新课标高考数学填空选择压轴题汇编理科
1
高考数学填空选择压轴题试题汇编(理科)
目 录(120 题)
第 一 部 分 函 数 导 数 (47
题)·································
·····2/26
第 二 部 分 解 析 几 何 (23
题)·································
· · · · · 9/33 第 三 部 分 立 体 几 何 ( 11
题)·································
····13/34
第 四 部 分 三 角 函 数 及 解 三 角 形 ( 10
题)··························15/36
第 五 部 分 数 列 ( 10
题)·································
·······17/37
第 六 部 分 概 率 统 计 ( 6
题)·································
····19/38
第 七 部 分 向 量 ( 7
题)·································
········21/39
第 八 部 分 排 列 组 合 ( 6
题)·································
2
·····22/40
第 九 部 分 不 等 式 ( 7
题)·································
·······23/42
第 十 部 分 算 法 ( 2
题)·································
·········24/43
第 十 一 部 分 交 叉 部 分 ( 2
题)·································
····25/43
第 十 二 部 分 参 考 答
案··································
··········26/43
【说明】:汇编试题来源
河南五年高考真题 5 套;郑州市 2011 年 2012 年一模二模三模试题 6 套;2012 年河南
省各地市检测试题 12 套;2012 年全国高考文科试题 17 套。共计 40 套试题.试题为每套试
卷选择题最后两题,填空最后一题。
第一部分 函数导数
1.【12 年新课标】(12)设点 在曲线 上,点 Q 在曲线 上,则 的
最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
2.【11 年新课标】(12)函数 的图像与函数 的图像所有交
点的横坐标之和等于( )
P 1
2
xy e= ln(2 )y x= | |PQ
1 ln 2− 2(1 ln 2)− 1 ln 2+ 2(1 ln 2)+
1
1y x
= − 2sin ( 2 4)y x xπ= − ≤ ≤
3
(A)2 (B) 4 (C) 6 (D)8
3.【10 年新课标】(11)已知函数 若 a,b,c 互不相等,且
,则 abc 的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
4.【09 年新课标】(12)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值设 f(x)=min{, x+2,10-x}
(x 0),则 f(x)的最大值为( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
5. 【 11 年 郑 州 一 模 】 12 . 若 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 当
则函数 的零点个数是( )
A.多于 4 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个
6.【11 年郑州二模】
7.【11 年郑州二模】
8.【11 年郑州三模】
9.【11 年郑州三模】
( )
lg ,0 10,
1 6, 02
x x
f x
x x
≤= − +
<
>1
( ) ( ) ( )f a f b f c= =
( )1,10 ( )5,6 ( )10,12 ( )20,24
≥
( ) ( 2) ( )f x f x f x+ =满足
[0,1] , ( ) ,x f x x∈ =时 3( ) log | |y f x x= −
4
10.【12 年郑州一模】
11.【12 年郑州二模】11. 如图曲线 和直线 所围成的图形(阴影部
分)的面积为( )
A. B.
C. D.
12.【12 年郑州二模】
12. 已知集合 ,定义函数 .若点
的外接圆圆心为 D,且
,则满足条件的函数 有( )
A. 6 个 B. 10 个 C. 12 个 D. 16 个
13.【12 年郑州三模】
14.【12 年北京】14.已知 , ,若同时满足条件:
① , 或 ;
② , 。
)3)(2()( ++−= mxmxmxf 22)( −= xxg
Rx∈∀ 0)(
−
≤−=∗
baabb
baababa
,
,
2
2
)1()12()( −∗−= xxxf x )()( Rmmxf ∈=
321 ,, xxx 321 xxx
2( ) cosf x x x= [0,4]
1l 2l 8
2 1m + 1l 2logy x=
2l 2logy x=
b
a
6
A. B. C. D.
20.【12 年江苏】13.已知函数 的值域为 ,若关于 x 的
不等式 的解集为 ,则实数 c 的值为 .
21.【12 年江西】10.如右图,已知正四棱锥 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱
上一动点,过点 垂直于 的截面将正四棱锥分成上、下两部分,记
截面下面部分的体积为 则函数 的图像大致为 ( )
22. 【 12 年 辽 宁 】 11. 设 函 数 满 足 , 且 当
时, .又函数 ,则函数 在
上的零点个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
23.【12 年辽宁】12. 若 ,则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
24.【12 年山东】(12)设函数 (x)= ,g(x )=ax 2+bx 若 y=f(x)的图像
与 y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( )
A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 B. 当 a<0 时, x1+x2>0, y1+y2<0
C.当 a>0 时,x1+x2<0 , y1+y2<0 D. 当 a>0 时,x1+x2>0, y1+y2>0
25.【12 年山东】(16)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在
16 2 8 2 8 4 4 4
2( ) ( )f x x ax b a b= + + ∈R, [0 )+ ∞,
( )f x c< ( 6)m m +,
S ABCD− SC
E SC (0 1),SE x x= < <
( ),V x ( )y V x=
)(xf ( )x R∈ ( ) ( ) ( )( ) , = 2-f x f x f x f x− =
[ ]0,1x∈ ( ) 3=f x x ( ) ( )= cosg x x xπ ( ) ( ) ( )= -h x g x f x 1 3- ,2 2
[ )0,+x∈ ∞
21+ +xe x x≤ 21 1 11- +2 41+
x x
x
≤ 21cos 1- 2x x≥ ( ) 21ln 1+ - 8x x x≥
f
C
D
7
(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于
(2,1)时, 的坐标为______________
26.【12 年陕西】14. 设函数 , 是由 轴和曲线 及该曲
线在点 处的切线所围成的封闭区域,则 在 上的最大值为
27.【12 年上海】13.已知函数 的图象是折线段 ,其中 、 、
,函数 ( )的图象与 轴围成的图形的面积为 .
28.【12 天津】(14)已知函数 的图象与函数 的图象恰有两个交点,则
实数 的取值范围是 .
29.【12 年浙江】9.设 a>0,b>0.( )
A.若 ,则 a>b B.若 ,则 a<b
C.若 ,则 a>b D.若 ,则 a<b
30.【12 年浙江】17.设 a R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1]( x 2 -ax-1)≥0,则 a=
______________.
31. 【 12 年 焦 作 一 模 】 12 . 定 义 在 上 的 奇 函 数 , 当 时 ,
,则关于 的函数 的所有零点之
和为( )
A. B. C. D.
32.【12 年开封二模】11. 已知函数 的定义域为 R, ,对任意 都有
,则 ( )
A. B. C. D.
33.【12 年开封二模】12.设 的定义域为 D,若 满足下面两个条件,则称 为闭
函数.① 在 D 内是单调函数;②存在 ,使 f(x)在[a,b]上的值域为[a,b].如果
为闭函数,那么 k 的取值范围是( )
ln , 0( ) 2 1, 0
x xf x x x
>= − − ≤ D x ( )y f x=
(1,0) 2z x y= − D
)(xfy = ABC )0,0(A )5,2
1(B
)0,1(C )(xxfy = 10 ≤≤ x x
2| 1|= 1
xy x
−
− = 2y kx −
k
2 2 2 3a ba b+ = + 2 2 2 3a ba b+ = +
2 2 2 3a ba b− = − 2 2 2 3a ba b− = −
∈
R ( )f x 0x ≥
1
2
log ( 1), [0,1)
( )
1 | 3|, [1, )
x x
f x
x x
+ ∈=
− − ∈ +∞
x ( ) ( ) (0 1)F x f x a a= − < <
2 1a − 1 2a− 2 1a− − 1 2 a−−
8
A . k < l B. C. k >-1 D.
