数学文卷·2018届福建省莆田市高三下学期教学质量检测(3月)(2018

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数学文卷·2018届福建省莆田市高三下学期教学质量检测(3月)(2018

‎2018年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷 数学(文科)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设复数满足,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.等比数列的前项和为,已知,,则( )‎ A. B. C.14 D.15‎ ‎4.执行下面的程序框图,如果输入的,则输出的( )‎ A.5 B.‎6 C.8 D.13‎ ‎5.为了解某校一次期中考试数学成绩情况,抽取100位学生的数学成绩,得如图所示的频率分布直方图,其中成绩分组区间是,‎ 则估计该次数学成绩的中位数是( )‎ A.71.5 B.‎71.8 C.72 D.75‎ ‎6.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称.把干支顺序相配正好六十为一周,周而复始,循环记录,这就是俗称的“干支表”.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、葵等十个符号叫天干;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支.如:公元1984年农历为甲子年、公元1985年农历为乙丑年,公元1986年农历为丙寅年.则公元2047年农历为( )‎ A.乙丑年 B.丙寅年 C.丁卯年 D.戊辰年 ‎7.已知为坐标原点,为抛物线的焦点,过作直线与交于两点.若,则重心的横坐标为( )‎ A. B.‎2 C. D.3‎ ‎8.已知函数,则下列说法正确的是( )‎ A.的最小正周期为 B.在区间上是增函数 ‎ C. 的图像关于点对称 D.的图像关于直线对称 ‎9.甲乙两人被安排在某月1日至4日值班,每人各值班两天,则甲、乙均不连续值班的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.如图,网络纸的各小格都是正方形,粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )‎ A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.四棱柱 ‎11.已知圆.若是圆上不同两点,以为边作等边,则的最大值是( )‎ A. B. C. 2 D.‎ ‎12.已知直三棱柱外接球的表面积为,.若分别为棱上的动点,且,则直线被该三棱柱外接球球面截得的线段长为( )‎ A. B.‎2 C.4 D.不是定值 第Ⅱ卷 二、填空题:本题共4小题,每题小5分,共20分.‎ ‎13.已知向量,.若,则 .‎ ‎14.若满足约束条件,则的最大值为 .‎ ‎15.已知数列满足,,则 .‎ ‎16.已知是上的偶函数,且.若关于的方程有三个不相等的实数根,则的取值范围是 .‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.的内角的对边分别为,已知.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)如图,若,为外一点,,,求四边形的面积. ‎ ‎18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量(单位:)和年利润(单位:千元)的影响,对近13年的宣传费和年销售量数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ 由散点图知,按建立关于的回归方程是合理的.令,则,经计算得如下数据:‎ ‎10.15‎ ‎109.94‎ ‎0.16‎ ‎-2.10‎ ‎0.21‎ ‎21.22‎ ‎(1)根据以上信息,建立关于的回归方程;‎ ‎(2)已知这种产品的年利润与的关系为.根据(1)的结果,求当年宣传费时,年利润的预报值是多少?‎ 附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.‎ ‎19.如图,四棱锥中,底面是平行四边形,分别为中点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若是等边三角形,平面平面,,,求三棱锥的体积.‎ ‎20.已知两定点,,动点使直线的斜率的乘积为.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(2)过点的直线与交于两点,是否存在常数,使得?并说明理由.‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(1)若在定义域上是增函数,求的取值范围;‎ ‎(2)若存在,使得,求的值,并说明理由.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(是参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求的直角坐标方程和的普通方程;‎ ‎(2)与相交于两点,设点为上异于的一点,当面积最大时,求点到的距离.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:DBDCC 6-10:CBDBA 11、12:CA 二、填空题 ‎13. 14.4 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)在中,由正弦定理得,‎ 又,所以,‎ 故,‎ 所以,‎ 又,所以,故,‎ 又,所以.‎ ‎(2)因为,故,‎ 在中,,‎ 所以,故,‎ 所以,‎ 又,,‎ 所以,‎ 又,‎ 所以四边形的面积为.‎ ‎18.解:(1),‎ ‎,‎ 则关于的回归方程为.‎ ‎(2)依题意,‎ 当时,,‎ 所以年利润的预报值是1090.4.‎ ‎19.解:(1)取中点,连结.‎ 因为中,分别为中点,‎ 所以.‎ 又因为四边形是平行四边形,所以.‎ 又是中点,所以,所以.‎ 所以四边形为平行四边形,所以,‎ 又平面,平面,‎ 所以平面.‎ ‎(2)取中点,连结,则,‎ 因为平面平面,平面平面,平面,‎ 所以平面.‎ 又由(1)知平面,所以.‎ 又因为为中点,‎ 所以.‎ 所以三棱锥的体积为.‎ ‎20.解:(1)设,由,‎ 得,即.‎ 所以动点的轨迹方程是.‎ ‎(2)因为,当直线的斜率为0时,与曲线没有交点,不合题意,‎ 故可设直线的方程为,‎ 联立,消去得,‎ 设,则,,‎ ‎.‎ ‎.‎ 故存在实数,使得恒成立.‎ ‎21.解:(1)因为在定义域上为增函数.‎ 所以在上恒成立,‎ 即在上恒成立.‎ 令,,则,‎ 所以在上为减函数,故,所以.‎ 故的取值范围为.‎ ‎(2)因为,‎ 取,得,又,所以.‎ 所以存在整数,当时,.‎ 令,则,‎ 令,得.‎ ‎,的变化情况如下表:‎ 所以时,取到最小值,且最小值为.‎ 即.‎ 令,则,‎ 令,由,得,‎ 所以当时,,在上单调递减,‎ 当时,,在上单调递增,‎ 所以,即.‎ 因此,从而在上单调递增,‎ 所以,即.‎ 综上,.‎ ‎22.解:(1)因为直线的极坐标方程为,‎ 所以,‎ 所以直线的直角坐标方程为.‎ 曲线的参数方程为,(是参数),‎ 所以曲线的普通方程为.‎ ‎(2)直线与曲线相交于两点,所以为定值.‎ 要使的面积最大,只需点到直线的距离最大.‎ 设点为曲线上任意一点.‎ 则点到直线的距离,‎ 当时,取最大值为.‎ 所以当面积最大时,点到的距离为.‎ ‎23.解:(1)当时,不等式,即.‎ 可得,或,或.‎ 解得.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎(2)因为.‎ 当且仅当时,取得最小值.‎ 又因为对任意的恒成立,所以,‎ 即,故,解得.‎ 所以的取值范围为.‎
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