4
x
y
p
【解题思路】先求出直线op解析式为：y=经观察可知每个小梯形的高一定为2，面积为Sn的梯形上底所在直线为x=4n-3，上底长为，下底所在直线为x=4n-1，上底长为，故梯形的面积Sn=(8n－4)
【答案】(8n－4)
【点评】本题为探究规律试题，具有一定的难度。
25．一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过（2,1）点；②当x>0时，y随x的增大而减小．这个函数解析式为_________________________（写出一个即可）．
【解题思路】若这个函数是一次函数y=kx+b，因为图象过（2,1）点，所以2k+b=1，又因为当x>0时，y随x的增大而减小，所以k<0，由此可写出多个函数解析式；同样也可写出反比例函数或二次函数．
【答案】如：等，写出一个即可．
【点拨】本题考查了利用待定系数法确定函数的解析式，是一道开放性试题．解决这类问题关键是灵活运用各种函数的性质，利用待定系数法确定其解析式．难度较小．
26．凤凰社区人畜饮用水紧张，每天需从社区外调运饮用水120吨．有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂每天最多可调出80吨，乙厂每天最多可调出90吨．从两水厂运水到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：
（1）若某天调运水的总运费为26700元，则从甲、乙两水厂个调运了多少吨饮用水？
（2）设从甲厂调运饮用水x吨，总运费为W元，试写出W关于与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能是每天的总运费最省？
【解题思路】要求从甲、乙两水厂个调运饮用水的吨数，我们可以利用：①甲厂的运费+乙厂的运费=总运费为26700元；②甲厂运水+乙厂运水=120吨，这两个等量关系建立二元次方程组求得；（2）要确定最节省的调运方案，我们可以先建立从甲厂所运水吨数与总费用之间的函数关系，再利用函数的增减性确定最佳方案．
【答案】解：（1）设从甲厂调运饮用水x吨，从乙厂调运饮用水y吨，根据题意得
解得
∵5080，7090，∴符合条件．
故从甲、乙两水厂各调用了50吨、70吨饮用水．
（2）设从甲厂调运饮用水x吨，则需从乙厂调运水（120－x）吨，根据题意可得
解得．
总运费，（）
∵W随x的增大而增大，故当时，元．
∴每天从甲厂调运30吨，从乙厂调运90吨，每天的总运费最省．
【点拨】此题考查了二元一次方程组和函数知识．新课程标准倡导数学来源于生活，又服务于生活．一次函数一种重要的数学模型，利用一次函数知识可以解决许多实际问题．在近年来中考中，出现了不少关注社会热点，运用一次函数知识求解生活中实际问题的试题．这些试题不仅考查同学们对一次函数知识的掌握情况，而且考查同学们分析问题和解决问题的能力．难度中等．
27.某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：
空调机
电冰箱
甲连锁店
200
170
乙连锁店
160
150
设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）．
（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？
【解题思路】．（本题满分9分）
解:(1)根据题意知,调配给甲连锁店电冰箱(70-x)台,
调配给乙连锁店空调机(40-x)台,电冰箱(x-10)台，
则y=200x+170(70-x)+160(40-x)+150(x-10)，
即y=20x+16800
∵
∴10≤x≤40．
∴y=20x+168009 (10≤x≤40);
(2)按题意知：y=（200-a）x+170(70-x)+160(40-x)+150（x-10），
即y=（20-a）x+16800． ………………………………………5分
∵200-a＞170，∴a＜30． ………………………………………6分
当0＜a＜20时，x=40，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱30台；
当a=20时，x的取值在10≤x≤40内的所有方案利润相同；
当20＜a＜30时，x=10，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调30台，电冰箱0台； …………………………………9分
【答案】
【点评】本题考察了用一次函数和不等式组解决实际问题，这类问题一是要结合题给条件或生活经验定义函数关系式,正确理解题意列出函数和不等式组是关键，应注意“不超过”是表示“≤”，“不低于”是表示“≥”， 最后利用所学的数学知识进行最佳方案的判断。
28.（山东 济宁）21、（8分）“五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用160000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：
类别
彩电
冰箱
洗衣机
进价
2000
1600
1000
售价
2200
1800
1100
（1）、若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100台，问商店可以购买彩电和洗衣机各多少台?