34.【12 年开封二模】16. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 时, ,若对
任意的 ,不等式 恒成立,则实数 T 的取值范围是. _______
35.【12 年开封四模】11.已知 且函数 恰有 3 个
不同的零点,则实数 a 的取值范围是( )
A. [-1,+ ) B.[-1,0) C.(0,+ ) D.[-2,+ )
36.【12 年开封一模】11.由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面图形和面积为( )
A. B.2-ln3 C.4+ln3 D.4-ln3
37.【12 年开封一模】12.已知函数 ,把函数 g(x)=f(x)-x 的零
点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的前 n 项的和 Sn,则 S10= ( )
A.210-1 B.29-1 C.45 D.55
38.【11 年洛阳上期末】11.已知函数 f(x)是定义在 R 上的以 4 为周期的函数,”当 x∈
(-1,3]时,f(x)= 其中 t>0.若函数 y= - 的零点个数
是 5,则 t 的取值范围为( )
A.( ,1) B.( , ) C.(1, ) D.(1,+∞)
39. 【 12 年 洛 阳 二 模 】 12 设 函 数 的 定 义 域 为 R, 且 对 任 意 的 都 有
.当 时, .若在区间 上关
于 X 的方程 有五个不同的实数根,则 a 的取值范围是( )
A. (1,2) B. C. D.
40.【12 年信阳三模】11.已知函数 若方程 f(x)=x+a 有且只有两
个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围为( )
A.(-∞,0] B.[0,1) C.(-∞,1) D.[0,+∞)
41.【 12 年 信 阳 三 模 】 12. 已 知 函 数 y=f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ≤ 0 时 ,
f(x)=2x+x2,若存在正数 a,b,使得当 x∈[a,b]时,f(x)的值域为[ ],则a+b=( )
A.1 B. C. D.
2 2 ( 0)( ) ,
( 1)( 0)
a x x xf x
f x x
− − <= − ≥
( )y f x x= −
∞ ∞ ∞
9
32
>+−
≤−=
)0(1)1(
)0(12)( xxf
xxxf
21 ( 1,1]
(1 2 ), (1,3]
x x
t x x
∈ ∈
- , -
- -
( )f x
x
1
5
2
5
2
5
6
5
6
5
>−
≤−=
−
),0)(1(
),0(12)(
xxf
xxf
x
ab
1,1
2
51+
2
51+
2
53 +
9
42.【12 年信阳二模】16.f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤| |
对一切 x∈R 恒成立,则
① =0
②| |<| |
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数
④f(x)的单调递增区间是[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z)
⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交.
以上结论正确的是__________(写出所有正确结论的编号)
43.【12 年许昌一模】12. 设函数 的定义域为 D,若函数 I 满足下列两个
条件,则称 在定义域 D 上是闭函数.① 在 D 上是单调函数;②存在区间
[a,b] ,使 在[a, b]上值域为[a,b].如果函数 为闭函数,
则 k 的取值范围是( )
A. B. C. D.
44.【12 年许昌一模】16. 已 知 函 数 有 三 个 零 点 分 别 是
,则 的取值范围是________.
45.【12 年六校三模】11.偶函数
则 关 于 x 的 方 程
上解的个数是 ( )
A.l B.2 C.3 D.4
46.【12 年驻马店二模】12.若 f(x)+1= ,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间
(-l,1]内 g(x)=f(x)-mx-m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是( )
A.[0, ) B.[ ,+∞) C. [0, ) D.(0, ]
47.【11 年焦作一模】11.已知奇函数 f(x)满足 f(-1)=f(3)=0,在区间[-2,0)
上是减函数,在区间[2,+∞)是增函数,函数 F(x)= ,则{x|F(x)
>0}=( )
A.{x|x<-3,或 03}
B.{x|x<-3,或-13}
C.{x|-3 >
2
3 c
63 2
或 6
2
3 7
7 3
2 4 ,y x= ABC∆
0FA FB FC+ + =
11
8.【12 年郑州三模】
9.【12 年安徽】(9)过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点,点 是原点,
若 ;则 的面积为( )
10.【12 年湖北】14.如图,双曲线 的两顶点为 , ,虚轴两端点为
, ,两焦点为 , . 若以 为直径的圆内切于菱形 ,切点分别为
. 则
(Ⅰ)双曲线的离心率 ;
(Ⅱ)菱形 的面积 与矩形 的面积 的比值 .
11.【12 年江苏】12.在平面直角坐标系 中,圆 的方程为 ,若直线
上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 有公共点,则 的
最大值是 .
12.【12 天津】(8)设 , ,若直线 与圆
相切,则 的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
13.【12 年浙江】16.定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的
2 4y x= F ,A B O
3AF = AOB∆
( )A 2
2 ( )B 2 ( )C 3 2
2 ( )D 2 2
2 2
2 2 1 ( , 0)x y a ba b
− = > 1A 2A
1B 2B 1F 2F 1 2A A 1 1 2 2F B F B
, , ,A B C D
e =
1 1 2 2F B F B 1S ABCD 2S 1
2
S
S
=
xOy C 2 2 8 15 0x y x+ − + =
2y kx= − C k
m n R∈ ( 1) +( 1) 2=0m x n y+ + − 2 2( 1) +(y 1) =1x − −
+m n
[1 3,1+ 3]− ( ,1 3] [1+ 3,+ )− ∞ − ∞
[2 2 2,2+2 2]− ( ,2 2 2] [2+2 2,+ )− ∞ − ∞
A1 A2
y
B2
B1
A
O
B
C D
F1 F2
x
12
距离.已知曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y=x 的距离等于 C2:x 2+(y+4) 2 =2 到直线 l:y=
x 的距离,则实数 a=______________.
14. 【 12 年 重 庆 】 14 、 过 抛 物 线 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 两 点 , 若
则 =
15.【12 年焦作一模】11.已知点 P 是双曲线 右支上一点, ,
分别是双曲线的左、右焦点,I 为 的内心,若 成立,
则双曲线的离心率为( )
A.4 B. C.2 D.
16.【12 年洛阳统考】12.已知 P 是双曲线 上的点,F1、F2 是其焦
点,双曲线的离心率是 的面积为 9,则 a+b 的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
17.【12 年洛阳统考】16.设圆 ,点 ,若圆 O 上
存在点 B,且 (O 为坐标原点),则点 A 的纵坐标的取值范围是
18.【11 年洛阳上期末】12.设 F1, F2 分别为双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点,
P 为双曲线右支上任一点。若 的最小值为 8a,则该双曲线的离心率的取值范围
是( )
A.(1, ] B.(1,3) C.(1,3] D.[ ,3)
19.【12 年商丘二模】12.已知 (a>b>0),M,N 是椭圆的左、右顶点,P 是
椭圆上任意一点,且直线 PM、PN 的斜率分别为 k1,k2(k1k2≠0),若|k1|+|k2|的最
小值为 1,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
20.【12 年六校三模】12.两条平行直线和圆的位置关系定义为:若两条平行直线和圆有四
个不同的公共点,则称两条平行线和圆“相交”;若两平行直线和圆没有公共点,则称
两条平行线和圆“相离”;若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点,则称
两 条 平 行 线 和 圆 “ 相 切 ” . 已 知 直 线
2 2y x= F ,A B
25 , ,12AB AF BF= < AF
)0,0(,12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x
1 2,F F
21FPF∆ 2121 2
1
FIFIPFIPF SSS ∆∆∆ +=
5
2
5
3
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
1 2 1 2
5 , 0,4 PF PF PF F⋅ = ∆ 且 若
2 2: 1, : 2 4 0O x y l x y+ = + − =直线 A l∈
30OAB∠ = °
2
2 2 1x
a b
2y- =
2
1
2
|PF|
|PF|
3 3
2
2 2 1x
a b
2y+ =
1
2
2
2
3
2
3
3
13
相切,则 a 的取
值范围是( )
A. B.
C.-3≤a≤一 或 ≤a≤7 D.a≥7 或 a≤—3
21.【12 年驻马店二模】11.若曲线 C 1: =2px(p>0)的焦点 F 恰好是曲线 C 2:
(a>0,b>0)的右焦点,且曲线 C1 与曲线 C2 交点的连线过点 F,则曲线
C2 的离心率为( )
A. -1 B. +1 C. D.
22.【11 年焦作一模】16.已知双曲线 的离心率为 P,焦点为 F 的抛物线 =2px
与直线 y=k(x- )交于 A、B 两点,且 =e,则 k 的值为____________.
23.【11 年焦作一模】12.已知点 P 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 底面 ABCD 内一动点,其中 AA1
=AB=1,AD= ,若 A1P 与 A1C 所成的角为 30°,那么点 P 在底面的轨迹为( )
A.圆弧 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
2 2 2
1 2: 2 0, : 2 1 0 : 2 4 0l x y a l x y a x y x− + = − + + = + + − =和圆
7 3a a> < −或 6 6a a> < −或
6 6
2y
2
2 2 1x
a b
2y- =
2 2 6 2
2
+ 2 1
2
+
2
14 12
x 2y- = 2y
2
p AF
FB
| |
| |
2
14
第三部分 立体几何
1.【12 年新课标】(11)已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上, 是边
长为 的正三角形, 为球 的直径,且 ,则此棱锥的体积为( )
(A) (B) (C) (D)
2.【09 年新课标】(11)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c )为 ( )
(A)48+12 (B)48+24
(C)36+12 (D)36+24
3.(12)某几何体的一条棱长为 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 的线段,
在该集合体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 和 的线段,则 的最大
值为 ( )
(A) (B) (C) (D)
4.【12 年郑州一模】
5.【12 年湖北】10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六
乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积
,求其直径 的一个近似公式 . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据
判断,下列近似公式中最精确的一个是( )
A. B. C. D.
6.【12 年辽宁】16. 已知正三棱锥 ,点 都在半径为 的球面上,若
两两相互垂直,则球心到截面 的距离为 .
