2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第九章　4 第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第九章　4 第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系

‎[基础题组练]‎ ‎1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)‎ A．4　　　　　　　　　　　 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：选C.(直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝＝<1＝r，所以直线与圆相交．‎ ‎2．直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是(　　)‎ A．[－，]‎ B．[－2，2]‎ C．[－－1，－1]‎ D．[－2－1，2－1]‎ 解析：选D.圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝＝，若直线l与圆C恒有公共点，则≤2，解得－2－1≤m≤2－1，故选D.‎ ‎3．若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为2，则a的值为(　　)‎ A．±2 B．2‎ C．－2 D．无解 解析：选A.圆x2＋y2＝a2的圆心为原点O，半径r＝|a|.‎ 将x2＋y2＝a2与x2＋y2＋ay－6＝0左右分别相减，‎ 可得a2＋ay－6＝0，即得两圆的公共弦所在直线的方程为a2＋ay－6＝0.‎ 原点O到直线a2＋ay－6＝0的距离d＝，‎ 根据勾股定理可得a2＝()2＋，‎ 所以a2＝4，所以a＝±2.故选A.‎ ‎4．(2020·台州中学高三月考)若直线y＝kx＋4＋2k与曲线y＝有两个交点，则k的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞) B. C. D．(－∞，－1]‎ 解析：选B.曲线y＝ 即x2＋y2＝4(y≥0)，‎ 表示一个以(0，0)为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示．‎ 直线y＝kx＋4＋2k即y＝k(x＋2)＋4，表示恒过点(－2，4)，斜率为k的直线，‎ 结合图形可得kAB＝＝－1，‎ 因为＝2，解得k＝－，即kAT＝－，‎ 所以要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是.‎ ‎5．圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0(D<0，E为整数)的圆心C到直线4x－3y＋3＝0的距离为1，且圆C被截x轴所得的弦长|MN|＝4，则E的值为(　　)‎ A．－4 B．4‎ C．－8 D．8‎ 解析：选C.圆心C.‎ 由题意得＝1，‎ 即|4D－3E－6|＝10，①‎ 在圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0中，令y＝0得x2＋Dx－3＝0.‎ 设M(x1，0)，N(x2，0)，则x1＋x2＝－D，x1x2＝－3.‎ 由|MN|＝4得|x1－x2|＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝16，‎ ‎(－D)2－4×(－3)＝16.‎ 因为D<0，所以D＝－2.‎ 将D＝－2代入①得|3E＋14|＝10，‎ 所以E＝－8或E＝－(舍去)．‎ ‎6．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)，(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D.设P(a，b)为圆上一点，由题意知，·＝0，即(a＋t)(a－t)＋b2＝0，a2－t2＋b2＝0，所以t2＝a2＋b2＝|OP|2，|OP|max＝2＋1＝3，即t的最大值为3，此时kOP＝，OP所在直线的倾斜角为30°，所以点P的纵坐标为，横坐标为3×＝，即P.‎ ‎7．(2020·浙江高中学科基础测试)由直线3x－4y＋5＝0上的一动点P向圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0引切线，则切线长的最小值为________．‎ 解析：当直线上的点到圆心(2，－1)的距离最短时，切线长最小．此时，圆心到直线的距离 d＝＝3，r＝1，所以切线长为2.‎ 答案：2 ‎8．(2020·杭州七校联考)已知圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，直线l过圆心且交圆C于A，B两点，交y轴于P点，若2 ＝，则直线l的斜率k＝________．‎ 解析：依题意得，点A是线段PB的中点，|PC|＝|PA|＋|AC|＝3，过圆心C(3，5)作y轴的垂线，垂足为C1，则|CC1|＝3，|PC1|＝＝6.记直线l的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝＝2，即k＝±2.‎ 答案：±2‎ ‎9．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为________．‎ 解析：已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为C(1，2)，半径r＝，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则PC⊥AB.在△PAC中，∠APC＝30°，由正弦定理得＝，所以|PC|＝2sin∠PAC≤2，故|PC|的最大值为2.‎ 答案：2 ‎10．(2020·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O1和圆O2都经过点(0，1)，若两圆与直线4x－3y＋5＝0及y＋1＝0均相切，则|O1O2|＝________．‎ 解析：如图，因为原点O到直线4x－3y＋5＝0的距离d＝＝1，到直线y＝－1的距离为1，且到(0，1)‎ 的距离为1，‎ 所以圆O1和圆O2的一个圆心为原点O，不妨看作是圆O1，‎ 设O2(a，b)，则由题意：‎ ，解得.‎ 所以|O1O2|＝＝.‎ 答案： ‎11．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点．‎ ‎(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；‎ ‎(2)当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．‎ 解：(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1，0)，因为直线过点P，C，所以kPC＝＝2，直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.‎ ‎(2)当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0，圆心C到直线l的距离为，又因为圆的半径为3，所以弦AB的长为.‎ ‎12．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2，1)．‎ ‎(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；‎ ‎(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．‎ 解：(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，‎ 所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.