新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学-高考数学知识板块归纳

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第 22 页 共 22 页 新课标（全国卷）高三二轮复习文科数学-高考数学知识板块归纳 板块(一)　集合与常用逻辑用语 ‎(一)巧用解题结论，考场快速抢分 ‎1.集合运算的重要结论 ‎(1)A∩B⊆A，A∩B⊆B；A＝A∩A，A⊆A∪B，B⊆A∪B；‎ A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.‎ ‎(2)若A⊆B，则A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，则A⊆B.若A⊆B，则A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，则A⊆B.‎ ‎(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.‎ ‎2.全称命题、特称命题真假的判断 ‎(1)全称命题真假的判断 ‎①要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，必须使p(x)对集合M中的每一个元素x都成立；‎ ‎②要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例，即在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.‎ ‎(2)特称命题真假的判断 ‎①要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需要找到集合M中的一个元素x0，使p(x0)成立即可；‎ ‎②要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是假命题，需验证p(x)对集合M中的每一个元素x都不成立.‎ ‎3.充分条件与必要条件的重要结论 ‎(1)如果p⇒q，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件.‎ ‎(2)如果p⇒q，且q⇒p，那么p是q的充要条件.‎ ‎(3)如果p⇒q，但q ⇒/ p，那么p是q的充分不必要条件.‎ ‎(4)如果q⇒p，且p ⇒/ q，那么p是q的必要不充分条件.‎ ‎(5)如果p ⇒/ q，且q ⇒/ p，那么p是q的既不充分也不必要条件.‎ ‎(二)明辨易错易混，谨防无谓失分 ‎1.遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况.‎ ‎2.“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论.‎ ‎3.要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.‎ ‎(三)演练经典小题，做好考前热身 ‎1.已知集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|(x－1)(3－x)＞0}，则A∩(∁RB)＝(　　)‎ 第 22 页 共 22 页 A.(－2，3)　　　　　　 B.(－2，1)‎ C.(－2，1] D.(1，2)‎ 解析：选C　由题意知，B＝{x|1＜x＜3}，∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，则A∩(∁RB)＝(－2，1].故选C.‎ ‎2.设x∈R，则“|x－1|＜‎1”‎是“x2＋x＞‎0”‎的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A　|x－1|＜1⇔－1＜x－1＜1⇔0＜x＜2，x2＋x＞0⇔x＜－1或x＞0，所以“|x－1|＜‎1”‎是“x2＋x＞‎0”‎的充分而不必要条件.故选A.‎ ‎3.已知全集U＝{x∈Z|(x－1)(5－x)≥0}，集合A＝{1，2，5}，B＝{2，4}，则图中阴影部分所表示的集合为 A.{2} B.{1，3，4，5}‎ C.{1，2，3，4，5} D.(－∞，1]∪[5，＋∞)‎ 解析：选B　因为U＝{x∈Z|(x－1)(5－x)≥0}，所以U＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝{x∈Z|1≤x≤5}＝{1，2，3，4，5}.因为A＝{1，2，5}，B＝{2，4}，所以A∩B＝{2}，由题图可知，阴影部分所表示的集合为∁U(A∩B)＝{1，3，4，5}.故选B.‎ ‎4.已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|y＝lg}，则下列命题中真命题的个数是(　　)‎ ‎①∃m0∈A，m0∉B；②∃m0∈B，m0∉A；③∀m∈A，m∈B；④∀m∈B，m∈A.‎ A.4 B.3‎ C.2 D.1‎ 解析：选C　因为A＝{y|y＝x2＋2}，所以A＝{y|y≥2}，因为B＝{x|y＝lg}，所以B＝{x|x＞3}，所以B是A的真子集，所以①④为真命题，②③为假命题，所以真命题的个数是2.故选C.‎ 板块(二)　函数与导数 ‎(一)巧用解题结论，考场快速抢分 ‎1.基本导数公式 ‎(sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；(ax)′＝axln a(a>0且a≠1)；(ex)′＝ex；‎ ‎(logax)′ ＝(a>0且a≠1)；(ln x)′＝.‎ ‎2.函数单调性和奇偶性的重要结论 ‎(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)则为增(减)函数.‎ ‎(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.‎ ‎(3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；‎ 第 22 页 共 22 页 f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.‎ ‎(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数.‎ ‎(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.‎ ‎3.抽象函数的周期性与对称性的结论 ‎(1)函数的周期性 ‎①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，T＝2|a|；‎ ‎②若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，T＝2|a|；　‎ ‎③若满足f(x＋a)＝，则f(x)是周期函数，T＝2|a|.　