2018-2019学年陕西省西安中学高二上学期期末考试文科数学试题 解析版

2018-2019学年陕西省西安中学高二上学期期末考试文科数学试题 解析版

绝密★启用前 陕西省西安中学2018-2019学年高二上学期期末考试文科数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若集合，，则是 （　）‎ A．或 B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解分式不等式求得集合，然后求两个集合的交集.‎ ‎【详解】‎ 由得，解得或，故.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两个集合的交集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2．抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 由抛物线的方程，则，则，所以，‎ ‎ 所以抛物线的焦点坐标是，故选B.‎ ‎3．命题“， ”的否定是（ ）‎ A．， B．， ‎ C．， D．不存在， ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 因为命题“ ， ”是特称命题，‎ ‎ 所以特称命题的否定是全称命题，得“ ， ”的否定是：“ ， ”，故选A．‎ ‎4．4．4．设，是实数，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的即不充分也不必要条件.故选D.‎ 考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.‎ 视频 ‎5．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a，b的值，进而由椭圆离心率公式，解可得m的值，即可得答案.‎ 详解：根据题意，椭圆的焦点在x轴上，则，‎ 则，‎ 离心率为，‎ 则有，解得.‎ 故选：B.‎ 点睛：本题考查椭圆的几何性质，注意由椭圆的焦点位置，分析椭圆的方程的形式.‎ ‎6．已知，，且，则的最小值为（ ）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用乘以题目所求的表达式，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查的代换的方法，属于基础题.‎ ‎7．已知函数 的导数为 ，若有 ，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，令，所以。故选A。‎ ‎【点睛】求函数的导函数，令，得，将看成未知数，解关于的方程可求的值。‎ ‎8．方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 方程即，表示抛物线，‎ 方程表示椭圆或双曲线，‎ 当和同号时，抛物线开口向左，‎ 方程表示焦点在轴的椭圆，无符合条件的选项；‎ 当和异号时，抛物线开口向右，‎ 方程表示双曲线，‎ 本题选择A选项.‎ ‎9．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的值为（ ）‎ A．10 B．8 C．6 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据过抛物线焦点的弦长公式，利用题目所给已知条件，求得弦长.‎ ‎【详解】‎ 根据过抛物线焦点的弦长公式有.，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查过抛物线焦点的弦长公式，即.要注意只有过抛物线焦点的弦长才可以使用.属于基础题.‎ ‎10．已知椭圆: 的右顶点、上顶点分别为、，坐标原点到直线的距离为，且，则椭圆的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出直线的方程，利用原点到直线的距离，以及列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆的方程.‎ ‎【详解】‎ 椭圆右顶点坐标为，上顶点坐标为，故直线的方程为，即，依题意原点到直线的距离为，且，由此解得，故椭圆的方程为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查过两点的直线方程，考查点到直线的距离公式，考查椭圆标准方程的求法，考查了方程的思想.属于中档题.‎ ‎11．若实数，满足，则的最小值是（ ）‎ A．0 B． C．-6 D．-3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，向上平移目标函数到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值为.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线性规划的知识，考查线性目标函数的最值的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.画可行域时，要注意判断不等式所表示的范围是在直线的哪个方位，不一定是三条直线围成的三角形.还要注意目标函数化成斜截式后，截距和目标函数的对应关系，截距最大时，目标函数不一定取得最大值，可能取得最小值.‎ ‎12．已知，是椭圆长轴上的两个端点，，是椭圆上关于轴对称的两点，直线，的斜率分别为，若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设是椭圆的上下顶点，求出直线的斜率，相加得到，结合选项可得出的最小值.‎ ‎【详解】‎ 由于椭圆的离心率为，即，解得.不妨设是椭圆的上下顶点，即，而，故，.四个选项中的值最小，故本小题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的离心率，考查椭圆的几何性质，考查选择题的解法，属于基础题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．双曲线的渐近线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 双曲线的渐近线方程为,即.‎ ‎14．已知是椭圆上一动点，为坐标原点，则线段中点的轨迹方程为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出点的坐标，由此得到点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，化简后可得点的轨迹方程.‎ ‎【详解】‎ 设，由于是中点，故，代入椭圆方程得，化简得.即点的轨迹方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查代入法求动点的轨迹方程，考查中点坐标，属于基础题.‎ ‎15．设是双曲线:的右焦点，是左支上的点，已知，则周长的最小值是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设左焦点为，利用双曲线的定义，得到当三点共线时，三角形的周长取得最小值，并求得最小的周长.‎ ‎【详解】‎ 设左焦点为，根据双曲线的定义可知，所以三角形的周长为，当三点共线时，取得最小值，三角形的周长取得最小值. ，故三角形周长的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的定义，考查三角形周长最小值的求法，属于中档题.‎ ‎16．已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作垂直与轴的直线交双曲线于，两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的通径求得点的坐标，将三角形为锐角三角形，转化为，即，将表达式转化为含有离心率的不等式，解不等式求得离心率的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 根据双曲线的通径可知，由于三角形为锐角三角形，结合双曲线的对称性可知，故，即，即，解得，故离心率的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的离心率的取值范围的求法，考查双曲线的通径，考查双曲线的对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 本小题的主要突破口在将三角形为锐角三角形，转化为，利用列不等式，再将不等式转化为只含离心率的表达式，解不等式求得双曲线离心率的取值范围.