7.【12 年全国大纲卷】12.正方形 的边长为 1,点 在边 上,点 在边 上,
,动点 从 出发沿直线向 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹
时反射角等于入射角。当点 第一次碰到 时, 与正方形的边碰撞的次数为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
8. 【 12 年 全 国 大 纲 卷 】 16 . 三 棱 柱 中 , 底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 相 等 ,
,则异面直线 与 所成角的余弦值为 。
V d
3 16
9d V≈
π =3.14159
3 16
9d V≈ 3 2d V≈ 3 300
157d V≈ 3 21
11d V≈
-P ABC , , ,P A B C 3
, ,PA PB PC ABC
ABCD E AB F BC
3
7AE BF= = P E F
P E P
1 1 1ABC A B C−
1 1 60BAA CAA∠ = ∠ = ° 1AB 1BC
S ABC− O ABC∆
1 SC O 2SC =
2
6
3
6
2
3
2
2
2m
2 2
2 2
7 6
a b ba +
22 32 4 52
15
9.【12 年上海】14.如图, 与 是四面体 中互相垂直的棱, ,若
,且 ,其中 、 为常数,则四面体
的体积的最大值是 .
10.【12 年浙江】10.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= .将 ABD 沿矩形
的对角线 BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中,( )
A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直
B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直
C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直
D.对任意位置,三直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直
11.【12 年重庆】9、设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 和 ,且长为 的棱与
长为 的棱异面,则 的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
AD BC ABCD 2=BC
cAD 2= aCDACBDAB 2=+=+ a c
ABCD
2 ∆
2 a a
2 a
(0, 2) (0, 3) (1, 2) (1, 3)
16
第四部分 三角函数及解三角形
1.【11 年新课标】(11)设函数 的最小正
周期为 ,且 ,则 ( )
(A) 在 单调递减 (B) 在 单调递减
(C) 在 单调递增 (D) 在 单调递增
2.【11 年新课标】(16)在 中, ,则 的最大值为____
3.【10 年新课标】(16)在 中,D 为边 BC 上一点,BD= DC, =120°,AD=2,
若 的面积为 ,则 =
4.【12 年郑州二模】
16. 下列说法:
①“ ”的否定是“ ”;
②函数 的最小正周期是 ;
③命题“函数 在 处有极值,则 ”的否命题是真命题;
④ 是 上的奇函数,x>0 时的解析式是 ,则 时的解析
式为. .其中正确的说法是. ______________
5.【12 年安徽】(15)设 的内角 所对的边为 ;则下列命题正确的是
①若 ;则 ②若 ;则
③若 ;则 ④若 ;则
⑤若 ;则
6.【12 年湖南】7. 在△ABC 中,AB=2,AC=3, = 1 则 .
A. B. C. D.
7.【12 年陕西】9. 在 中角 、 、 所对边长分别为 ,若 ,则
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
_____
2ab c>
3C
π< 2a b c+ >
3C
π<
3 3 3a b c+ =
2C
π< ( ) 2a b c ab+ <
2C
π>
2 2 2 2 2( ) 2a b c a b+ <
3C
π>
AB BC
___BC =
3 7 2 2 23
ABC∆ A B C , ,a b c 2 2 22a b c+ =
( ) sin( ) cos( )( 0, )2f x x x
πω ϕ ω ϕ ω ϕ= + + + > <
π ( ) ( )f x f x− =
( )f x 0, 2
π
( )f x 3,4 4
π π
( )f x 0, 2
π
( )f x 3,4 4
π π
ABC 60 , 3B AC= = 2AB BC+
ABC∆ 1
2 ABC∠
ADC∆ 3 3− BAC∠
17
的最小值为( )
A. B. C. D.
8.【12 年湖南】15.函数 f(x)=sin ( )的导函数 的
部分图像如图 4 所示,其中,P 为图像与 y 轴的交点,A,C 为图像
与 x 轴的两个交点,B 为图像的最低点.
(1)若 ,点 P 的坐标为(0, ),则 ;
(2)若在曲线段 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点
在△ABC 内的概率为 .
9.【11 年洛阳上期末】16.在△ABC 中,∠BAC=45°,∠ACB=75°,D 是∠ABC 平分线上
的一点,且 DB=DC.若 BC= ,则 AD=_______________.
10.【12 年许昌一模】11. 已 知 函 数 , 其 中 为 实 数 , 若 ,
,对 恒成立,且 •,则 的单调递
减区间是( )
A. B.
C. D.
cosC
3
2
2
2
1
2
1
2
−
xω ϕ+ ( )y f x′=
6
πϕ = 3 3
2
ω =
ABC
6
18
第五部分 数 列
1.【12 年新课标】(16)数列 满足 ,则的前 项和为_____
2.【09 年新课标】(16)等差数列{ }前 n 项和为 。已知 + - =0, =38,
则 m=_______
2.3.【12 福建】14.数列 的通项公式 ,前 项和为 ,则
___________。
4.【12 年上海】18.设 , ,在 中,正
数的个数是( )
A.25 B.50 C.75 D.100
5. 【 12 年 四 川 】 12 、 设 函 数 , 是 公 差 为 的 等 差 数 列 ,
,则 ( )
A、 B、 C、 D、
6.【12 年四川】16、记 为不超过实数 的最大整数,例如, , ,
。设 为正整数,数列 满足 , ,现有下
列命题:
①当 时,数列 的前 3 项依次为 5,3,2;
②对数列 都存在正整数 ,当 时总有 ;
③当 时, ;
④对某个正整数 ,若 ,则 。
其中的真命题有____________。(写出所有真命题的编号)
7.【12 年开封四模】12.已知数列 表示不超过 x 的最
大整数,则 的值等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.【12 年商丘二模】16.数列{ }的前 n 项和为 ,若数列{ }的各项按如下规律排列:
}{ na 12cos += πnnan n nS =2012S
25sin1 πn
nan = nn aaaS +++= 21 10021 ,,, SSS
( ) 2 cosf x x x= − { }na 8
π
1 2 5( ) ( ) ( ) 5f a f a f a π+ +⋅⋅⋅+ = 2
3 1 3[ ( )]f a a a− =
0 21
16
π 21
8
π 213
16
π
[ ]x x [2] 2= [1.5] 1=
[ 0.3] 1− = − a { }nx 1x a= 1
[ ]
[ ]( )2
n
n
n
ax xx n N ∗
+
+
= ∈
5a = { }nx
{ }nx k n k≥ n kx x=
1n ≥ 1nx a> −
k 1k kx x+ ≥ [ ]nx a=
2
1 1
1{ } , , [ ]3n n n na a a a a x+= = +满足 用
1 2 2012
1 1 1[ ]1 1 1a a a
+ + ++ + +
na nS na
{ }na 1 ( 1) 2 1n
n na a n+ + − = − 60
na nS 1ma − 1ma +
2
ma 2 1mS −
19
, , , , , , , , , …, , ,…, ,…有如下运
算和结论:
①a24= ;
②数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列;
③数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前 n 项和为 = ;
④若存在正整数 k,使 Sk<10,Sk+1≥10,则 ak= .
