【数学】2018届一轮复习人教A版第一部分专题七选考内容学案

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第一讲 选修4－4　坐标系与参数方程 ‎[考情分析] ‎ ‎1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是曲线的参数方程与极坐标方程的综合应用．‎ ‎2．全国卷对此部分的考查以解答题的形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．　　　　‎ 考点一　极坐标方程及其应用 ‎[典例感悟]‎ ‎[典例1]　(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·＝2sin－≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ ‎[方法技巧]‎ ‎1．求曲线的极坐标方程的一般思路 曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．‎ ‎2．解决极坐标交点问题的一般思路 一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其转化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出交点的极坐标．‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ 由已知tan θ＝2，‎ 即sin θ＝2cos θ，‎ 可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，‎ 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．‎ 所以a＝1.‎ 考点二　参数方程及其应用 ‎[典例感悟]‎ ‎[典例2]　(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ ‎[解]　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，‎ 由解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0)，－，.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，‎ 故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为 d＝ ‎＝ .‎ 当a≥－4时，d的最大值为 ，‎ 由题设得＝，解得a＝8；‎ 当a＜－4时，d的最大值为，‎ 由题设得＝，解得a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ ‎[方法技巧]‎ 参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用 ‎(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．‎ ‎(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．‎ ‎[演练冲关]‎ ‎2．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ 解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ 考点三　极坐标方程与参数方程的综合应用　‎ ‎[典例感悟]‎ ‎[典例3]　(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎[解]　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；‎ 消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)．‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，‎ 所以交点M的极径为.‎ ‎[方法技巧]‎ 解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法 ‎(1)在参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先将其化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．‎ ‎(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．‎ ‎(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．‎ ‎[演练冲关]‎ ‎3．(2017·成都模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.‎ ‎(1)求θ的值；‎ ‎(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．‎ 解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，‎ ‎∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程为 ‎(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ.‎ 由ρ＝2，得sin θ＝，‎ ‎∵θ∈，‎ ‎∴θ＝.‎ ‎(2)由题，易知直线l的普通方程为x＋y－4＝0，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0.‎ 又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，‎ 联立，得 解得ρ＝4.‎ ‎∴点B的极坐标为，‎ ‎∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.‎ ‎[课时跟踪检测] ‎ ‎1．(2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ＝12，且直线l与曲线C交于P，Q两点．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的定点A的坐标；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若|AP|·|AQ|＝6，求直线l的普通方程．‎ 解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴C的直角坐标方程为x2＋2y2＝12.‎ 直线l恒过的定点为A(2,0)．‎ ‎(2)把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中得，‎ ‎(sin2α＋1)t2＋4(cos α)t－8＝0.‎ 由t的几何意义知|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|.‎ ‎∵点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，‎ ‎∴t1t2＝－，‎ ‎∵|AP|·|AQ|＝|t1t2|＝6，‎ ‎∴＝6，即sin2α＝，‎ ‎∵α∈(0，π)，‎ ‎∴sin α＝，cos α＝±，‎ ‎∴直线l的斜率k＝±，‎ 因此，直线l的方程为 y＝(x－2)或y＝－(x－2)．‎ ‎2．(2017·郑州质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为，半径为1的圆．‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程，C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．