高考数学【文科】真题分类详细解析版专题4 数列（解析版）

高考数学【文科】真题分类详细解析版专题4 数列（解析版）

‎ 专题04 数列 ‎【2013高考试题】‎ ‎（2013·新课标Ⅰ文）（6）设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2013·上海文）2．在等差数列中，若，则 ．‎ ‎（2013·辽宁文）（14）已知等比数列 ‎ .‎ ‎【学科网考点定位】本题考查解一元二次方程，等比数列的求和公式。‎ ‎（2013·辽宁文）（4）下面是关于公差的等差数列的四个命题：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2013·大纲文）7. 已知数列满足则的前10项和等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2013·北京文）（11）若等比数列满足，，则公比__________;前项_____.‎ ‎（2013·江西文）12.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数等于 .‎ ‎（2013·浙江文）19、在公差为的等差数列中，已知a1=10，且成等比数列. ‎ ‎ （Ⅰ）求；‎ ‎ （Ⅱ) 若，求；‎ ‎ （7）设为等差数列的前项和，，则=‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【学科网考点定位】考查等差数列通项公式和前n项公式的应用，以及数列基本量的求解。‎ ‎（2013·安徽文）（19）（本小题满分13分）‎ 设数列满足，,且对任意，函数 ，满足 ‎ (Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和.‎ ‎【学科网考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和运算能力.‎ ‎（2013·北京文）（20）（本小题共13分）‎ 给定数列.对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.‎ ‎（Ⅰ）设数列为，，，，写出，，的值；‎ ‎（Ⅱ）设是公比大于的等比数列，且.证明：是等比数列.‎ ‎（Ⅲ）设是公差大于的等差数列，且，证明：是等差数列.‎ ‎（2013·大纲文）17．（本小题满分10分）‎ 等差数列中，‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）设，求数列的前n项和.‎ ‎（2013·福建文）17．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的公差=1，前项和为.(I)若；‎ ‎(II)若 ‎（2013·湖南文）19.（本小题满分13分）‎ 设为数列{}的前项和，已知，2，N ‎（Ⅰ）求，，并求数列｛｝的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列｛｝的前项和。‎ ‎（2013·江西文）16.正项数列 ‎（2013·山东文）20.设等差数列的前项和为，且,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列满足 ，求的前项和.‎ ‎（2013·陕西文）17. (本小题满分12分) ‎ 设Sn表示数列的前n项和. ‎ ‎ (Ⅰ) 若为等差数列, 推导Sn的计算公式; ‎ ‎ (Ⅱ) 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列. 并证明你的结论。‎ ‎（2013·天津卷）（19）（本小题满分14分）‎ 已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列. ‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ) 证明. ‎ ‎（2013·新课标Ⅱ卷）（17）（本小题满分12分）‎ 已知等差数列｛an｝的公差不为零，a1=25，且，，成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求+a4+a7+…+a3n-2.‎ ‎【易错点】对第（Ⅰ）问，基本量的计算是高考常考的一个重点内容，注意细心计算确保正确率；准确解答第（Ⅱ）问的关键是熟练等差数列的性质以及前n项和公式.‎ ‎【学科网考点定位】本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查分析问题、解决问题的能力.‎ ‎（2013·新课标Ⅰ文）（17）（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的前项和满足，。‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和。‎ ‎【2012高考试题】‎ ‎1.【2012高考安徽文5】公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且 =16，则=‎ ‎（A） 1 （B）2 （C） 4 （D）8‎ ‎【答案】A ‎【解析】。‎ ‎2.【2012高考全国文6】已知数列的前项和为，，，,则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以由得，，整理得，所以，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，选B.‎ ‎3.【2012高考新课标文12】数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前60项和为 ‎（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830‎ ‎4.【2012高考辽宁文4】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=‎ ‎(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，故选B ‎5.【2012高考湖北文7】定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |。‎ 则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④‎ ‎【答案】C ‎ ‎6.【2012高考四川文12】设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（ ）‎ A、0 B、‎7 C、14 D、21‎ ‎7.