【数学】2018届一轮复习人教A版12-3数学归纳法学案
§12.3 数学归纳法
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1.了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
考点1 用数学归纳法证明等式
数学归纳法的定义及框图表示
(1)定义：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，这一步是归纳奠基．
②假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立，这一步是归纳递推．
完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
(2)框图表示：
答案：(1)②n＝k＋1
[典题1] 用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，
左边＝＝，
右边＝＝，
左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即有
＋＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝＝＝.
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．
[点石成金] 用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题
(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．
(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．
(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．
考点2 用数学归纳法证明不等式
[典题2] 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2)．
[证明] (1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．
(2)假设n＝k时命题成立，即
1＋＋＋…＋<2－.
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，命题成立．
由(1)(2)知，原不等式在n∈N*，n≥2时均成立．
[点石成金] 用数学归纳法证明不等式应注意的两个问题
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.
已知数列{an}，当n≥2时，an<－1，又a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N*时，an＋1
0，
又ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，
∴ak＋2－ak＋1<0，∴ak＋20，n∈N*.
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；
(2)证明通项公式的正确性．
(1)[解] 当n＝1时，由已知，得
a1＝＋－1，则a＋2a1－2＝0.
∴a1＝－1(a1>0)．
当n＝2时，由已知，得a1＋a2＝＋－1，
将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.
∴a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－.
猜想an＝－(n∈N*)．
(2)[证明] ①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，
即ak＝－.
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，
将ak＝－代入上式，
整理得a＋2ak＋1－2＝0，
∴ak＋1＝－，
即n＝k＋1时通项公式成立．
由①②可知，对所有n∈N*，an＝－都成立．
[点石成金] “归纳——猜想——证明”的基本步骤是“观察——归纳——猜想——证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．
角度二
证明存在性问题
[典题4] 设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．
(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；
(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2nf(a2k＋1)>f(1)＝a2，
即1>c>a2k＋2>a2.
再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得
c＝f(c)f(a2k＋1)＝a2k＋2，
a2(k＋1)＝f(a2k＋1)f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2，
所以a2n＋1> －1，
解得a2n＋1>.④
综上，由②③④知，存在c＝使a2n0(n∈N*)．
(1)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；
(2)设x>0，y>0，且x＋y＝1，证明：＋≤.
[审题视角] (1)将n＝1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，从而可猜想an，并用数学归纳法证明．
(2)利用分析法，结合x>0，y>0，x＋y＝1，利用基本不等式可证．
(1)[解] 分别令n＝1,2,3，得
∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3.
猜想：an＝n.
∵2Sn＝a＋n，①
当n≥2时，2Sn－1＝a＋(n－1)．②
①－②，得2an＝a－a＋1，
即a＝2an＋a－1.
(ⅰ)当n＝2时，a＝2a2＋12－1，∵a2>0，∴a2＝2.
(ⅱ)假设当n＝k(k≥2)时，ak＝k，那么当n＝k＋1时，
a＝2ak＋1＋a－1＝2ak＋1＋k2－1，
∴[ak＋1－(k＋1)][ak＋1＋(k－1)]＝0，
∵ak＋1>0，k≥2，∴ak＋1＋(k－1)>0，
∴ak＋1＝k＋1.
即当n＝k＋1时也成立．∴an＝n(n≥2)．
显然n＝1时，也成立，
故对于一切n∈N*，均有an＝n.
(2)[证明] 要证＋≤，
只要证nx＋1＋2＋ny＋1≤2(n＋2)．
即n(x＋y)＋2＋2≤2(n＋2)，
将x＋y＝1代入，得2≤n＋2，
即只要证4(n2xy＋n＋1)≤(n＋2)2，
即4xy≤1.
∵x>0，y>0，且x＋y＝1，
∴≤＝，
即xy≤，故4xy≤1成立，
所以原不等式成立．
[答题模板]
第1步：寻找特例a1，a2，a3等．
第2步：猜想an的公式．
第3步：转换递推公式为an与an－1的关系．
第4步：用数学归纳法证明an.
①验证递推公式中的第一个自然数n＝2.
②推证ak＋1的表达式为k＋1.
③补验n＝1，说明对于n∈N*成立．
第5步：分析法证明．
[方法点睛] (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳——猜想——证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．
(2)为了正确地猜想an，首先准确求出a1，a2，a3的值．
(3)证明n＝k到n＝k＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法．如本题：∵2Sn－1＝a＋n－1，∴2(Sn－Sn－1)＝a－a＋1，推导an与an－1的递推关系，再推出an，则不是数学归纳法．
(4)本题第(2)问中的不等式证明不是关于n的不等式，由x＋y＝1来推证，则不能称为数学归纳法．