‎ 解：(1)消去参数φ可得C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 由题可知，曲线C2的圆心的直角坐标为(0,3)，‎ ‎∴C2的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝1.‎ ‎(2)设M(2cos φ，sin φ)，曲线C2的圆心为C2，‎ 则|MC2|＝＝‎ ＝ ‎＝.‎ ‎∵－1≤sin φ≤1，∴|MC2|min＝2，|MC2|max＝4.‎ 根据题意可得|MN|min＝2－1＝1，|MN|max＝4＋1＝5，‎ 即|MN|的取值范围是[1,5]．‎ ‎3．(2017·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－.‎ ‎(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．‎ 解：(1)由 消去参数t，得圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.‎ 由ρcos＝－，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.‎ ‎(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，化为极坐标为A(2，π)，B.‎ 设点P的坐标为(－5＋cos t,3＋sin t)，则点P到直线l的距离为 d＝＝，‎ 所以dmin＝＝2.又|AB|＝2，‎ 所以△PAB面积的最小值是Smin＝×2×2＝4.‎ ‎4．(2018届高三·西安八校联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l： ‎(t为参数)的距离最短，并求出点D的直角坐标．‎ 解：(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π)，可得ρ2＝2ρsin θ.‎ 因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)由直线l的参数方程(t为参数)，‎ 消去t得直线l的普通方程为y＝－x＋5.‎ 因为曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以G(0,1)为圆心、1为半径的圆，(易知C，l相离)‎ 设点D(x0，y0)，且点D到直线l：y＝－x＋5的距离最短，‎ 所以曲线C在点D处的切线与直线l：y＝－x＋5平行．‎ 即直线GD与l的斜率的乘积等于－1，即×(－)＝－1，‎ 又x＋(y0－1)2＝1，‎ 可得x0＝－(舍去)或x0＝，所以y0＝，‎ 即点D的直角坐标为.‎ ‎5．(2018届高三·广东五校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝4‎ eq r(2).‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到曲线C2上点的距离的最小值．‎ 解：(1)由曲线C1：得曲线C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 由曲线C2：ρsin＝4得，ρ(sin θ＋cos θ)＝4，‎ 即曲线C2的直角坐标方程为x＋y－8＝0.‎ ‎(2)易知椭圆C1与直线C2无公共点，‎ 椭圆上的点P(cos α，sin α)到直线x＋y－8＝0的距离为d＝＝，其中φ是锐角且tan φ＝.‎ 所以当sin(α＋φ)＝1时，d取得最小值.‎ ‎6．(2017·成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ－4sin θ＝0.‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点P(1,0)．若点M的极坐标为，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．‎ 解：(1)∵直线l的参数方程为(t为参数)，‎ ‎∴直线l的普通方程为y＝tan α·(x－1)．‎ 由ρcos2 θ－4sin θ＝0得ρ2cos2 θ－4ρsin θ＝0，即x2－4y＝0.‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.‎ ‎(2)∵点M的极坐标为，∴点M的直角坐标为(0,1)．‎ 又直线l经过点M，∴1＝tan α·(0－1)，‎ ‎∴tan α＝－1，即直线l的倾斜角α＝.‎ ‎∴直线l的参数方程为(t为参数)．‎ 代入x2＝4y，得t2－6t＋2＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.‎ ‎∵Q为线段AB的中点，‎ ‎∴点Q对应的参数值为＝＝3.‎ 又点P(1,0)是直线l上对应t＝0的点，则|PQ|＝＝3.‎ ‎7．(2017·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．‎ 解：(1)∵曲线C1的参数方程为 ‎∴其普通方程为x－y－a＋1＝0.‎ ‎∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0，‎ ‎∴ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，‎ ‎∴x2＋4x－x2－y2＝0，即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由得2t2－2t＋1－4a＝0.‎ Δ＝(2)2－4×2(1－4a)>0，即a>0，由根与系数的关系得 根据参数方程的几何意义可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|，‎ 又|PA|＝2|PB|，∴2|t1|＝2×2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2.‎ 当t1＝2t2时，有解得a＝>0，符合题意．‎ 当t1＝－2t2时，有解得a＝>0，符合题意．‎ 综上所述，实数a的值为或.‎ ‎8．(2017·贵阳检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时△AOB的面积．‎ 解：(1)由得C1的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝9.由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，‎ 将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入上式，得C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C1C2上时，|AB|取得最小值，‎ 由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，‎ ‎∴kC1C2＝＝1，则直线C1C2的方程为x－y＋1＝0，‎ ‎∴点O到直线C1C2的距离d＝＝，又|AB|＝|C1C2|－1－3＝－4＝4－4，‎ ‎∴S△AOB＝d|AB|＝××(4－4)＝2－.‎ 第二讲 选修4－5　不等式选讲 ‎[考情分析]‎ ‎1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是绝对值不等式的解法以及不等式的证明，其中绝对值不等式的解法以及绝对值不等式与函数综合问题的求解是命题的热点．‎ ‎2．该部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考时应注意分类讨论思想的应用．　　　　 ‎ 考点一　绝对值不等式的解法 ‎[典例感悟]‎ ‎[典例1]　(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①‎ 当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；‎ 当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，解得－1≤x≤1；‎ 当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，‎ 解得1＜x≤.