2014年高考试题——数学理（安徽卷）解析版

2014年高考试题——数学理（安徽卷）解析版

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科）试卷 第  卷（选择题 共 50 分） 一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. （1）设i 是虚数单位， z 表示复数 z 的共轭复数. 若 ,1 iz  则 z izi    （ ） 2 B. i2 C. 2 D. i2 2 0x ”是“ 0)1ln( x ”的（ ） 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析：因为 ，所以 ln( 1) ln1x  ，即 10x   ，因而“ ”是“ ” 的必要而不充分条件 考点：1.对数的运算；2.充要条件. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A. 34 B. 55 C. 78 D. 89 【答案】B 以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位， 已知直线l 的参数方程是 1 3 xt yt    （t 为参数），圆C 的极坐标方程是  cos4 ，则直线 被圆 截得的 弦长为（ ） 14 B. 142 C. 2 D. 22 yx, 满足约束条件       022 022 02 yx yx yx ，若 axyz  取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数 a 的值为（ ） A, 12 1 或 B. 2 12或 C.2 或 1 D. 12 或 【答案】D 【解析】 试题分析：题中的约束条件表示的区域如下图，将 化成斜截式为 y ax z，要使其取得最大 值的最优解不唯一，则 在平移的过程中与 20xy   重合或与 2 2 0xy   重合，所以 2a  或 1 . 考点：1.线性规划求参数的值. 设函数 ))(( Rxxf  满足 .sin)()( xxfxf  当  x0 时， 0)( xf ，则 )6 23( f （ ） 2 1 B. 2 3 C.0 D. 2 1 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ） A.21+ 3 B.18+ C.21 D.18 考点：多面体的三视图与表面积. 8.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60 的共有（ ） A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 考点：1.直线的位置关系；2.异面直线所成的角. 9.若函数 ( ) 1 2f x x x a    的最小值为 3，则实数a 的值为（ ） A.5 或 8 B. 1 或 5 C. 1 或 4 D. 4 或 8 10.在 平 面 直 角 坐 标系 xOy中 ， 已 知 向 量 , , 1, 0,a b a b a b    点 Q 满足 2( )OQ a b. 曲线 { cos sin ,0 2 }C P OP a b        ，区域 { 0 , }P r PQ R r R      .若C  为两段分离的 曲线，则( ) A.13rR   B.13rR   C. 13rR   D.13rR 【答案】A 第  卷（非选择题 共 100 分） 二. 选择题:本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11.若将函数   sin 2 4f x x  的图像向右平移 个单位，所得图像关于 y 轴对称， 则 的最小正值是 ________. 10d  ，∴ 1q  . 考点：1.等差，等比数列的性质. 设 na ,0 是大于 1 的自然数， n a x      1 的展开式为 n n xaxaxaa  2 210 .若点 )2,1,0)(,( iaiA ii 的 位置如图所示，则 ______a . 【答案】3 【解析】 试题分析：由图易知 0 1 21, 3, 4a a a   ，则 1 2 2 12 113, ( ) 4nna C a Caa    ，即 2 3 ( 1) 42 n a nn a     ，解 得 3a  . 考点：1.二项展开式的应用. 设 21,FF 分别是椭圆 )10(1: 2 2 2  bb yxE 的左、右焦点，过点 1F 的直线交椭圆 E 于 BA, 两点，若 xAFBFAF  211 ,3 轴，则椭圆 的方程为__________ 已知两个不相等的非零向量 ,,ba 两组向量 54321 ,,,, xxxxx 和 54321 ,,,, yyyyy 均由 2 个 a 和 3 个b 排列而成. 记 5544332211 yxyxyxyxyxS  ， minS 表示 S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是 _________（写出所有正确命题的编号）. ① 有 5 个不同的值. ②若 ,ba  则 与 a 无关. ③若 ,ba∥ 则 minS 与 b 无关. ④若 ab 4 ，则 0min S . ⑤若 2 min| | 2 | |, 8| |b a S a，则 a 与b 的夹角为 4  三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文子说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的 指定区域内. （16）（本小题满分 12 分）设 ABC 的内角 ,,ABC所对边的长分别是 ,,a b c ，且 3, 1, 2 .b c A B   （1）求 a 的值； （2）求sin( )4A  的值. 