其中正确的结论是__________.(将你认为正确的结论序号都填上)
9.【12 年信阳三模】16.给出下列等式: ;
;
,……
由以上等式推出一个一般结论:
对于 = 。
10.【12 年信阳二模】12.等差数列{ }的前 n 项和为 ,已知 +2011( )=
, +2011( )= , 则 等于( )
A.0 B.2011 C.4022 D.2011
1
2
1
3
2
3
1
4
2
4
3
4
1
5
2
5
3
5
4
5
1
n
2
n
1n
n
−
3
8
nT
2
4
n n+
5
7
22
112
1
21
3 −=××
22 23
112
1
32
4
2
1
21
3
×−=××+××
332 24
112
1
43
5
2
1
32
4
2
1
21
3
×−=××+××+××
nnn
nNn 2
1
)1(
2
2
1
32
4
2
1
21
3, 2
* ×+
+++××+××∈
na nS 3
2( 1)a - 2 1a -
2011sin 3
π 3
2010( 1)a - 2010 1a - 2011cos 6
π
2011S
3
20
第六部分 概率统计
1.(16)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm),结果如下:
甲品种:271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307
308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种:284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图
甲 乙
3 1 27
7 5 5 0 28 4
5 4 2 29 2 5
8 7 3 3 1 30 4 6 7
9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8
8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9
7 4 1 33 1 3 6 7
34 3
2 35 6
根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论:
①
_______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________;
②
_______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________;
2.【12 年广东】7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 的概
率是( )
3.【12 年江西】9.样本( )的平均数为 ,样本( )的平均数为
, 若 样 本 ( , ) 的 平 均 数 , 其 中
,则 n,m 的大小关系为( )
A. B. C. D.不能确定
4. 【 12 年 上 海 】 17 . 设 , , 随 机 变 量 取 值
的 概 率 均 为 , 随 机 变 量 取 值
的概率也均为 ,若记 分别为
0
( )A 4
9 ( )B 1
3 ( )C
2
9 ( )D
1
9
1 2, , , nx x x x 1 2, , my y y
( )y x y≠ 1 2, , , nx x x 1 2, , my y y (1 )z ax a y= + −
10 2
α< <
n m< n m> n m=
4
4321 1010 ≤<<<≤ xxxx 5
5 10=x 1ξ
54321 xxxxx 、、、、 2.0 2ξ
22222
1554433221 xxxxxxxxxx +++++
、、、、 2.0 21 ξξ DD 、
21
的方差,则( )
A. B.
C. D. 与 的大小关系与 的取值有关
5.【12 年重庆】15、某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他
三门艺术课个 1 节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为
(用数字作答).
6.【12 年洛阳二模】11. 设 ,任取 ,则关
于 X 的一元二次方程 有实根的概率为( )
A. B. C. D.
21 ξξ 、
21 ξξ DD > 21 ξξ DD =
21 ξξ DD < 1ξD 2ξD 4321 xxxx 、、、
22
第七部分 向 量
1.【12 年郑州三模】
2.【12 年北京】13.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 的
值为________, 的最大值为______
3.【12 年广东】8. .对任意两个非零的平面向量 和 ,定义 ;若平面向量
满足 , 与 的夹角 ,且 都在集合 中,则
( )
4.【12 天津】(7)已知△ABC 为等边三角形, ,设点 P,Q 满足 ,
, ,若 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
5.【12 年开封四模】16.在平面内,已知
设
=
6.【12 年开封一模】16. 已知点 G 是△ABC 的重心,若∠A=120°, · =-2,则|
|的最小值是________.
7.【12 年商丘二模】11.已知两个非零向量 a=(m-1,n-1),b=(m-3,n-3),且 a
与 b 的夹角是钝角或直角,则 m+n 的取值范围是( )
A.( ,3 )B.(2,6) C.[ ,3 ] D.[2,6]
CBDE ⋅
DCDE ⋅
α β α βα β β β=
,a b 0a b≥ > a b (0, )4
πθ ∈ ,a b b a
}2
n n Z ∈
a b =
( )A 1
2 ( )B 1 ( )C
3
2 ( )D
5
2
=2AB =AP ABλ
=(1 )AQ ACλ− Rλ ∈ 3= 2BQ CP⋅ − =λ
1
2
1 2
2
± 1 10
2
± 3 2 2
2
− ±
| | 1,| | 3, 0, 30 ,OA OB OA OB AOC= = ⋅ = ∠ =
( , ), mOC mOA nOB m n R n
= + ∈ 则
AB AC
AG
2 2 2 2
23
第八部分 排列组合
1.【12 年安徽】(10)6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最
多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,
则收到 份纪念品的同学人数为( )
或 或 或 或
2.【12 年湖北】13.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如 22,121,
3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,…,99.3 位回文数有 90 个:101,
111,121,…,191,202,…,999.则
(Ⅰ)4 位回文数有 个;
(Ⅱ) 位回文数有 个.
3.【12 年湖南】16.设 N=2n(n∈N*,n≥2),将 N 个数 x1,x2,…,xN 依次放入编号为 1,2,…,
N 的 N 个位置,得到排列 P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按
原顺序依次放入对应的前 和后 个位置,得到排列 P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,将此操作称为
C 变换,将 P1 分成两段,每段 个数,并对每段作 C 变换,得到 ;当 2≤i≤n-2 时,将
Pi 分 成 2i 段 , 每 段 个 数 , 并 对 每 段 C 变 换 , 得 到 Pi+1 , 例 如 , 当 N=8 时 ,
P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置.
(1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第___个位置;
(2)当 N=2n(n≥8)时,x173 位于 P4 中的第___个位置.
4.【12 年全国大纲卷】11.将字母 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,
每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( )
A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种
5.【12 年山东】(11)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄 色、蓝色、绿色卡片各 4 张,
从中任取 3 张,要求这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为
( )
(A)232 (B)252 (C)472 (D)484
6.【12 年四川】11、方程 中的 ,且 互不相同,
在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )
A、60 条 B、62 条 C、71 条 D、80 条
4
( )A 1 3 ( )B 1 4 ( )C 2 3 ( )D 2 4
2 1( )n n ++ ∈N
2
N
2
N
2
N
2p
2i
N
, , , , ,a a b b c c
2 2ay b x c= + , , { 3, 2,0,1,2,3}a b c∈ − − , ,a b c
24
第九部分 不等式
1.【12 福建】9.若直线 上存在点 满足约束条件 ,则实数 的
最大值为( )
A. B.1 C. D.2
2.【12 年江苏】14.已知正数 满足: 则 的取
值范围是 .
3.【12 年重庆】
10 、 设 平 面 点 集 , 则
所表示的平面图形的面积为( )
(A) (B) (C) (D)
4.【12 年焦作一模】16.若对于任意非零实数 ,不等式
恒成立,则实数 的取值范围__________.
5.【12 年洛阳统考】11.设 x,y 满足条件 若目标函数
的最大值为 2,则 的最小值为 ( )
A.25 B.19 C.13 D.5
6.【12 年信阳二模】11.设 x,y 满足约束条件 ,则 的最大值是( )
A.9 B.8 C.7 D.6
7.【12 年驻马店二模】16.运行如图所示的程序框图,当输入 m=-4 时,输出的结果为
n.若变量 x,y 满足 则目标函数 z=2x+y,的最大值为_______________.
xy 2= ),( yx
≥
≤−−
≤−+
mx
yx
yx
032
03
m
2
1
2
3
a b c, , 4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b− +− ≤ ≤ ≥, , b
a
{ }2 21( , ) ( )( ) 0 , ( , ) ( 1) ( 1) 1A x y y x y B x y x yx
= − − ≥ = − + − ≤
A B
3
4
π 3
5
π 4
7
π
2
π
m | 2 1| |1 | | | (| | | - |)m m m x x− + − > −
x
3 6 0,
2 0,
0,
0.
x y
x y
x
y
− − ≤
− + ≥ ≥
≥
( 0, 0)z ax by a b= + > >
2 3
a b
+
0
4 3 12
x
x
x y
≥
y≥
+ ≤
2 1
1
y x
x
- +
+
3,
1,
,
x
x y
y n
+y≤
- ≥-
≥
25
第十部分 算 法
1.【12 年江西】14 下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是______________.
2.【12 年陕西】10. 右图是用模拟方法估计圆周率 的程序框图, 表示估计结果,则图中
空白框内应填
入( )
A.
B.
C.
D.
π P
1000
NP =
4
1000
NP =
1000
MP =
4
1000
MP =
26
第十一部分 交叉部分
1.【12 年洛阳二模】16. 给出下列命题:
①设向量 满足 的夹角为 .若向量 的夹
角为钝角,则实数 t 的取值范围是 ;
②已知一组正数 的方差为
的平均数为 1
③设 a,b,c 分别为ΔABC 的角 A,B,C 的对边,则方程 与
有公共根的充要条件是 ;
④若 表示 的各位上的数字之和,如 ,所以
,记 ,则 =11.
上面命题中,假命题的序号是________ (写出所有假命题的序号).