‎ ‎(2)函数图象的对称性 ‎①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(‎2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称；‎ ‎②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(‎2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称；‎ ‎③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称.‎ ‎4.函数图象平移变换的相关结论 ‎(1)把y＝f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数).‎ ‎(2)把y＝f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数).‎ ‎5.函数图象伸缩变换的相关结论 ‎(1)把y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a＞1)或缩短(0＜a＜1)到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数y＝af(x)(a＞0)的图象.‎ ‎(2)把y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0＜b＜1)或缩短(b＞1)到原来的倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b＞0)的图象.‎ ‎6.常见的含有导函数的几种不等式构造原函数类型 ‎(1)原函数是函数的和、差组合 ‎①对于f′(x)＞g′(x)，构造函数h(x)＝f(x)－g(x)；‎ ‎②对于f′(x)＋g′(x)＞0，构造函数h(x)＝f(x)＋g(x).‎ ‎(2)原函数是函数的乘、除组合 ‎①对于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝f(x)g(x)；‎ ‎②对于f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝(g(x)≠0).‎ 特别地，对于xf′(x)＋f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝xf(x)；‎ 第 22 页 共 22 页 对于xf′(x)－f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝.‎ ‎(3)原函数是ex的乘、除组合 ‎①对于f′(x)＋f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝exf(x)；　‎ ‎②对于f′(x)－f(x)＞0(＜0)，构造函数h(x)＝.‎ ‎(二)明辨易错易混，谨防无谓失分 ‎1.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.‎ ‎2.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.‎ ‎3.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.‎ ‎4.不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0))既在切线上，又在函数图象上，而导致某些求导数的问题不能正确解出.‎ ‎5.易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件.‎ ‎(三)演练经典小题，做好考前热身 ‎1.已知函数f(x)＝若f(f(0))＝a2＋1，则实数a＝(　　)‎ A.－1　　　　　　　　　 B.2‎ C.3 D.－1或3‎ 解析：选D　由题意可知，f(0)＝2，而f(2)＝4＋‎2a，由于f(f(0))＝a2＋1，所以a2＋1＝4＋‎2a，所以a2－‎2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3.故选D.‎ ‎2.(2019·湖南省湘东六校联考)函数y＝－x·2|x|的大致图象是(　　)‎ 解析：选B　由题意，令f(x)＝－x·2|x|，则f(－x)＝－(－x)·2|－x|＝x·2|x|＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，排除选项C、D，又x＞0时，f(x)＜0，排除选项A.故选B.‎ ‎3.(2019·合肥市第一次质检测)设a＝0.23，b＝log20.3，c＝log32，则(　　)‎ A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞a＞b 解析：选D　因为log20.3＜log21＝0，0＜0.23＝＜＜，log32＞log3＝，所以c＞a＞b.故选D.‎ ‎4.已知函数f(x)＝的值域为R，那么实数a的取值范围是(　　)‎ 第 22 页 共 22 页 A.(－∞，－1] B. C. D. 解析：选C　法一：当x≥1时，ln x≥0，要使函数f(x)＝的值域为R，‎ 只需 解得－1≤a＜.故选C.‎ 法二：取a＝－1，则f(x)＝的值域为R，‎ 满足题意，故排除B、D；取a＝0，则f(x)＝的值域为R，满足题意，故排除A.故选C.‎ ‎5.(2019·安徽省考试试题)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为其导函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0且g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是(　　)‎ A.(－3，0)∪(3，＋∞) B.(－3，0)∪(0，3)‎ C.(－∞，－3)∪(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(0，3)‎ 解析：选D　令h(x)＝f(x)·g(x)，当x＜0时，h′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，则h(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)为奇函数，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增.又由g(－3)＝0，可得h(－3)＝－h(3)＝0，所以不等式f(x)·g(x)＜0，可化为h(x)＜h(－3)，或h(x)＜h(3)，所以x＜－3或0＜x＜3时h(x)＜0.故选D.‎ ‎6.已知函数f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx恒成立，则实数m的取值范围是________.