‎ 设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.‎ 又|O1O2|＝＝2，‎ 所以r2＝|O1O2|－r1＝2－2.‎ 所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.‎ ‎(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，‎ 又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，‎ 相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0.‎ 设线段AB的中点为H，‎ 因为r1＝2，所以|O1H|＝＝.‎ 又|O1H|＝＝，‎ 所以＝，解得r＝4或r＝20.‎ 所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)‎ A．1 B．3‎ C. D. 解析：选A.由题意知两圆的标准方程为(x＋a)2＋y2＝4和x2＋(y－2b)2＝1，圆心分别为(－a，0)和(0，2b)，半径分别为2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有＝3，即a2＋4b2＝9，所以＋＝＝≥×(1＋4＋4)＝1.当且仅当＝，即|a|＝|b|时取等号，故选A.‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使MA＝2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是(　　)‎ A. B．[0，1]‎ C. D. 解析：选A.因为圆心在直线y＝2x－4上，‎ 所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.‎ 设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以＝2，‎ 化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，‎ 所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．‎ 由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.‎ 由≥1得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R；‎ 由≤3得5a2－12a≤0，解得0≤a≤.‎ 所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.‎ ‎3．(2020·浙江省镇海中学高三模拟)已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为______________；‎ 圆C与圆C′的公共弦的长度为________．‎ 解析：由题设将圆C：x2＋y2－6x－2y＝0中的x，y换为y＋1，x－1可得圆C′的方程为(y＋1)2＋(x－1)2－6(y＋1)－2(x－1)＝0，即x2＋y2－4x－4y－2＝0，也即(x－2)2＋(y－2)2‎ ‎＝10；将两圆的方程两边相减可得公共弦的直线方程为x－y－1＝0，圆心C′(2，2)到该直线的距离d＝，半径r＝，故弦长L＝2＝.‎ 答案：(x－2)2＋(y－2)2＝10　 ‎4．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．‎ ‎(1)证明：坐标原点O在圆M上；‎ ‎(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．‎ 解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.‎ 由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.‎ 又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.‎ 因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上．‎ ‎(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.‎ 故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，‎ 圆M的半径r＝.‎ 由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，‎ 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，‎ 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.‎ 由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.‎ 所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.‎ 当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.‎ 当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为＋＝.‎ ‎5．(2020·富阳市场口中学高三质检)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是正整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)设直线ax－y＋5＝0(a＞0)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；‎ ‎(3)在(2)的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(－2，4)，‎ 若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)设圆心为M(m，0)(m∈N*)．‎ 由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，‎ 所以＝5，‎ 即|4m－29|＝25.因为m为正整数，故m＝1.‎ 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.‎ ‎(2)把直线ax－y＋5＝0，即y＝ax＋5‎ 代入圆的方程，消去y，‎ 整理得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0，‎ 由于直线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点，‎ 故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)＞0，‎ 即12a2－5a＞0，由于a＞0，解得a＞，‎ 所以实数a的取值范围是.‎ ‎(3)设符合条件的实数a存在，‎ 则直线l的斜率为－，‎ l的方程为y＝－(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0.‎ 由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1，0)必在l上，‎ 所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝.‎ 由于∈，故存在实数a＝，‎ 使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB.‎