2.【12 年六校三模】16.给出以下四个命题:
①已知命题 p: 是真命
题;
②过点(-1,2)且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程是 x+y-1=0;
③函数 在定义域内有且只有一个零点;
④若直线 xsin α+ycos α+l=0 和直线 垂直,
则角
其中正确命题的序号为 .(把你认为正确的命题序号都填上)
2,tan 2; : , 1 0,x x q x x x p q∃ ∈ = ∀ ∈ − + ≥ ∧R R命题 则命题
( ) 2 2 3xf x x= + −
1cos 1 02x yα − − =
2 ( ).2 6k k k
π πα π α π= + = + ∈ Z或
27
第十二部分 参考答案
第一部分 函数导数参考答案
1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.B 7. 8.C 9.1、4 10.B
11.D 12.C 13.D
14.【解析】根据 ,可解得 。由于题目中第一个条件的限制 ,
或 成立的限制,导致 在 时必须是 的。当 时,
不能做到 在 时 ,所以舍掉。因此, 作为二次函数开口只
能向下,故 ,且此时两个根为 , 。为保证此条件成立,需要
,和大前提 取交集结果为 ;又由于条件 2:
要求 , 0 的限制,可分析得出在 时, 恒负,因
此就需要在这个范围内 有得正数的可能,即 应该比 两根中小的那个大,当
时 , , 解 得 , 交 集 为 空 , 舍 。 当 时 , 两 个 根 同 为
,舍。当 时, ,解得 ,综上所述 .
【答案】
15.考点:演绎推理和函数。
难度:难。
分析:本题考查的知识点为函数定义的理解,说明一个结论错误只需举出反例即可,说明一个
结论正确要证明对所有的情况都成立。
解答:A 中,反例:如图所示的函数 的是满足性质 的,但 不是连续不断的。
022)( <−= xxg 1
<⇒
<−−=
<=
4
2
1
13
12
2
1
m
m
mx
mx 0− )1,4( −−∈m 42 −−−
≤−=
0),1(
0),12()( xxx
xxxxf
29
可得 ,
且
所以 时, ,
所以 。
17.考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.
难易度:★
解析: ,则 或 , ,又 ,
所以共有 6 个解.选 C.
18.【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选 C。
【答案】C
19.【答案】B
【解析】在同一坐标系中作出 y=m,y= (m>0), 图像如下图,
由 = m,得 , = ,得 .
依照题意得 .
, .
0,2
1),4
1,0( 132 <=+∈ xxxm
↑↑→ ||,,4
1
132 xxxm
4
1=m =max321 || xxx 16
31−
∈m )0,16
31(
−
0)( =xf 0=x 0cos 2 =x Zkkx ∈+= ,2
2 ππ [ ]4,0∈x 4,3,2,1,0=k
8
2 1m + 2logy x=
2log x 1 22 , 2m mx x−= = 2log x 8
2 1m +
8
2 1
8
2 1
3 42 , 2 mmx x +− += =
8
2 1
8
2 1
8
2 1
8
2 1
2 2
2 2 , 2 2 ,
2 2
m
m
m
m mm
m m
ba b a
+
+−− +
−− +
−
= − = − =
−
8
2 1
8
2 12 2 2m mm m+ + += =
8 1 4 1 1 14 312 1 2 2 2 2
2
m mm m
+ = + + − ≥ − =+ + min( ) 8 2b
a
∴ =
)0,0( )0,1(
)4
1,2
1(
my =
1xx = 2xx = 3xx =
30
【点评】在同一坐标系中作出 y=m,y= (m>0), 图像,结合图像可解得.
20.【答案】9。
【考点】函数的值域,不等式的解集。
【解析】由值域为 ,当 时有 ,即 ,
∴ 。
∴ 解得 , 。
∵不等式 的解集为 ,∴ ,解得
。
21.【解析】本题综合考查了棱锥的体积公式,线面垂直,同时考查了函数的思想,导数法解
决几何问题等重要的解题方法.
(定性法)当 时,随着 的增大,观察图形可知, 单调递减,且递减的速
度越来越快;当 时,随着 的增大,观察图形可知, 单调递减,且递减的速
度越来越慢;再观察各选项中的图象,发现只有 A 图象符合.故选 A.
【点评】对于函数图象的识别问题,若函数 的图象对应的解析式不好求时,作为
选择题,没必要去求解具体的解析式,不但方法繁琐,而且计算复杂,很容易出现某一步的
计算错误而造成前功尽弃;再次,作为选择题也没有太多的时间去给学生解答;因此,使用
定性法,不但求解快速,而且准确节约时间.
22.【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性、
函数图像、函数零点等基础知识,是难题.
【解析】由 知,所以函数 为偶函数,所以
8
2 1m + 2logy x=
[0 )+ ∞, 2 =0x ax b+ + 2 4 0a b= − =
2
4
ab =
22
2 2( ) 4 2
a af x x ax b x ax x = + + = + + = +
2
( ) 2
af x x c = + < 2
ac x c− < + <
2 2
a ac x c− − < < −
( )f x c< ( 6)m m +, ( ) ( ) 2 62 2
a ac c c− − − − = =
9c =
10 2x< < x ( )V x
1 12 x≤ < x ( )V x
( )y f x=
( )( )f x f x− = )(xf
x
8
2 1y m
= +
2logy x=
y m=
1O
A B
C D
31
,所以函数 为周期为 2 的周期函数,且 ,而
为偶函数,且 ,在同一坐标系下作出
两 函 数 在 上 的 图 像 ,发 现 在 内 图 像 共 有 6 个 公 共 点 , 则 函 数
在 上的零点个数为 6,故选 B.
23.【命题意图】本题主要考查不等式恒成立问题,是难题.
【 解 析 】 验 证 A , 当 , 故 排 除 A ; 验 证 B , 当
,
,而 ,故排除 B;
验证 C,令 ,显然 恒成立
所以当 , ,所以 , 为增函数,
所以
,恒成立,故选 C;验证 D,令
,令 ,解得 ,所以当
时, ,显然不恒成立,故选 C.
24. 解 析 : 令 , 则 , 设 ,
令 ,则 ,要使 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且仅有两个不
同的公共点 只需 ,整理得 ,于是可取
来研究,当 时, ,解得 ,此时
,此时 ;当 时, ,
解得 ,此时 ,此时 .答案应选 B。
另解:令 可得 。
设
不妨设 ,结合图形可知,
( ) ( ) ( )= 2- = -2f x f x f x )(xf ( ) ( )0 =0, 1 =1f f
( ) ( )= cosg x x xπ ( ) 1 1 30 = = - = =02 2 2g g g g
1 3- ,2 2
1 3- ,2 2
( ) ( ) ( )= -h x g x f x 1 3- ,2 2
3 3 2=3 >2.7 =19.68>1+3+3 =13x e时,
1= 2x 时,
1 6= 311+ 2
1 1 1 1 13 39 1521 1536 16 61- + = = = < =2 2 4 4 16 48 48 48 48
× ×
( ) ( ) ( )21=cos -1+ , ' =-sin + , '' =1-cos2g x x x g x x x g x x ( )'' >0g x
[ )0,+x∈ ∞ ( ) ( )' ' 0 =0g x g≥ [ )0,+x∈ ∞ ( ) 21=cos -1+ 2g x x x
( ) ( )0 =0g x g≥
( ) ( ) ( ) ( )
( )2 -31 1=ln 1+ - + , ' = -1+ =8 +1 4 4 +1
x xxh x x x x h x x x
( )' <0h x 0< <3x
0< <3x ( ) ( )< 0 =0h x h
bxaxx
+= 21 )0(1 23 ≠+= xbxax 23)( bxaxxF +=
bxaxxF 23)( 2 +=′
023)( 2 =+=′ bxaxxF a
bx 3
2−=
1)3
2()3
2()3
2( 23 =−+−=−
a
bba
baa
bF 23 274 ab =
3,2 =±= ba 3,2 == ba 132 23 =+ xx 2
1,1 21 =−= xx
2,1 21 =−= yy 0,0 2121 >+<+ yyxx 3,2 =−= ba 132 23 =+− xx
2
1,1 21 −== xx 2,1 21 −== yy 0,0 2121 <+>+ yyxx
)()( xgxf = baxx
+=
2
1
baxyxy +=′′=′ ,1
2
21 xx <
)0( >+=′′
a baxy)0( <+=′′
a baxy
y y
x x21 xx21 xx
32
当 时如右图,此时 ,
即 ,此时 , ,即 ;同理可由图
形经过推理可得当 时 .答案应选 B。
25.解析:根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长,点 P 旋转
了 弧度,此时点 的坐标为[来源:Z*xx*k.Com]
.