故sin( ) sin cos cos sin4 4 4A A A     2 2 2 1 2 4 2()3 2 3 2 6       . （17）（本小题满分 12 分） 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多 者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 2 3 ，乙获胜的概率为 1 3 ，各局比赛结果相互独立. 求甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率； 记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 的分布列和均值（数学期望）. k 局乙获胜”.则 2()3kPA  ， 1( ) , 1,2,3,4,53kP B k . 1 2 1 2 3 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )P A P A A P B A A P A B A A   1 2 1 2 3 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P B P A P A P A P B P A P A   2 2 22 1 2 2 1 2 56 3 3 3 3 3 3 81                       . X 的可能取值为 2,3,4,5 . 1 2 1 2 1 2 1 2 5( 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9P X P A A P B B P A P A P B P B      . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9P X P B A A P A B B P B P A P A P A P B P B      1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 10( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 81P X P A B A A P B A B B P A P B P A P A P B P A P B P B      8( 5) 1 ( 2) ( 3) ( 4) 81P X P X P X P X         . 故 X 的分布列为 X 2 3 4 5 P 5 9 2 9 10 81 8 81 4a  时， 2 1x  ，由（1）知， ()fx在[0,1]上单调递增，所以 ()fx在 0x  和 1x  处分别取得最小值 和最大值.②当04a时， 2 1x  .由（1）知， 在 2[0, ]x 上单调递增，在 2[ ,1]x 上单调递减，因此 ()fx在 2 1 4 3 3 axx    处取得最大值.又 (0) 1, (1)f f a，所以当 01a时， ()fx在 1x  处取得最小值；当 1a  时， ()fx在 0x  和 1x  处同时取学科网得最小只；当14a时， ()fx 在 0x  处取得最小值. 考点：1.含参函数的单调性；2.含参函数的最值求解. (本小题满分 13 分) 如图，已知两条抛物线  02: 11 2 1  pxpyE 和  02: 22 2 2  pxpyE ，过原点O 的两条直线 1l 和 2l ， 与 21,EE 分别交于 21, AA 两点， 2l 与 21,EE 分别交于 21,BB 两点. 证明： ;// 2211 BABA 过原点O 作直线l（异于 1l ， ）与 分别交于 21,CC 两点.记 111 CBA 与 222 CBA 的面积分别为 1S 与 2S , 求 2 1 S S 的值. （20）(本题满分 13 分) 如图，四棱柱 1111 DCBAABCD  中， AA1  底面 ABCD .四边形 为梯形， BCAD // ,且 BCAD 2 . 过 DCA ,,1 三点的平面记为 ， 1BB 与 的交点为Q . 证明： 为 的中点； 求此四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积之比； 若 4 ， 2CD ，梯形 ABCD 的面积为 6，求平面 与底面 所成二面角大小. 【答案】（1） 为 的中点；（2）11 7 ；（ 3） 4  . 解法 2 如第（20）题图 2，以 D 为原点， 1,DA DD 分别为 x 轴和 z 轴正方向建立空学科网间直角坐标系. （本小题满分 13 分） 设实数 0c ，整数 1p ， *Nn . （1）证明：当 1x 且 0x 时， pxx p  1)1( ； （2）数列 na 满足 pca 1 1  ， p nnn ap cap pa    1 1 1 ，证明： p nn caa 1 1   . 综合①②可得，当 1x 且 0x 时，对一切整数 1p  ，不等式 pxx p  1)1( 均成立. 证法 1：先用数学归纳法证明 1 p nac . ①当 1n  时，由题设 1 1 pac 知 成立.②假设 ( 1, *)n k k k N   时，不等式 1 p kac 成立. 由 1 1 1 p n n n pca a app   易知 0, *na n N. 当 1nk时， 1 111 ( 1)pk k p kk a p c caa p p p a       .