- 2021-04-17 发布 |
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文档介绍
高二数学人教选修1-2同步练习:2-1-1合情推理(二)word版含解析
2.1.1 合情推理(二) 一、基础过关 1.下列推理正确的是 ( ) A.把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则有 loga(x+y)=logax+logay B.把 a(b+c)与 sin (x+y)类比,则有 sin(x+y)=sin x+sin y C.把 a(b+c)与 ax+y 类比,则有 ax+y=ax+ay D.把 a(b+c)与 a·(b+c)类比,则有 a·(b+c)=a·b+a·c 2.下面几种推理是合情推理的是 ( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°,归纳出所有三角形的内角 和都是 180°; ③张军某次考试成绩是 100 分,由此推出全班同学的成绩都是 100 分; ④三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540°,由此得凸多边形 内角和是(n-2)·180°. A.①② B.①③ C.①②④ D.②④ 3.在等差数列{an}中,若 an<0,公差 d>0,则有 a4·a6>a3·a7,类比上述性质,在等比数列{bn} 中,若 bn>0,q>1,则下列有关 b4,b5,b7,b8 的不等关系正确的是 ( ) A.b4+b8>b5+b7 B.b5+b7>b4+b8 C.b4+b7>b5+b8 D.b4+b5>b7+b8 4.已知扇形的弧长为 l,半径为的 r,类比三角形的面积公式:S=底×高 2 ,可推知扇形面 积公式 S 扇=________. 5.类比平面直角坐标系中△ABC 的重心 G( x , y )的坐标公式 x =x1+x2+x3 3 y =y1+y2+y3 3 (其中 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)),猜想以 A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)、D(x4, y4,z3)为顶点的四面体 A—BCD 的重心 G( x ,y , z )的公式为________. 6.公差为 d(d≠0)的等差数列{an}中,Sn 是{an}的前 n 项和,则数列 S20-S10,S30-S20,S40 -S30 也成等差数列,且公差为 100d,类比上述结论,相应地在公比为 q(q≠1)的等比数列 {bn}中,若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积,则有_____________________________________. 二、能力提升 7.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,结论仍然正确的是________. ①如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则也与另一条相交; ②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则也与另一条垂直; ③如果两条直线同时与第三条直线相交,则这两条直线相交或平行; ④如果两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行. 8.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质 中,你认为比较恰当的是________.(填序号) ①各棱长相等,同一顶点上的两条棱的夹角都相等; ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等; ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等. 9.已知抛物线 y2=2px(p>0),过定点(p,0)作两条互相垂直的直线 l1、l2,若 l1 与抛物线交于 P、Q 两点,l2 与抛物线交于 M、N 两点,l1 的斜率为 k,某同学已正确求得弦 PQ 的中 点坐标为(p k2 +p,p k),请你写出弦 MN 的中点坐标:________. 10.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中 一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为a2 4 .类比到空间,有 两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分 的体积恒为________. 11.如图(1),在平面内有面积关系S△PA′B′ S△PAB =PA′ PA ·PB′ PB ,写出图(2)中类似的体积关系,并证 明你的结论. 12. 如图所示,在△ABC 中,射影定理可表示为 a=b·cos C+c·cos B,其中 a,b,c 分别为 角 A,B,C 的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想. 三、探究与拓展 13.已知在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,有 1 AD2 = 1 AB2 + 1 AC2 成立.那么在四面体 A-BCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明猜想是否正确及给出理由. 答案 1.D 2.C 3.A 4.1 2lr 5. x =x1+x2+x3+x4 4 y =y1+y2+y3+y4 4 z =z1+z2+z3+z4 4 6.T20 T10 ,T30 T20 ,T40 T30 也成等比数列,且公比为 q100 7.② 8.①②③ 9.(pk2+p,-pk) 10.a3 8 11.解 类比S△PA′B′ S△PAB =PA′ PA ·PB′ PB , 有VP—A′B′C′ VP—ABC =PA′ PA ·PB′ PB ·PC′ PC 证明:如图(2):设 C′,C 到平面 PAB 的距离分别为 h′,h. 则h′ h =PC′ PC , 故VP—A′B′C′ VP—ABC = 1 3·S△PA′B′·h′ 1 3SPAB·h =PA′·PB′·h′ PA·PB·h =PA′·PB′·PC′ PA·PB·PC . 12.解 如图所示,在四面体 P-ABC 中,设 S1,S2,S3,S 分别表示△PAB,△PBC,△PCA, △ABC 的面积,α,β,γ依次表示面 PAB,面 PBC,面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小. 我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为:S=S1·cos α+S2·cos β+S3·cos γ. 13.解 类比 AB⊥AC,AD⊥BC,可以猜想四面体 A-BCD 中,AB,AC,AD 两两垂直, AE⊥平面 BCD.则 1 AE2 = 1 AB2 + 1 AC2 + 1 AD2.猜想正确. 如图所示,连接 BE,并延长交 CD 于 F,连接 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD, ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF⊂平面 ACD, ∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, ∴ 1 AE2 = 1 AB2 + 1 AF2. 在 Rt△ACD 中,AF⊥CD, ∴ 1 AF2 = 1 AC2 + 1 AD2. ∴ 1 AE2 = 1 AB2 + 1 AC2 + 1 AD2 , 故猜想正确.查看更多