另解 1:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为 ,且
, 则 点 P 的 坐 标 为 , 即
.
26.【答案】2
【解析】当 时, , ,∴曲线在点 处的切线为
则根据题意可画出可行域 D 如右图:
目标函数 ,
当 , 时,z 取得最大值 2
27.【答案】
【 解 析 】 根 据 题 意 得 到 , 从 而 得 到
所 以 围 成 的 面 积 为
0>a 21 xx >
021 >>− xx 021 <+ xx 1
12
2
11 yxxy −=−>= 021 >+ yy
0+ yyxx
21
2 = P
)2cos1,2sin2(
,2cos1)22sin(1
,2sin2)22cos(2
−−=
−=−+=
−=−−=
OP
y
x
P
P
π
π
+=
+=
θ
θ
sin1
cos2
y
x
22
3,2 −==∠ πθPCD
−=−+=
−=−+=
2cos1)22
3sin(1
2sin2)22
3cos(2
π
π
y
x
)2cos1,2sin2( −−=OP
2>x ( )
xxf 1' = ( ) 11' =f (1,0) 1−= xy
zxy 2
1
2
1 −=
0=x 1−=y
4
5
110 ,0 2( ) 110 10, 12
x x
f x
x x
≤ ≤=
− + ≤
2
2
110 ,0 2( ) 110 10 , 12
x x
y xf x
x x x
≤ ≤= =
− + < ≤
33
,所以围成的图形的面积为 .
【点评】本题主要考查函数的图象与性质,函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图
形中的运用.突出体现数形结合思想,本题综合性较强,需要较强的分析问题和解决问题的
能力,在以后的练习中加强这方面的训练,本题属于中高档试题,难度较大.
28.14.
【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质,利用函数图像确定两函数的交点,从
而确定参数的取值范围.
【解析】∵函数 的图像直线恒过定点 ,且 , , ,
∴ , , ,由图像可知 .
29. 【 解 析 】 若 , 必 有 . 构 造 函 数 : , 则
恒成立,故有函数 在 x>0 上单调递增,即 a>b 成立.其
余选项用同样方法排除.
【答案】A
30.【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况:
(A) , 无解;
(B) , 无解.
因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在 x>0 的整个区间
上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图)
我们知道:函数 y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1 都过定点 P(0,1).
考查函数 y1=(a-1)x-1:令 y=0,得 M( ,0),还可分析得:a>1;
考查函数 y2=x 2-ax-1:显然过点 M( ,0),代入得: ,解之
得: ,舍去 ,得答案: .
4
5)1010(10 1
2
1
22
1
0
=+−+= ∫∫ dxxxxdxS 4
5
(0,1) (1,4)
= 2y kx − B(0, 2)− (1, 2)A − ( 1,0)C − (1,2)D
2+2= =01 0ABk
−
−
0+2= = 21 0BCk −− −
2+2= =41 0BDk − (0,1) (1,4)k ∈
4
2
2
4
6
8
10
12
10 5 5 10
A
O
B
C
D
2 2 2 3a ba b+ = + 2 2 2 2a ba b+ > + ( ) 2 2xf x x= +
( ) 2 ln 2 2 0xf x′ = ⋅ + > ( ) 2 2xf x x= +
2
( 1) 1 0
1 0
a x
x ax
≤
≤
- -
- -
2
( 1) 1 0
1 0
a x
x ax
≥
≥
- -
- -
1
1a −
1
1a −
21 1 01 1
a
a a
− − = − −
2
3a0 == 或者a 0=a 2
3=a
34
31.B 32.B 33.D 34.[根号 2,正无穷) 35.A 36.D 37.C
38.B 39.D 40.C 41.D 42.1、3 43.A 44.(4,3+根号二) 45.D
46.D 47.C
第二部分 解析几何参考答案
1.B 2.A 3.B 4.6 5.B 6.B 7.C 8.0 或
9.【解析】选
设 及 ;则点 到准线 的距离为
得: 又
的面积为
10. 解析:(Ⅰ)由于以 为直径的圆内切于菱形 ,因此点 到直线 的距
离为 ,又由于虚轴两端点为 , ,因此 的长为 ,那么在 中,由三角形
的面积公式知, ,又由双曲线中存在关系
联立可得出 ,根据 解出
(Ⅱ)设 ,很显然知道 , 因此 .在
中求得 故 ;
菱形 的面积 ,再根据第一问中求得的 值可以解出 .
11.【答案】 。
【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离
【解析】∵圆 C 的方程可化为: ,∴圆 C 的圆心为 ,半径为 1。
∵由题意,直线 上至少存在一点 ,以该点为圆心,1 为半径
的圆与圆 有公共点;
∴存在 ,使得 成立,即 。
∵ 即为点 到直线 的距离 ,∴ ,解得 。
C
(0 )AFx θ θ π∠ = < < BF m= A : 1l x = − 3
13 2 3cos cos 3
θ θ= + ⇔ = 2 32 cos( ) 1 cos 2m m mπ θ θ= + − ⇔ = =+
AOB∆ 1 1 3 2 2 3 2sin 1 (3 )2 2 2 3 2S OF AB θ= × × × = × × + × =
1 2A A 1 1 2 2F B F B O 22 BF
a 1B 2B 2OB b 22OBF∆
2
22 )(2
1||2
1
2
1 cbaFBabc +== 222 bac +=
222 )1( ee =− ),1( +∞∈e ;2
15 +=e
θ=∠ 22OBF θ=∠=∠ 222 AOBOAF )2sin(2 2
2 θaS =
22OBF∆ ,cos,sin
2222 cb
c
cb
b
+
=
+
= θθ
22
2
2
2
4cossin4 cb
bcaaS +== θθ
1 1 2 2F B F B bcS 21 = e 2
52
2
1 +=
S
S
4
3
( )2 24 1x y− + = (4,0)
2y kx= − 0 0( , 2)A x kx −
C
0x R∈ 1 1AC ≤ + min 2AC ≤
minAC C 2y kx= −
2
4 2
1
k
k
−
+ 2
4 2 2
1
k
k
− ≤
+
40 3k≤ ≤
8−
35
∴ 的最大值是 。
12.8.D
【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,重要不等式,
一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.
【解析】∵直线 与圆 相切,∴圆心 到直线
的距离为 ,所以 ,设 ,
则 ,解得 .
13.【解析】C 2 :x 2 +(y+4) 2 =2,圆心(0,—4),圆心到直线 l:y=x 的距离为:
,故曲线 C2 到直线 l:y=x 的距离为 .
另一方面:曲线 C1:y=x 2+a,令 ,得: ,曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:
y=x 的距离的点为( , ), .【答案】
14.【解析】 设
15.C 16.C 17.[五分之六,2] 18.C 19.C 20.C 21.B 22. 23.D
第三部分 立体几何参考答案
1.A 2. 3. A 4.C 5.
6.解析:
7.【命题意图】本题主要考查球与正三棱锥的切接问题,是难题.
【解析】如图所示, 为球心, 为截面 所在圆的圆心,
设 , 两两相互垂直,
,所以 , ,
k 4
3
( 1) +( 1) 2=0m x n y+ + − 2 2( 1) +(y 1) =1x − − (1,1)
2 2
|( 1)+( 1) 2|= =1
( 1) +( 1)
m nd
m n
+ + −
+ +
21 ( )2
m nmn m n
+= + + ≤ =t m n+
21 +14 t t≥ ( ,2 2 2] [2+2 2,+ )t ∈ −∞ − ∞
0 ( 4) 2 2
2
d
− −= = 2 2d d r d′ = − = − =
2 0y x′ = = 1
2x =
1
2
1
4 a+
4
9
2
)4
1(2
1
2' =⇒
+−
== a
a
d 4
9
5_____ 6AF =
25, , 12
5cos , cos ( 1) 6
AF m BF n AFx m n
m p m n p n p m
θ
θ θ
= = ∠ = ⇒ + =
= + = − = ⇒ =
3
34 6 6b 6 9( ) d , , = = =3.3753 2 b 16
6 1 6 157 6 11= =3 = =3.14, = =3.1428572 300 21
d V aV Aa
B D
π π ππ
π π π
π
×= =
× × ×
由 ,得 设选项中常数为 则 ; 中代入得 ,
中代入得 ,C中代入得 中代入得 ,
由于D中值最接近 的真实值,故选择D。
O 'O ABC
= = =PA PB PC a , ,PA PB PC
= = = 2AB BC CA a 6'= 3CO a 3'= 3PO a
2 2±
2 7 43π
36
,解得 ,所以 ,
8.答案 B
【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用。通过相似三角形,来确
定反射后的点的落的位置,结合图像分析反射的次数即可。
【解析】解:结合已知中的点 E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是
平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到 EA 点时,需要碰撞 14 次即可。
9.答案 【命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解。用空间向量进行求解
即可。【解析】设该三棱柱的边长为 1,依题意有 ,
则
而
10.【答案】
【解析】据题 ,也就是说,线段 的
长度是定值,因为棱 与棱 互相垂直,当 时,此时有最大值,此时
最大值为: .