(2)、若在现有资金160000元允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？并求出最大利润。
（利润=售价-进价）
【解题思路】（1）用160000元购买彩电和洗衣机共100台，学生容易列出2000x+1000(100-x)=160000，解得：彩电60台，洗衣机40台。
（2）题意知：“160000元允许的范围内，购买三类家电”；“洗衣机的台数不超过购买彩电的台数”从而列出不等式组： 2000a+1600a+1000(100-2a)≤160000 100-2a≤a 解得 a是整数，所以 a=34、35、36、37。因此，共有四种进货方案。列出商店销售完毕后获得的利润w知结果为一次函数式，根据一次函数的增减性，得a=37时 利润有最大值。
【答案】解：（1）设商店购买彩电x台，则购买洗衣机（100-x）台。
由题意，得 2000x+1000(100-x)=160000 解得x=60
则100-x=40（台）
所以，商店可以购买彩电60台，洗衣机40台。 …………3分
（2）、设购买彩电a台，则购买洗衣机为(100-2a)台。
根据题意，得 2000a+1600a+1000(100-2a)≤160000
100-2a≤a
解得 。因为a是整数，所以 a=34、35、36、37。
因此，共有四种进货方案。 …………6分
设商店销售完毕后获得的利润为w元
则w=(2200-2000)a+(1800-1600)a+(1100-1000)(100-2a)
=200a+10000 …………7分
∵ 200>0 ∴ w随a的增大而增大
∴ 当a=37时 w最大值=200×37+10000=17400 …………8分
所以，商店获得的最大利润为17400元。
【点评】此题属于方案设计性问题，根据给出的生活相关的情景抽象出数学语言，列出一元一次不等式组，由于a的实际意义为正整数，所以由不等确定相等（得出具体的整数值），从而得出方案。最后要求的最大利润由利润的函数关系和有关函数的性质可以确定。此题有利于提高学生分析问题和解决问题的能力，同时让学生明白生活中处处有数学，从而加强了学习数学的信心！难度中等。
29．（2011四川乐山，21，10分）某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y（元）与复印页数x（页）的关系如下表：
x(页)
100
200
400
1000
…
y(元)
40
80
160
400
（1） 若y与x满足初中学过的某一函数关系，求函数的解析式；
（2） 现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费。则乙复印社每月收费y（元）与复印页数x（页）的函数关系为 ；
（3） 在给出的坐标系内画出（1）、（2）中的函数图象，并回答每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社？
【解题思路】：根据图表信息，利用待定系数法确定一次函数的解析式，并根据列表、描点、连线，画出两个一次函数的图象，求出交点坐标，由函数图象性质作出判断。
【答案】解：（1）由图表信息可得：y=0.4x,（2）y=200+0.15x，（3）画图略；当0.4x=200+0.15x时，解得：x=800,∵每月复印页数在1200左右,故应选择乙复印社便宜。
【点评】这是一道一次函数的应用问题，待定系数法确定函数解析式、画函数图象、利用函数图象作出方案设计都是中考的热点。本题难度中等。
30.函数中,自变量x的取值范围___________________.
【解题思路】本题涉及二次根式的意义,分式有意义的条件,根据条件可得,通过解不等式可得.
【答案】
【点评】本题考查了函数的自变量的取值范围,当含自变量的二次根式和分式时,要从二次根式的被开方数是非负数和分式的分母不为零的两个条件同时成立.难度较小.
31.(2011内蒙古呼和浩特,12,3分)已知关于x的一次函数的图象如图所示,
y
x
O
则可化简为_________________.
【解题思路】由一次函数的图象特征确定,再利用绝对值和二次根式的
性质对式子进行化简.
【答案】
【点评】本题考查了一次函数图象的性质、绝对值、二次根式化简等知识,考查了从图象上获取信息的能力,考查了数形结合的数学思想方法.难度较小.
32.在同一直角坐标系中反比例函数的图象与一次函数的图象相交,且其中一个交点A的坐标为(–2,3),若一次函数的图象又与x轴相交于点B,且△AOB的面积为6(点O为坐标原点).
求一次函数与反比例函数的解析式.
【解题思路】根据反比例函数图象过A点,将A点坐标代入,即可得到反比例函数的解析式.一次函数解析式中含有2个待定系数,需找到一次函数图象上的两个点A、B,将它们的坐标代入一次函数解析式,联立组成方程组进行求解.在用△AOB的面积求B点坐标时,要注意分类讨论.