‎ 解析：作出函数f(x)的大致图象如图所示，令g(x)＝5－mx，则g(x)恒过点(0，5)，由f(x)≤g(x)恒成立，并数形结合得－≤－m≤0，解得0≤m≤.答案： 板块(三)　不 等 式 ‎(一)巧用解题结论，考场快速抢分 ‎1．一元二次不等式的恒成立问题 ‎(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 ‎(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是 ‎2．基本不等式的重要结论 ‎(1)≥(a＞0，b＞0)；‎ ‎(2)ab≤(a，b∈R)；‎ 第 22 页 共 22 页 ‎(3) ≥≥(a＞0，b＞0)．‎ ‎3．利用基本不等式求最值 ‎(1)对于正数x，y，若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2；‎ ‎(2)对于正数x，y，若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.‎ ‎4．线性规划中的两个重要结论 ‎(1)点M(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0(B＞0)上方(或下方)⇔Ax0＋By0＋C＞0(或＜0)；‎ ‎(2)点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0同侧(或异侧)⇔(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0(或＜0)．‎ ‎(二)明辨易错易混，谨防无谓失分 ‎1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．‎ ‎2．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解；求解函数y＝x＋(x<0)的最值时应先转化为正数再求解．‎ ‎3．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．‎ ‎(三)演练经典小题，做好考前热身 ‎1．在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x－b)＞0的解集是(2，3)，则a＋b＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B.2‎ C．4 D.8‎ 解析：选C　由题知(x－a)⊗(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x－a)[x－(b＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2，3)，所以方程(x－a)·[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.故选C.‎ ‎2．已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为(　　)‎ A．2 B.11‎ C．16 D.18‎ 解析：选C　作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A(1，1)，B(8，8)，C.分析知当直线z＝3x－y经过点B(8，8)时，z取得最大值，且zmax＝3×8－8＝16.故选C.‎ ‎3．已知点C在直线AB上，且平面内的任意一点O，满足＝x＋y，x＞0，y＞0，则＋的最小值为(　　)‎ A．2 B.4‎ C．6 D.8‎ 第 22 页 共 22 页 解析：选B　∵点C在直线AB上，故存在实数λ使得＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.又x＞0，y＞0，∴＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当＝，即x＝y＝时取等号．故选B.‎ ‎4．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：∵4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，‎ ‎∴4x－2x＋1≥a在[1，2]上恒成立．‎ 令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.‎ ‎∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.‎ 由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y有最小值0.‎ ‎∴a的取值范围为(－∞，0]．‎ 答案：(－∞，0]‎ 板块(四)　三角函数与平面向量 ‎(一)巧用解题结论，考场快速抢分 ‎1．由sin α±cos α符号判断α的位置 ‎(1)sin α－cos α＞0⇔α终边在直线y＝x上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)；‎ ‎(2)sin α＋cos α＞0⇔α终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．‎ ‎2．正弦、余弦定理及其变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径).‎ a2＝b2＋c2－2bccos A；‎ b2＝a2＋c2－2accos B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos C.‎ 变形 ‎(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；‎ ‎(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ‎(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A；‎ ‎(5)＝＝2R.‎ cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝.‎ ‎3．三角形中的常见结论 ‎(1)A＋B＋C＝π.‎ ‎(2)大边对大角，大角对大边．‎ ‎(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．‎ 第 22 页 共 22 页 ‎(4)有关三角形内角的三角函数关系式：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C，sin＝cos，cos＝sin.‎ ‎(5)在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan B·tan C.