【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已
知条件构造体积表达式,这是解决问题的关键,本题综合性强,运算量较大.属于中高档试
题.
11.【答案】B[
12.【解析】选
取长 的棱的中点与长为 的端点 ;则
2 2
3 6- 3 + =33 3a a
=2a 3 2 3'= =3 3PO a 3'= 3OO
6
6
1 1 1 1,AB AB AA BC AC AA AB= + = + −
2 22 2
1 1 1 1| | ( ) 2 2 2cos60 3AB AB AA AB AB AA AA= + = + ⋅ + = + ° =
2 2 22 2
1 1 1 1 1| | ( ) 2 2 2 2BC AC AA AB AC AA AB AC AA AC AB AA AB= + − = + + + ⋅ − ⋅ − ⋅ =
1 1 1 1( ) ( )AB BC AB AA AC AA AB⋅ = + ⋅ + −
1 1 1 1 1
1 1 1 11 1 12 2 2 2
AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB= ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅
= + − + + − =
1 1
1 1
1 1
1 6cos , 6| || | 2 3
AB BCAB BC
AB BC
⋅∴ < >= = =
⋅
13
2 22 −− cac
aCDACBDAB 2=+=+ CDACBDAB ++ 与线段
AD BC ABDBC 平面⊥
13
2 22 −− cac
A
2 a ,B C 2 22AB AC a BC= = ⇒ = <
37
第四部分 三角函数及解三角形参考答案
1.A 2.60 3.1、4
4.【解析】正确的是 ①②③
①
②
③当 时, 与 矛盾
④取 满足 得:
⑤取 满足 得:
5.【答案】A
【解析】由下图知 .
.又由余弦定理知 ,解得 .
【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合
思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意 的夹角为 的外角.
6.【解析】 ,故选 C
7.【答案】(1)3;(2) (lbylfx)
【解析】(1) ,当 ,点 P 的坐标为(0, )时
;
_____
2 2 2
2 2 1cos 2 2 2 3
a b c ab abab c C Cab ab
π+ − −> ⇒ = > = ⇒ <
2 2 2 2 2 24( ) ( ) 12 cos 2 8 2 3
a b c a b a ba b c C Cab ab
π+ − + − ++ > ⇒ = > ≥ ⇒ <
2C
π≥ 2 2 2 3 2 2 3 3c a b c a c b c a b≥ + ⇒ ≥ + > + 3 3 3a b c+ =
2, 1a b c= = = ( ) 2a b c ab+ <
2C
π<
2, 1a b c= = = 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b+ <
3C
π<
AB BC
= cos( ) 2 ( cos ) 1AB BC B BC Bπ − = × × − =
1cos 2B BC
∴ = −
2 2 2
cos 2
AB BC ACB AB BC
+ −= ⋅ 3BC =
,AB BC B∠
2
12
2cos 22
22222
=+
−≥−+=
ba
cc
ab
cbaC
4
π
( )y f x′= cos( )xω ω ϕ= +
6
πϕ = 3 3
2
3 3cos , 36 2
πω ω= ∴ =
A
B C
38
(2)由图知 , ,设 的横坐标分别为 .
设 曲 线 段 与 x 轴 所 围 成 的 区 域 的 面 积 为 则
,由几何概型知该点在△ABC
内的概率为 .
【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点 P 在图像上求 ,
(2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得.
8.根号 5 9.C
第五部分 数列参考答案
1.1830 2.10
3.考点:数列和三角函数的周期性。难度:中。
分析:本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和,所以先要找出周期,然后分组计算
和。
解答: ,
,
,
,
所以 。
即 。
4.【答案】C
【解析】依据正弦函数的周期性,可以找其中等于零或者小于零的项.
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律,
从题目出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0,这就是规律,考查综合分析问题和解决问题
的能力.
5.[答案]D
[解析]∵数列{an}是公差为 的等差数列,且
2
2 2
TAC
π
πω
ω= = = 1
2 2ABCS AC
πω= ⋅ =
,A B ,a b
ABC S
( ) ( ) sin( ) sin( ) 2b b
aa
S f x dx f x a bω ϕ ω ϕ′= = = + − + =∫
2
2 4
ABCSP S
π
π= = =
ω
1012cos)14(12
)14(cos)14(14 +=+×+=++×+=+
ππ
nnna n
1)24(1cos)24(12
)24(cos)24(24 ++−=+×+=++×+=+ nnnna n ππ
1012
3cos)34(12
)34(cos)34(34 +=+×+=++×+=+
ππ
nnna n
14412cos)44(12
)44(cos)44(44 ++=+×+=++×+=+ nnnna n ππ
++14na ++24na ++34na 644 =+na
301864
2012
2012 =×=S
8
π
1 2 5( ) ( ) ( ) 5f a f a f a π+ +⋅⋅⋅+ =
39
∴
∴ 即
得
∴
[点评]本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需
考生加强知识系统、网络化学习. 另外, 隐蔽性较强,
需要考生具备一定的观察能力.
6.[答案]①③④
[解析]若 ,根据
当 n=1 时,x2=[ ]=3, 同理 x3= , 故①对.
对于②③④可以采用特殊值列举法:
当 a=1 时,x1=1, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对.
当 a=2 时,x1=2, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对
当 a=3 时,x1=3, x2=2, x3=1, x4=2……xn=1, ……此时③④均对
综上,真命题有 ①③④ .
[点评]此题难度较大,不容易寻找其解题的切入点,特殊值列举是很有效的解决办法.
7.B 8.1、3、4 9.1-
10.B
第六部分 概率统计参考答案
2.【解析】选
①个位数为 时,十位数为 ,个位数为 时,十位数为 ,
共 个
②个位数为 时,十位数为 ,共 个别个位数为 的概率是
3.A 【解析】本题考查统计中的平均数,作差法比较大小以及整体思想.
由统计学知识,可得 ,
.
π5)coscos(cos2 521521 =+++−+++ aaaaaa )(
,0)coscos(cos 521 =+++ aaa π5522 3521 =×=+++ aaaa )(
4
3,4,2 513
πππ === aaa
2
3 1 3[ ( )]f a a a− =
16
13
16
3)cos2(
22
2
51
2
33
πππ =−=−− aaaa
,0)coscos(cos 521 =+++ aaa
5a = 1
[ ]
[ ]( )2
n
n
n
ax xx n N ∗
+
+
= ∈
2
15 +
2]2
13[ =+
nn 2)1(
1
•+
D
1,3,5,7,9 2,4,6,8 0,2,4,6,8 1,3,5,7,9
45
0 1,3,5,7,9 5 0 5 1
45 9
=
1 2 1 2,n mx x x nx y y y my+ + + = + + + =
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1n mx x x y y y m n z m n x yα α + + + + + + + = + = + + −
40
,
所以 .
所以
故 .[来源:学科网 ZXXK]
因为 ,所以 .所以 .即 .
【点评】要牢固掌握统计学中一些基本特征:如平均数,中位数,方差,标准差等的求法.
体现考纲中要求会用样本的基本数字特征估计总体的基本数 字特征.来年需要注意频率分
布直方图中平均值,标准差等的求解等.
4.【答案】 A
【 解 析 】 由 随 机 变 量 的 取 值 情 况 , 它 们 的 平 均 数 分 别 为 :
,
且随机变量 的概率都为 ,所以有 > . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提
和基础,本题属于中档题.