【答案】解:将点A(-2,3)代入中得
∴
∴ ………………………………………………………(2分)
又∵△AOB的面积为6
∴
∴
∴|OB|=4
∴B点坐标为(4,0)或(-4,0) ………………(4分)
①当B(4,0)时,
又∵点A(-2,3)是两函数的交点
∴代入中得
∴
∴ …………………………………(6分)
②当B(-4,0)时,又∵点A(-2,3)是两函数的交点
∴代入中得
∴
∴ …………………………………………………(8分)
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形面积公式、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识,考查了函数与方程、分类讨论等数学思想方法.用待定系数法求解析式贯穿本题始终,在用面积公式求B点坐标时,因涉及到分类讨论,这是学生易疏忽的地方,考查了数学思维的严谨性.难度中等.
33已知A、B两地的路程为240千米，某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地，受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订.图13①
火车
汽车
S(千米)
t(时)
2
120
200
O
现在有货运收费项目及收费标准表，行驶路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图13中①），上周货运量折线统计图（如图13中②）等信息如下：
货运收费项目及收费标准表
运输工具
运输费单价
元/（吨·千米）
冷藏单价
元/（吨·时）
固定费用
元/次
汽车
2
5
200
火车
1.6
5
2280
（1）汽车的速度为_______千米/时，火车的速度为______千米/时；
17
18
19
20
21
22
23
24
25
17
20
19
22
22
23
24
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
时间
货运量（吨）
图13 ②
（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽（元）和y火（元），分别求y汽、y火与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）及x为何值时y汽＞y火；
（总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用）
（3
）请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？
【分析与解】（1）根据图13①不难得出汽车的速度为60千米/时，火车的速度为100千米/时；（2）利用所给数量关系式总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用可分别写出y汽、y火与x的函数关系式，注意一项也不能少，然后建立不等模型判决；（3）利用平均数的意义及折线统计图的走势可轻松预策.
解：（1）60，100.
（2）依题意，得y汽＝240´2x＋´5x＋200.
y汽＝500x＋200.
y火＝240´1.6x＋´5x＋2280.
y火＝396x＋2280.
若y汽＞y火,得500x＋200＞396x＋2280，∴x＞20.
（3）上周货运量＝(17＋20＋19＋22＋22＋23＋24)÷7＝21＞20.
从平均数分析，建议预定火车费用较省.
从折线图走势分析，上周货运量周四（含周四）后大于20且呈上升趋势，建议预定火车费用较省.
【点评】本题属于中等题，为一次函数应用题，以两图一表的形式呈面背景的丰富性、多样样，总体感觉不难，特别注意的是将统计引入函数应用题是本题亮点.
34.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲、乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示.
（1） 请你直接写出甲厂的近制版费y甲与x的函数解析式，并求出其证书印刷单价.
（2） 当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？
（3） 如果甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的情况下，每个证书最少降低多少元？
【解题思路】（1）由图图象可知甲厂的制版费为1千元，当印制2千个时总费用为2千元，所以证书单价为：（2-1）÷2=0.5（元），函数解析式为y甲=；（2）求出乙厂的费用与数量的关系，把x=8分别代入比较，可求出节省的费用；（3）由（2）知印制8千个证书甲厂比乙贵0.5千元，所以每个证书应降价500÷8000=0.0625（元）。
【答案】(1)制版费1千元，y甲=，证书单价0.5元.（2）把x=6代入y甲=中得y=4,当x≥2时，由图象可设y乙与x的函数关系式为y=kx+b, 由已知得，解得，所以y乙=，当x=8时，y甲，y乙=，（千元），即，当印制8千张证书时，选择乙厂，节省费用500元；（3）设甲厂每个证书的印刷费用应降低a元，8000a=500,所以a=0.0625.
【点评】主要考查一次函数及其图象的应用，解题关键是正确理解图象的意义及准确写出函数的解析式。难度中等。
35点A、B、C、D的坐标如图，求直线AB与直线CD的交点坐标。
【解题思路】由图象得到A、B、C、D各点的坐标，利用待定系数法分别求出直线AB和直线CD的解析式，再求其交点坐标即可。
【答案】解：由已知得，直线AB方程为，直线CD方程为
解方程组，得，所以直线AB，CD的交点坐标为（-2，2）.
【点评】本题主要考查利用待定系数法求函数解析式及交点坐标的求法。难度较小
36、设函数（k为实数）。
（1） 写出其中的两个特殊函数，使他们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图像;
（2） 根据所画图像，猜想出：对于任意实数k，函数的图像都具有的特征，并给予证明；
（3） 对于任意负实数k，当x
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