‎ ‎(6)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，则①若a2＋b2＝c2，则C＝；②若a2＋b2＞c2，则C＜；③若a2＋b2＜c2，则C＞.‎ ‎4．三点共线的判定 A，B，C三点共线⇔，共线；‎ 向量，，中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1.‎ ‎5．中点坐标和三角形的重心坐标 ‎(1)P1，P2的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，＝⇔P为P1P2的中点，中点P的坐标为.‎ ‎(2)三角形的重心坐标公式：△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标是.‎ ‎6．三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则 ‎(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝；‎ ‎(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0；‎ ‎(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·；‎ ‎(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.‎ ‎(二)明辨易错易混，谨防无谓失分 ‎1．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．‎ ‎2．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．‎ ‎3．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是 第 22 页 共 22 页 eq blc(rc)(avs4alco1(－f(π,2)，f(π,2)))，选正弦较好．‎ ‎4．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B.‎ ‎5．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等；(a·b)·c与c平行，而a·(b·c)与a平行．‎ ‎6．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．‎ ‎(三)演练经典小题，做好考前热身 ‎1．已知sin(π＋α)＝－，则tan的值为(　　)‎ A．2　　　　　　　 B.－2 C. D.±2 解析：选D　∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝，则cos α＝±，∴tan＝＝＝±2.故选D.‎ ‎2．已知函数f(x)＝ cos－cos 2x，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f(x)的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：选C　f(x)＝ cos－cos 2x＝ cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin＝2sin，所以将f(x)的图象向左平移个单位长度可得到奇函数y＝2sin 2x的图象．故选C.‎ ‎3．已知△ABC中，三内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，若a＝2，sin C＝2sin B且sin Acos B＋sin Asin B＝sin C＋sin B，则c的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　sin Acos B＋sin Asin B＝sin C＋sin B可化为sin Acos B＋sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＋‎ 第 22 页 共 22 页 sin B，即sin＝，∴A＝，又sin Acos B＋cos Asin B＝2sin B，即cos B＋sin B＝2sin B，则tan B＝，∴B＝，则C＝，c＝＝.故选D.‎ ‎4．在△ABC中，已知·＝，||＝3，||＝3，M，N分别是BC边上的三等分点，则·的值是(　　)‎ A. B. C．6 D.7‎ 解析：选B　不妨设＝＋， ＝＋，所以·＝·＝2＋·＋2＝(2＋2)＋·＝×(32＋32)＋×＝.故选B.‎ ‎5．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，m)，c＝(7，1)，若a∥b，则b·c＝________．‎ 解析：∵向量a＝(－1，2)，b＝(2，m)，a∥b，‎ ‎∴－m－2×2＝0，解得m＝－4，∴b＝(2，－4)，‎ ‎∵c＝(7，1)，∴b·c＝2×7－4×1＝10.‎ 答案：10‎ ‎6．(2019·湖南五市十校共同体联考改编)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cos C＝ccos A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则ab＝________，a＋b＝________．‎ 解析：∵(3b－a)cos C＝ccos A，∴利用正弦定理可得3sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B.又∵sin B≠0，∴cos C＝，则C为锐角，∴sin C＝.由△ABC的面积为3，可得absin C＝3，∴ab＝9.由c是a，b的等比中项可得c2＝ab，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，∴(a＋b)2＝ab＝33，∴a＋b＝.‎ 答案：9　 板块(五)　数　列 ‎(一)巧用解题结论，考场快速抢分 ‎1．等差数列的重要规律与推论 ‎(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，p＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an；‎ ‎(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd；‎ ‎(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列；‎ ‎(4)＝n＋是关于n的一次函数或常函数，数列也是等差数列；‎ 第 22 页 共 22 页 ‎(5)若等差数列{an}的项数为偶数‎2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S‎2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝；‎ ‎(6)若等差数列{an}的项数为奇数‎2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S‎2m－1＝(‎2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.