【2102高考福建文11】数列{an}的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012等于 ‎ A.1006 B‎.2012 C.503 D.0‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】因为函数的周期是4，所以数列的每相邻四项之和是一个常数2，所以.故选A.‎ ‎8.【2102高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是 ‎（A）a1+a3≥‎2a2 （B） （C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2‎ ‎9.【2102高考北京文8】某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为 ‎10.【2012高考重庆文11】首项为1，公比为2的等比数列的前4项和 ‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】因为数列是等比数列，所以。‎ ‎11.【2012高考新课标文14】等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______‎ ‎13.【2012高考上海文7】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 ‎ ‎14.【2012高考上海文14】已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 ‎ ‎15.【2012高考辽宁文14】已知等比数列｛an｝为递增数列.若a1>0,且2（a n+a n+2）=‎5a n+1 ,则数列｛an｝的公比q = _____________________.‎ ‎16.【2102高考北京文10】已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若，S2=a3，则a2=______，Sn=_______。‎ ‎17.【2012高考广东文12】若等比数列满足，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以 。‎ ‎18.【2012高考浙江文19】（本题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.‎ ‎（1）求an，bn；‎ ‎（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.‎ ‎19.【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ 又由即，得。‎ ‎20.【2012高考湖南文20】（本小题满分13分）‎ 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.‎ ‎（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；‎ ‎（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎21.【2012高考重庆文16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））‎ 已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。‎ ‎ 【解析】（Ⅰ）设数列 的公差为d,由题意知 解得 所以 ‎22.【2012高考山东文20】 (本小题满分12分)‎ 已知等差数列的前5项和为105，且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.‎ ‎23.【2012高考安徽文21】（本小题满分13分）‎ 设函数=+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设的前项和为，求。‎ ‎24.【2012高考广东文19】（本小题满分14分）‎ 设数列前项和为，数列的前项和为，满足，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎25.【2012高考江西文17】（本小题满分12分）‎ 已知数列|an|的前n项和（其中c，k为常数），且a2=4，a6=‎8a3‎ ‎（1）求an；‎ ‎（2）求数列{nan}的前n项和Tn。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【2011年高考试题】‎ ‎1. （2011年高考四川卷文科9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),则a6=‎ ‎（A）3 ×44 （B）3 ×  44+1‎ ‎ (C) 44 （D）44+1‎ ‎2.（2011年高考全国卷文科6)设为等差数列的前项和，若，公差，，则 ‎ ‎（A）8 （B）7 （C）6 （D）5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选D。‎ ‎3.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________‎ ‎4.（2011年高考辽宁卷文科15)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________。‎ ‎5．（2011年高考湖南卷文科20)（本题满分13分）‎ 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．‎ ‎（I）求第n年初M的价值的表达式；‎ ‎（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．‎ ‎ ‎ ‎6. （2011年高考湖北卷文科17)（本小题满分12分）‎ 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的 ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)数列的前n项和为，求证：数列是等比数列.‎ 本小题主要考查等差数列、等比数列及其求和公式等基础知识，同时考查基本运算能力.‎ ‎7. （2011年高考山东卷文科20)（本小题满分12分）‎ 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.‎ ‎9. （2011年高考全国新课标卷文科17)（本小题满分12分）‎ 已知等比数列中，，‎ ‎（1）为数列前项的和，证明： ‎ ‎（2）设，求数列的通项公式；‎ ‎10．（2011年高考浙江卷文科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项 为 (),且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式（Ⅱ）对，试比较 与的大小.