5.【解析】概率为
语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英语三门文化
课相邻有 种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有 种排法。
故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为
6.A
第七部分 向量参考答案
1.A
2. 【 解 析 】根 据 平 面 向 量 的 数 量 积 公 式
, 由 图 可 知 , , 因 此
( ) ( )( )1m n x m n yα α= + + + −
( ) ( )( )1nx my m n x m n yα α+ = + + + −
( )
( )( )
,
1 .
n m n
m m n
α
α
= + = + −
( )[ (1 )] ( )(2 1)n m m n m nα α α− = + − − = + −
10 2
α< < 2 1 0α − < 0n m− < n m<
21,ξξ
1 1 2 3 4 5
1 ( ),5x x x x x x= + + + +
2 3 3 4 4 5 5 11 2
2 1
1 ,5 2 2 2 2 2
x x x x x x x xx xx x
+ + + ++ = + + + + =
21,ξξ 2.0 1ξD 2ξD
3____ 5
3
3
4
4 AA 3
3
1
2
1
2
2
2
2
3 ACCAC
3
5
=⋅=⋅ DADECBDE
θcos|||| DADE ⋅ ||cos|| DADE =⋅ θ
41
,
,而 就是向量 在 边上的
射影,要想让 最大,即让射影最大,此时 E 点与 B 点重合,射影为 ,所以长
度为 1.【答案】1,1
3.【解析】选
都在集合 中得:
4.A
【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基
本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用.
【解析】∵ = , =
,
又 ∵ ,且 , ,
, ∴
,
,所以 ,解得
.
5.正负 3 6.
7.B
第八部分 排列组合参考答案
1.【解析】选
①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到 份纪念品的同学人数为 人
②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到 份纪念品的同学人数为 人
2.考点分析:本题考查排列、组合的应用.
难易度:★★
解析:(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为 0,
有 9(1~9)种情况,第二位有 10(0~9)种情况,所以 4 位回文数有 种。
1|| 2 ==⋅ DACBDE
=⋅=⋅ αcos|||| DCDEDCDE αcos|| ⋅DE αcos|| ⋅DE DE DC
DCDE ⋅ DC
C
2 1cos 0, cos 0 ( ) ( ) cos ( ,1)2
a b
a b b a a b b a
b a
θ θ θ= > = > ⇒ × = ∈
,a b b a
}2
n n Z ∈
*1 2
1 2
3( ) ( ) ( , )4 2
n na b b a n n N a b× = ∈ ⇒ =
=BQ AQ AB− (1 )AC ABλ− − =CP AP AC−
AB ACλ −
3= 2BQ CP⋅ − | |=| |=2AB AC 0< , >=60AB AC
0=| || |cos60 =2AB AC AB AC⋅ ⋅
3[(1 ) ]( )= 2AC AB AB ACλ λ− − − −
2 2 2 3| | +( 1) +(1 )| | = 2AB AB AC ACλ λ λ λ− − ⋅ − 2 34 +2( 1)+4(1 )= 2
λ λ λ λ− − −
1= 2
λ
3
2
D
2
6 13 15 13 2C − = − =
4 2
4 4
90109 =×
C
B
A
P
Q
42
答案:90
(Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现,2n+1 位回文数和 2n+2 位回文数的个数相同,
所以可以算出 2n+2 位回文数的个数。2n+2 位回文数只用看前 n+1 位的排列情况,第一位不
能为 0 有 9 种情况,后面 n 项每项有 10 种情况,所以个数为 .
法二、可以看出 2 位数有 9 个回文数,3 位数 90 个回文数。计算四位数的回文
数是可以看出在 2 位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”,因此四位数的回文数有 90
个按此规律推导 ,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加 0~9
这十个数,因此 ,则答案为 .
3.【答案】(1)6;(2)
【解析】(1)当 N=16 时,
,可设为 ,
,即为 ,
,即 , x7 位于 P2 中的第 6
个位置,;
(2)方法同(1),归纳推理知 x173 位于 P4 中的第 个位置.
【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力.
需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.
4.答案 A
【命题意图】本试题考查了排列组合的用用。
【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有 3 种,再填写右上角的数为 2 种,
在填写第二行第一列的数有 2 种,一共有 。[来源:学.科.网]
5.解析: ,答案应选 C。
另解: .
6.[答案]B
[解析]方程 变形得 ,若表示抛物线,则
所以,分 b=-3,-2,1,2,3 五种情况:
(1)若 b=-3, ; (2)若 b=3,
以上两种情况下有 9 条重复,故共有 16+7=23 条;
同理当 b=-2,或 2 时,共有 23 条; 当 b=1 时,共有 16 条.
综上,共有 23+23+16=62 种
n109×
n109×
43 2 11n−× +
0 1 2 3 4 5 6 16P x x x x x x x= (1,2,3,4,5,6, ,16)
1 1 3 5 7 15 2 4 6 16P x x x x x x x x x= (1,3,5,7,9, 2,4,6,8, ,16)
2 1 5 9 13 3 7 11 15 2 6 16P x x x x x x x x x x x= (1,5,9,13,3,7,11,15,2,6, ,16)
43 2 11n−× +
3 2 2 12× × =
4728856072166
1415164 1
12
2
4
3
4
3
16 =−=−−××=−− CCCC
472122642202
11124126
1011123 2
12
1
4
3
4
3
12
0
4 =−+=××+−××=+− CCCCC
2 2ay b x c= + 22
2
b
cyb
ax −= 0,0 ≠≠ ba
−==
−==
−==
=−=
2,1,0,23
3,1,0,2,2
3,2,0,2c,1
3,2,1,0,2
或或或,
或或或
或或或
或或或
ca
ca
a
ca
−==
−==
−==
=−=
2,1,0,23
3,1,0,2,2
3,2,0,2c,1
3,2,1,0,2
或或或,
或或或
或或或
或或或
ca
ca
a
ca
43
[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的 18 条抛物线. 列举法是
解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.
第九部分 不等式参考答案
1.考点:线性规划。
难度:中。
分析:本题考查的知识点为含参的线性规划,需要画出可行域的图形,含参的直线要能画出大
致图像。
解答:可行域如下:
所以,若直线 上存在点 满足约束条件 ,
则 ,即 。
2.【答案】 。
【考点】可行域。
【解析】条件 可
化为: 。
设 ,则题目转化为:
xy 2= ),( yx
≥
≤−−
≤−+
mx
yx
yx
032
03
mm 23 ≥− 1≤m
[ ] 7e,
4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b− +− ≤ ≤ ≥,
3 5
4
a
c
a b
c c
a b
c c
b ec
⋅ + ≥
+ ≤
≥
= =a bx yc c
,
)( 3,0
)( 0,3
),(
2
3-0
)3,( mm −
xy 2=
44
已知 满足 ,求 的取值范围。
作出( )所在平面区域(如图)。求出 的切
线的斜率 ,设过切点 的切线为 ,
则 ,要使它最小,须 。
∴ 的最小值在 处,为 。此时,点 在 上 之间。
当( )对应点 时, ,
∴ 的最大值在 处,为 7。
∴ 的取值范围为 ,即 的取值范围是 。
3.【解析】选 由对称性:
围成的面积与
围成的面积相等 得: 所表示的平面图形的面积为
围成的面积既
5.A 6.A 7.5
第十部分 算法参考答案
1.3
2.【解析】M 表示落入扇形的点的个数,1000 表示落入正方形的点的个数,
则点落入扇形的概率为 ,
由几何概型知,点落入扇形的概率为 ,
则 ,故选 D
x y,
3 5
4
0 0
x
x y
x y
y e
x > y >
+ ≥
+ ≤ ≥
,
y
x
x y, = xy e
e ( )0 0P x y, ( )= 0y ex m m+ ≥
0 0
0 0 0
= =y ex m mex x x
+ + =0m
y
x
( )0 0P x y, e ( )0 0P x y, = xy e ,A B
x y, C =4 5 =20 5 =7 =7=5 3 4 =20 12
y x y x yy xy x y x x
− − ⇒ ⇒ ⇒ − −
y
x C
y
x
[ ] 7e, b
a
[ ] 7e,
D
2 21, ,( 1) ( 1) 1y x y x yx
≥ ≥ − + − ≤ 2 21, ,( 1) ( 1) 1y x y x yx
≤ ≥ − + − ≤
A B
2 2,( 1) ( 1) 1y x x y≤ − + − ≤
21
2 2R
ππ× =
1000
M
4
π
1000
4MP == π
45
第十一部分 交叉知识参考答案
1.1、2 2.1、3