‎ ‎2．等比数列的重要规律与推论 ‎(1)an＝a1qn－1＝amqn－m，p＋q＝m＋n⇒ap·aq＝am·an；‎ ‎(2){an}，{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列；‎ ‎(3)连续m项的和(如Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…)仍然成等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立)；‎ ‎(4)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q；‎ ‎(5)等比数列前n项和有：①Sm＋n＝Sm＋qmSn；‎ ‎②＝(q≠±1)．‎ ‎(二)明辨易错易混，谨防无谓失分 ‎1．已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.‎ ‎2．易忽视等比数列中公比q≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．‎ ‎3．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．‎ ‎4．对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或＝q(n≥2)，求{an}的通项公式，要注意分n的奇偶性讨论．‎ ‎5．求等差数列{an}前n项和Sn的最值，易混淆取得最大或最小值的条件．‎ ‎6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．‎ ‎(三)演练经典小题，做好考前热身 ‎1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a3＝6，则S4的值为(　　)‎ A．12　　　　　　　　　　 B．11‎ C．10 D．9‎ 解析：选A　由题意得S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝12.故选A.‎ ‎2．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为(　　)‎ A． B． C．1 D．2‎ 解析：选D　设等比数列的首项为a1，公比为q，则第2，3，4项分别为a1q，a1q2，a1q3，依题意得a1＋a1q 第 22 页 共 22 页 ‎＋a1q2＋a1q3＝9，a1·a1q·a1q2·a1q3＝⇒aq3＝，两式相除得＝＋＋＋＝2.故选D.‎ ‎3．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝(　　)‎ A.2 B. C. D.1或2‎ 解析：选B　设S2＝k，则S4＝3k，由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠－1)，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝.故选B.‎ ‎4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝________．‎ 解析：因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q≠1，＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2·＝4，解得a2＝8，故a8＝8×＝2.‎ 答案：2‎ 第 22 页 共 22 页 板块(六)　立体几何 ‎(一)巧用解题结论，考场快速抢分 ‎1．根据几何体的三视图判断几何体的结构特征 ‎(1)三视图为三个三角形，一般对应三棱锥；‎ ‎(2)三视图为两个三角形，一个四边形，一般对应四棱锥；‎ ‎(3)三视图为两个三角形，一个圆，一般对应圆锥；‎ ‎(4)三视图为一个三角形，两个四边形，一般对应三棱柱；‎ ‎(5)三视图为两个四边形，一个圆，一般对应圆柱．‎ ‎2．柱体、锥体、台体侧面积公式间的关系 ‎(1)当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥，由此可得：S＝Ch′S＝(C＋C′)h′S＝Ch′.‎ ‎(2)当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：S＝2πrlS＝π(r＋r′)lS＝πrl.‎ ‎3．球的组合体 ‎(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．‎ ‎(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．‎ ‎(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为a，外接球的半径为a.‎ ‎4．空间中平行(垂直)的转化关系 平行关系及垂直关系的转化示意图 ‎(二)明辨易错易混，谨防无谓失分 ‎1．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主．‎ ‎2．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α 第 22 页 共 22 页 的限制条件．‎ ‎3．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．‎ ‎4．几种角的范围：‎ 两条异面直线所成的角0°<α≤90°；‎ 直线与平面所成的角0°≤α≤90°；‎ 二面角0°≤α≤180°；‎ 两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90°；‎ 直线的倾斜角0°≤α<180°；‎ 两个向量的夹角0°≤α≤180°；‎ 锐角0°<α<90°.‎ ‎5．空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．‎ ‎(三)演练经典小题，做好考前热身 ‎1．如图，已知三棱柱ABCA1B‎1C1的正视图是边长为1的正方形，俯视图是边长为1的正三角形，点P是A1B1上一动点(异于A1，B1)，则该三棱柱的侧视图是(　　)‎ 解析：选C　由正视图与俯视图知，A1B1垂直于投影面，且侧视图为长方形，PC的投影线为虚线．故选C.‎ ‎2．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是(　　)‎ A．