‎ 所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤.‎ ‎(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2.‎ 所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.‎ 又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.‎ 所以a的取值范围为[－1,1]．‎ ‎[方法技巧]‎ 绝对值不等式的常用解法 ‎(1)基本性质法：对a∈R＋，|x|a⇔x<－a或x>a.‎ ‎(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．‎ ‎(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．‎ ‎(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．‎ ‎(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．‎ 解：(1)f(x)＝ 当x＜－1时，f(x)≥1无解；‎ 当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；‎ 当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.‎ 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．‎ ‎(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.‎ 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，‎ 且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.‎ 故m的取值范围为.‎ 考点二　不等式的证明 ‎[典例感悟]‎ ‎[典例2]　(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.‎ ‎[解]　‎ ‎(1)f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，‎ 解得x>－1；‎ 当－＜x＜时，f(x)＜2恒成立；‎ 当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，‎ 解得x＜1.‎ 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．‎ ‎(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，‎ 从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－ 1)·(1－b2)＜0.‎ 因此|a＋b|＜|1＋ab|.‎ ‎[方法技巧]‎ 证明不等式的常用方法 不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等．‎ ‎(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法．‎ ‎(2)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．‎ ‎ [演练冲关]‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：‎ ‎(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；‎ ‎(2)a＋b≤2.‎ 证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6‎ ‎＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)‎ ‎＝4＋ab(a2－b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3‎ ‎＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)‎ ‎＝2＋，‎ 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.‎ 考点三　含绝对值不等式的恒成立问题 ‎[典例感悟]‎ ‎[典例3]　(2017·合肥质检)已知函数f(x)＝|x－m|－|x＋3m|(m>0)．‎ ‎(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；‎ ‎(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)<|2＋t|＋|t－1|恒成立，求m的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当m＝1时，f(x)＝ 由f(x)≥1，得或x≤－3，‎ 解得x≤－，‎ ‎∴不等式f(x)≥1的解集为.‎ ‎(2)不等式f(x)<|2＋t|＋|t－1|对任意的实数x，t恒成立，等价于对任意的实数x，f(x)<(|2＋t|＋|t－1|)min恒成立，即[f(x)]max<(|2＋t|＋|t－1|)min，‎ ‎∵f(x)＝|x－m|－|x＋3m|≤|(x－m)－(x＋3m)|＝4m，|2＋t|＋|t－1|≥|(2＋t)－(t－1)|＝3，‎ ‎∴4m<3，又m>0，∴02时，f(x)≥6可化为x＋1＋x－2≥6，解得x≥.‎ 综上，不等式f(x)≥6的解集为xx≤－或x≥.‎ ‎(2)法一：因为|x＋1|＋|m－x|≥|x＋1＋m－x|＝|m＋1|，‎ 由题意得|m＋1|≥6，即m＋1≥6或m＋1≤－6，解得m≥5或m≤－7，即m的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．‎ 法二：①当m<－1时，f(x)＝ 此时，f(x)min＝－m－1，由题意知，－m－1≥6，‎ 解得m≤－7，所以m的取值范围是m≤－7.‎ ‎②当m＝－1时，f(x)＝|x＋1|＋|－1－x|＝2|x＋1|，‎ 此时f(x)min＝0，不满足题意．‎ ‎③当m>－1时，f(x)＝ 此时，f(x)min＝m＋1，由题意知，m＋1≥6，解得m≥5，‎ 所以m的取值范围是m≥5.‎ 综上所述，m的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．‎ ‎2．(2017·郑州模拟)已知a>0，b>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|的最小值为4.‎ ‎(1)求a＋b的值；‎ ‎(2)求a2＋b2的最小值．‎ 解：(1)因为|x＋a|＋|x－b|≥|a＋b|，所以f(x)≥|a＋b|，当且仅当(x＋a)(x－b)<0时，等号成立，又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b，所以a＋b＝4.‎ ‎(2)由(1)知a＋b＝4，b＝4－a，a2＋b2＝a2＋(4－a)2＝a2－a＋＝2＋，故当且仅当a＝，b＝时，a2＋b2取最小值为.‎ ‎3．(2018届高三·湖南五市十校联考)设函数f(x)＝|x－1|－2|x＋a|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)>0在x∈[2,3]上恒成立，求a的取值范围．‎ 解：(1)a＝1，f(x)>1⇔|x－1|－2|x＋1|>1⇔或或⇔－21的解集为.‎ ‎(2)f(x)>0在x∈[2,3]上恒成立⇔|x－1|－2|x＋a|>0在x∈[2,3]上恒成立⇔|2x＋2a|

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