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题：方程有两个不相等的实数根；命题：不等式的解集为.若或为真，为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“或为真，为假”判断出“为真，为假”，利用判别式列不等式分别求得为假、为真时的取值范围，再取两者的交集求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为或为真，为假，所以为真，为假 为假，，即：，∴或 , ‎ 为真，，即：，∴或, ‎ 所以取交集为或 .‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查含有简单逻辑联结词命题的真假性，考查一元二次方程根与判别式的关系，考查一元二次不等式解集为与判别式的关系，属于中档题.‎ ‎18．已知双曲线的中心在原点，焦点为，且离心率.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）求以点为中点的弦所在的直线方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据焦点坐标求得,根据离心率及求得的值，进而求得双曲线的标准方程.（2）设出两点的坐标，利用点差法求得弦所在直线的斜率，再由点斜式求得弦所在的直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 由题可得，，∴，,‎ 所以双曲线方程 .‎ ‎（2）设弦的两端点分别为，， ‎ 则由点差法有： , 上下式相减有：‎ ‎ 又因为为中点，所以，,‎ ‎∴，所以由直线的点斜式可得,‎ 即直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线标准方程的求法，考查利用点差法求解有关弦的中点有关的问题，属于中档题.‎ ‎19．某投资公司计划投资，两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额的函数关系为，产品的利润与投资金额的函数关系为.（注：利润与投资金额单位：万元）‎ ‎（1）该公司已有100万元资金，并全部投入，两种产品中，其中万元资金投入产品，试把，两种产品利润总和表示为的函数，并写出定义域；‎ ‎（2）试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？‎ ‎【答案】（1）；（2）20，28.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设投入产品万元，则投入产品万元，根据题目所给两个产品利润的函数关系式，求得两种产品利润总和的表达式.（2）利用基本不等式求得利润的最大值，并利用基本不等式等号成立的条件求得资金的分配方法.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）其中万元资金投入产品，则剩余的（万元）资金投入产品，‎ 利润总和为： ，‎ ‎（2）因为，‎ 所以由基本不等式得：,‎ 当且仅当时，即：.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用函数求解实际应用问题，考查利用基本不等式求最大值，属于中档题.‎ ‎20．已知曲线.‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若曲线在点处的切线与曲线相切，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导函数，利用切点坐标和斜率求得切线方程.（2）先求得曲线过点的切线方程，利用切线的斜率等于导数值求得切点的坐标，代入切线方程可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由题可得 ‎（1） ，‎ 由直线的点斜式方程有，切线的方程为：‎ ‎，即：.‎ ‎（2）函数在的导数为，所以切线方程为，‎ 曲线的导数，因与该曲线相切，‎ 可令，∴，‎ 代入曲线方程可求得切点为，带入切线方程可求得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查过曲线上一点切线方程的求法，考查经过某点的曲线的切线方程有关问题的求解策略，属于中档题.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线C的方程C：y2="2" p x（p＞0）过点A（1，-2）.‎ ‎（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；‎ ‎（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。‎ ‎【答案】（I）抛物线C的方程为，其准线方程为（II）符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求抛物线标准方程，一般利用待定系数法，只需一个独立条件确定p的值：（－2）2＝2p·1，所以p＝2．再由抛物线方程确定其准线方程：，（Ⅱ）由题意设：，先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得：‎ 解得，再根据直线与抛物线C有公共点确定 试题解析：解 （1）将（1，－2）代入y2＝2px，得（－2）2＝2p·1，‎ 所以p＝2．‎ 故所求的抛物线C的方程为 其准线方程为．‎ ‎（2）假设存在符合题意的直线，‎ 其方程为．‎ 由得．‎ 因为直线与抛物线C有公共点，‎ 所以Δ＝4＋8t≥0，解得．‎ 另一方面，由直线OA到的距离 可得，解得．‎ 因为－1∉[－，＋∞），1∈[－，＋∞），‎ 所以符合题意的直线存在，其方程为．‎ 考点：抛物线方程，直线与抛物线位置关系 ‎【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程 ‎（1）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．‎ ‎（2）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．‎ 提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2=mx或x2=my（m≠0）．‎ ‎22．已知椭圆：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线过椭圆左焦点，为椭圆短轴的上顶点，当直线时，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的几何性质以及等边三角形的性质，得到的一个关系式，结合求得的关系式，将点的坐标代入椭圆方程，由此求得的值，进而求得椭圆方程.（2）根据（1）求得点的坐标，进而求得和的斜率，写出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，由两点间距离公式求得，进而求得三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，即，，‎ 即，‎ ‎∵在椭圆上，∴，，，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2），则，‎ ‎，∴,‎ ‎∴直线的方程为：，‎ 将其代入：得：‎ 设，‎ ‎∴，,‎ ‎，‎ 又,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查三角形面积的计算，属于中档题.要求椭圆的标准方程，主要方法是根据已知条件，列出方程组，解方程组求得的值.直线和圆锥曲线相交所得弦长公式为.其中为直线的斜率，和可由韦达定理求得.‎