6∶5　　　　　　　　　 B．5∶4‎ C．4∶3 D．3∶2‎ 解析：选D　设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，设圆柱的表面积和球的表面积分别为S1，S2，则S1＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，S2＝4πR2，所以＝.故选D.‎ ‎3．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，则下列命题中正确的个数是(　　)‎ ‎①若l⊥α，则l与α相交；‎ ‎②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；‎ 第 22 页 共 22 页 ‎③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；‎ ‎④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.‎ A．1 B.2‎ C．3 D.4‎ 解析：选C　对于①，若l⊥α，则l与α不可能平行，l也不可能在α内，所以l与α相交，①正确；对于②，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则有可能是l⊂α，故②错误；对于③，若l∥m，m∥n，则l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，故③正确；对于④，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，故④正确．故选C.‎ ‎4．已知三棱柱ABCA1B‎1C1的三视图如图所示，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点A1的最短路线的长为________．‎ 解析：把三视图还原成直观图如图1中三棱柱ABCA1B‎1C1所示，三棱柱底面为直角三角形，将三棱柱侧面沿AA1剪开，展成如图2所示的矩形A1AA′A′1，连接AA′1，当质点从A沿侧面绕行一周到达点A1的路线为展开图中的线段AA′1时，绕行的路线最短，由三视图得AA1＝5，AA′＝12，所以AA′1＝13.‎ 答案：13‎ ‎5.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为________．‎ 解析：设所给半球的半径为R，则四棱锥的高h＝R，底面正方形中，AB＝BC＝CD＝DA＝R，所以R3＝，则R3＝2，于是所求半球的体积为V＝πR3＝π.‎ 答案：π 板块(七)　解析几何 ‎(一)巧用解题结论，考场快速抢分 ‎1．直线与圆位置关系的判定方法 ‎(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切；‎ ‎(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr⇔相离，‎ 第 22 页 共 22 页 d＝r⇔相切(主要掌握几何方法)．‎ ‎2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系 ‎(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0(斜率相等)且B‎1C2－B‎2C1≠0(在y轴上截距不相等)；‎ ‎(2)相交⇔A1B2－A2B1≠0；‎ ‎(3)重合⇔A1B2－A2B1＝0且B‎1C2－B‎2C1＝0；‎ ‎(4)垂直⇔A‎1A2＋B1B2＝0.‎ ‎3．若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则该点的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.‎ ‎4．通径 ‎(1)椭圆通径长为；‎ ‎(2)双曲线通径长为；‎ ‎(3)抛物线通径长为2p.‎ ‎5．抛物线焦点弦的常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则 ‎(1)焦半径|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝；‎ ‎(2)x1x2＝，y1y2＝－p2；‎ ‎(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝；‎ ‎(4)＋＝；‎ ‎(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；‎ ‎(6)S△OAB＝(O为抛物线的顶点)．‎ ‎(二)明辨易错易混，谨防无谓失分 ‎1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．‎ ‎2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．‎ ‎3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.‎ ‎4．圆的标准方程中，易误把r2当成r；圆的一般方程中忽视方程表示圆的条件．‎ ‎5．易误认为两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．‎ ‎6．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，‎ 第 22 页 共 22 页 有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，‎2a＜|F‎1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．‎ ‎7．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．‎ ‎(三)演练经典小题，做好考前热身 ‎1．已知圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0关于直线2ax＋by－2＝0对称，则ab的取值范围是(　　)‎ A.　　　　　 B. C. D. 解析：选A　将圆的方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心(1，2)在直线2ax＋by－2＝0上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－＋≤.故选A.‎ ‎2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为(　　)‎ A．± B.±1‎ C．± D.± 解析：选A　设M(x0，y0)，易知焦点F，由抛物线的定义得|MF|＝x0＋＝2p，所以x0＝p，故y＝2p×p＝3p2，解得y0＝±p，故直线MF的斜率k＝＝±.故选A.