‎ ‎11. (2011年高考天津卷文科20)（本小题满分14分）‎ 已知数列与满足,,且.‎ ‎（Ⅰ）求的值;‎ ‎(Ⅱ)设,,证明是等比数列;‎ ‎(Ⅲ)设为的前n项和,证明.‎ 故=,‎ 所以.。‎ ‎12.（2011年高考全国卷文科17) (本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎ 设数列的前N项和为,已知求和 ‎13．（2011年高考重庆卷文科16)（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）‎ 设是公比为正数的等比数列，，。‎ ‎ （Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和。‎ ‎【2010年高考试题】‎ ‎1.（2010辽宁文数）（3）设为等比数列的前项和，已知，，则公比 ‎（A）3 （B）4 （C）5 （D）6‎ 答案：B. ‎ 解析：两式相减得， ，.‎ ‎2.（2010全国卷2文数）(6)如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=‎ ‎（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵ ，‎ ‎∴ ‎ ‎3.（2010安徽文数）(5)设数列的前n项和，则的值为 ‎（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64‎ ‎【答案】A ‎【解析】.‎ ‎4.（2010重庆文数）（2）在等差数列中，，则的值为 ‎（A）5 （B）6‎ ‎（C）8 （D）10‎ 解析：由角标性质得，所以=5。‎ ‎5.（2010浙江文数）(5)设为等比数列的前n项和，则 ‎(A)-11 (B)-8‎ ‎(C)5 (D)11‎ ‎6.（2010全国卷1文数）（4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=‎ ‎(A) (B) ‎7 ‎ (C) 6 (D) ‎ ‎7.（2010陕西文数）11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为 。‎ ‎8.（2010辽宁文数）（14）设为等差数列的前项和，若，则 。‎ ‎9.（2010天津文数）（15）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和。记设为数列{}的最大项，则= 。‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。‎ 因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。‎ ‎10.（2010上海文数）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。‎ 已知数列的前项和为，且，‎ ‎(1)证明：是等比数列；‎ ‎(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.‎ ‎11.（2010陕西文数）16.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.‎ ‎ （Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.‎ ‎12.（2010全国卷2文数）（18）（本小题满分12分）‎ 已知是各项均为正数的等比数列，且 ‎，‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和。‎ ‎13.（2010天津文数）（22）（本小题满分14分）‎ 在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.‎ ‎（Ⅰ）证明成等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）记，证明.‎ ‎【2009年高考试题】‎ ‎1.( 2009·广东，文5)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= ‎ A. B. C. D.2 ‎ 答案：B 解析：设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B。‎ ‎2.(2009·安徽，文5)已知为等差数列，，则等于 ‎ A. -1 B. ‎1 ‎ C. 3 D.7‎ 解析：∵即∴同理可得∴公差∴.选B。‎ 答案：B。‎ ‎3.(2009·辽宁，文3)已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝‎ A．－2 B．－ C． D．2‎ 解析：a7－‎2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 Þ d＝－‎ 答案：B ‎4.(2009·宁夏海南，文8)等差数列的前n项和为，已知，,则 A．38 B．‎20 C．10 D．9 . ‎ ‎5.(2009·宁夏海南，文15)等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和= ‎ ‎6.(2009·浙江，文11)设等比数列的公比，前项和为，则 ．‎ ‎7.(2009·浙江，文16)设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列．‎ 答案： ‎ 解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．‎ ‎8.( 2009·山东，文13)在等差数列中,,则.‎ ‎【2008年高考试题】‎ ‎1.(2008·广东卷文4)记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差( )‎ A、2 B、‎3 C、6 D、7‎ 解析：,选B.‎ ‎2．(2008·海南宁夏理4文8)设等比数列的公比，前n项和为，则( )‎ 分析：本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的简单应用，是一道容易题，只要熟悉等比数列的两个基本公式，解答本题困难不大，但也要注意运算的准确性。‎ A. 2 B. ‎4 ‎ C. D. ‎ 答案：C ‎ 解析：。‎ ‎3.(2008·海南宁夏卷文13)已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____________‎ 答案：１５‎ 解析：由于为等差数列，故∴。‎ ‎4.(2008·广东卷文21)设数列满足，， 。数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有。‎ ‎(1)求数列和的通项公式；‎ ‎(2)记，求数列的前项和。‎ ‎ ‎