‎ ‎3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的左、右两个焦点，M是双曲线与椭圆＋＝1的一个公共点，则△MF‎1F2的面积等于(　　)‎ A．2　　　　　　　　 B.4‎ C．6 D.8‎ 解析：选B　法一：由得不妨设点M是两曲线在第一象限的交点，则有M，点M到x轴的距离为，由已知可得|F‎1F2|＝‎2c＝2，故△MF‎1F2的面积等于×2×＝4.故选B.‎ 法二：依题意可得双曲线与椭圆的焦点相同，假设点M是两曲线在第一象限的交点，则有|MF1|－|MF2|＝2，|MF1|＋|MF2|＝6，解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F‎1F2|＝2，由于|MF1|2＋|MF2|2＝42＋22＝20＝|F‎1F2|2，故△MF‎1F2是直角三角形，其面积为×4×2＝4.故选B.‎ ‎4．已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为.若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为(　　)‎ 第 22 页 共 22 页 A.－＝1 B.－＝1‎ C.x2－＝1 D.y2－＝1‎ 解析：选C　由题意可知，OM为Rt△MF‎1F2斜边上的中线，所以|OM|＝|F‎1F2|＝c.由M到原点的距离为，得c＝，又e＝＝，所以a＝1，‎ 所以b2＝c2－a2＝3－1＝2.‎ 故双曲线C的方程为x2－＝1.故选C.‎ ‎5．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－6x＋5＝0所截得的弦长为2，则该双曲线的离心率等于________．‎ 解析：不妨取双曲线－＝1的一条渐近线方程为bx－ay＝0，圆x2＋y2－6x＋5＝0的圆心为(3，0)，半径为2，∴圆心(3，0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝，又d＝ ＝，∴＝，化简得a2＝2b2，∴该双曲线的离心率e＝＝ ＝＝.‎ 答案： ‎6．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________．‎ 解析：如图所示，令|PF1|＝1，‎ 在Rt△PF‎1F2中，由∠F1PF2＝60°，可知|PF2|＝2，|F‎1F2|＝，由椭圆定义得‎2a＝|PF1|＋|PF2|＝3，‎2c＝，所以e＝＝.‎ 答案： 板块(八)　概率与统计 ‎(一)巧用解题结论，考场快速抢分 ‎1．直方图的三个结论 ‎(1)小长方形的面积＝组距×＝频率；‎ ‎(2)各小长方形的面积之和等于1；‎ ‎(3)小长方形的高＝，所有小长方形高的和为.‎ ‎2．线性回归方程 第 22 页 共 22 页 线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)．‎ ‎3．独立性检验 利用随机变量K2＝来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的这种判断犯错误的可能性越小．‎ ‎4．二项式定理 ‎(1)各二项式系数之和：‎ ‎①C＋C＋C＋…＋C＝2n；‎ ‎②C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.‎ ‎(2)二项式系数的性质：‎ ‎①C＝C，C＋C＝C；‎ ‎②二项式系数最值问题：‎ 当n为偶数时，中间一项即第＋1项的二项式系数Cn最大；当n为奇数时，中间两项即第，项的二项式系数Cn，Cn相等且最大．‎ ‎(3)求两个二项式乘积的展开式中xk项(或系数)，要用系数配对．‎ ‎5．八组公式 ‎(1)离散型随机变量的分布列的两个性质 ‎①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.‎ ‎(2)均值公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.‎ ‎(3)均值的性质 ‎①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；‎ ‎②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；‎ ‎③若X服从两点分布，则E(X)＝p.‎ ‎(4)方差公式 D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn，标准差.‎ ‎(5)方差的性质 ‎①D(aX＋b)＝a2D(X)；‎ ‎②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；‎ ‎③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．‎ ‎(6)独立事件同时发生的概率计算公式 P(AB)＝P(A)P(B)．‎ ‎(7)独立重复试验的概率计算公式 第 22 页 共 22 页 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.‎ ‎(8)条件概率公式 P(B|A)＝.‎ ‎(二)明辨易错易混，谨防无谓失分 ‎1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．‎ ‎2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．‎ ‎3．二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分．还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同．‎ ‎4．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别 ‎(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．‎ ‎(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．‎ ‎(三)演练经典小题，做好考前热身 ‎1．将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C种放法，甲盒中恰好有3个小球有C种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为＝.故选C.‎ ‎2．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝kx，其中k为[－， ]上的任意一个数，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　当直线l与圆C相离时，圆心C到直线l的距离d＝>，解得k>1或k<－1，又k∈[－， ]，所以－≤k<－1或1”的区别．‎