2015年湖北省高考数学试卷(文科)

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2015年湖北省高考数学试卷(文科)

2015 年湖北省高考数学试卷(文科)   一、选择题:本大题 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.(3 分)(2015•湖北)i 为虚数单位,i607=(  ) A.﹣i B.iC.1 D.﹣1 2.(3 分)(2015•湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮, 有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内 夹谷约为(  ) A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 3.(3 分)(2015•湖北)命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0﹣1”的否定是(  ) A.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0﹣1 B.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0﹣1 C.∀x∈(0,+∞),lnx≠x﹣1 D.∀x∉(0,+∞),lnx=x﹣1 4.(3 分)(2015•湖北)已知变量 x 和 y 满足关系 y=﹣0.1x+1,变量 y 与 z 正相关,下列结 论中正确的是(  ) A.x 与 y 负相关,x 与 z 负相关 B.x 与 y 正相关,x 与 z 正相关 C.x 与 y 正相关,x 与 z 负相关 D.x 与 y 负相关,x 与 z 正相关 5.(3 分)(2015•湖北)l1,l2 表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2 是异面直线,q:l1,l2 不相交,则(  ) A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 6.(3 分)(2015•湖北)函数 f(x)= 的定义域为(  ) A.(2,3) B.(2,4] C.(2,3)∪(3,4] D.(﹣1,3)∪(3,6] 7.(3 分)(2015•湖北)设 x∈R,定义符号函数 sgnx= ,则(  ) A.|x|=x|sgnx| B.|x|=xsgn|x| C.|x|=|x|sgnx D.|x|=xsgnx 8.(3 分)(2015•湖北)在区间[0,1]上随机取两个数 x,y,记 p1 为事件“x+y≤ ”的概率, P2 为事件“xy≤ ”的概率,则(  ) A.p1<p2< B. C.p2< D. 9.(3 分)(2015•湖北)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同 时增加 m(m>0)个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则(  ) A.对任意的 a,b,e1>e2 B.当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 C.对任意的 a,b,e1<e2 D.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2 10.(3 分)(2015•湖北)已知集合 A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤ 2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合 A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}, 则 A⊕B 中元素的个数为(  ) A.77 B.49 C.45 D.30   二、填空题 11.(3 分)(2015•湖北)已知向量 ⊥ ,| |=3,则 • =      . 12.(3 分)(2015•湖北)设变量 x,y 满足约束条件 ,则 3x+y 的最大值 为      . 13.(3 分)(2015•湖北)函数 的零点个数 为      . 14.(3 分)(2015•湖北)某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行 统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的 a=      . (2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为      . 15.(3 分)(2015•湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD=      m. 16.(3 分)(2015•湖北)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两 点 A,B(B 在 A 的上方),且|AB|=2. (1)圆 C 的标准方程为      . (2)圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为      . 17.(3 分)(2015•湖北)a 为实数,函数 f(x)=|x2﹣ax|在区间[0,1]上的最大值记为 g (a).当 a=      时,g(a)的值最小.   三、解答题 18.(12 分)(2015•湖北)某同学将“五点法”画函数 f(x)=Asin(wx+φ)(w>0,|φ|< )在某一个时期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表: wx+φ 0 π 2π x Asin(wx+φ) 0 5 ﹣5 0 (1)请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平移 个单位长度,得到 y=g(x)图象,求 y=g(x) 的图象离原点 O 最近的对称中心. 19.(12 分)(2015•湖北)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公 比为 q,已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 20.(13 分)(2015•湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马 P﹣ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,连接 DE、BD、 BE. (Ⅰ)证明:DE⊥平面 PBC.试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直 角(只需写出结论);若不是,请说明理由; (Ⅱ)记阳马 P﹣ABCD 的体积为 V1,四面体 EBCD 的体积为 V2,求 的值. 21.(14 分)(2015•湖北)设函数 f(x),g(x)的定义域均为 R,且 f(x)是奇函数,g (x)是偶函数,f(x)+g(x)=ex,其中 e 为自然对数的底数. (1)求 f(x),g(x)的解析式,并证明:当 x>0 时,f(x)>0,g(x)>1; (2)设 a≤0,b≥1,证明:当 x>0 时,ag(x)+(1﹣a)< <bg(x)+(1﹣b). 22.(14 分)(2015•湖北)一种画椭圆的工具如图 1 所示.O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN=ON=1,MN=3,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 N 绕 O 转动,M 处的笔尖 画出的椭圆记为 C,以 O 为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标 系. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设动直线 l 与两定直线 l1:x﹣2y=0 和 l2:x+2y=0 分别交于 P,Q 两点.若直线 l 总与 椭圆 C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最 小值;若不存在,说明理由.   2015 年湖北省高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析   一、选择题:本大题 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.(3 分)(2015•湖北)i 为虚数单位,i607=(  ) A.﹣i B.iC.1 D.﹣1 【分析】直接利用虚数单位 i 的运算性质得答案. 【解答】解:i607=i606•i=(i2)303•i=(﹣1)303•i=﹣i. 故选:A. 【点评】本题考查了虚数单位 i 的运算性质,是基础的计算题.   2.(3 分)(2015•湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮, 有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内 夹谷约为(  ) A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 【分析】根据 254 粒内夹谷 28 粒,可得比例,即可得出结论. 【解答】解:由题意,这批米内夹谷约为 1534× ≈169 石, 故选:B. 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础.   3.(3 分)(2015•湖北)命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0﹣1”的否定是(  ) A.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0﹣1 B.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0﹣1 C.∀x∈(0,+∞),lnx≠x﹣1 D.∀x∉(0,+∞),lnx=x﹣1 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 【解答】解:命题的否定是:∀x∈(0,+∞),lnx≠x﹣1, 故选:C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.   4.(3 分)(2015•湖北)已知变量 x 和 y 满足关系 y=﹣0.1x+1,变量 y 与 z 正相关,下列结 论中正确的是(  ) A.x 与 y 负相关,x 与 z 负相关 B.x 与 y 正相关,x 与 z 正相关 C.x 与 y 正相关,x 与 z 负相关 D.x 与 y 负相关,x 与 z 正相关 【分析】由题意,根据一次项系数的符号判断相关性,由 y 与 z 正相关,设 y=kz,k>0, 得到 x 与 z 的相关性. 【解答】解:因为变量 x 和 y 满足关系 y=﹣0.1x+1,一次项系数为﹣0.1<0,所以 x 与 y 负 相关; 变量 y 与 z 正相关,设,y=kz,(k>0),所以 kz=﹣0.1x+1,得到 z= ,一次项 系数小于 0,所以 z 与 x 负相关; 故选:A. 【点评】本题考查由线性回归方程,正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应 是解题的关键.   5.(3 分)(2015•湖北)l1,l2 表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2 是异面直线,q:l1,l2 不相交,则(  ) A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系,进行判断即可. 【解答】解:若 l1,l2 是异面直线,则 l1,l2 不相交,即充分性成立, 若 l1,l2 不相交,则 l1,l2 可能是平行或异面直线,即必要性不成立, 故 p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件, 故选:A. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据空间直线的位置关系是解决本题的 关键.   6.(3 分)(2015•湖北)函数 f(x)= 的定义域为(  ) A.(2,3) B.(2,4] C.(2,3)∪(3,4] D.(﹣1,3)∪(3,6] 【分析】根据函数成立的条件进行求解即可. 【解答】解:要使函数有意义,则 , 即 , >0 等价为① 即 ,即 x>3, ② ,即 ,此时 2<x<3, 即 2<x<3 或 x>3, ∵﹣4≤x≤4, ∴解得 3<x≤4 且 2<x<3, 即函数的定义域为(2,3)∪(3,4], 故选:C 【点评】本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.   7.(3 分)(2015•湖北)设 x∈R,定义符号函数 sgnx= ,则(  ) A.|x|=x|sgnx| B.|x|=xsgn|x| C.|x|=|x|sgnx D.|x|=xsgnx 【分析】去掉绝对值符号,逐个比较即可. 【解答】解:对于选项 A,右边=x|sgnx|= ,而左边=|x|= ,显 然不正确; 对于选项 B,右边=xsgn|x|= ,而左边=|x|= ,显然不正确; 对于选项 C,右边=|x|sgnx= ,而左边=|x|= ,显然不正确; 对于选项 D,右边=xsgnx= ,而左边=|x|= ,显然正确; 故选:D. 【点评】本题考查函数表达式的比较,正确去绝对值符号是解决本题的关键,注意解题方法 的积累,属于中档题.   8.(3 分)(2015•湖北)在区间[0,1]上随机取两个数 x,y,记 p1 为事件“x+y≤ ”的概率, P2 为事件“xy≤ ”的概率,则(  ) A.p1<p2< B. C.p2< D. 【分析】分别求出事件“x+y≤ ”和事件“xy≤ ”对应的区域,然后求出面积,利用几何概型 公式求出概率,比较大小. 【解答】解:由题意,事件“x+y≤ ”表示的区域如图阴影三角形, p1= ; 满足事件“xy≤ ”的区域如图阴影部分 所以 p2= = = > ; 所以 ; 故选:B. 【点评】本题考查了几何概型的公式运用;关键是分别求出阴影部分的面积,利用几何概型 公式解答.   9.(3 分)(2015•湖北)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同 时增加 m(m>0)个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则(  ) A.对任意的 a,b,e1>e2 B.当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 C.对任意的 a,b,e1<e2 D.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2 【分析】分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论. 【解答】解:由题意,双曲线 C1:c2=a2+b2,e1= ; 双曲线 C2:c′2=(a+m)2+(b+m)2,e2= , ∴ = ﹣ = , ∴当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2, 故选:D. 【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.   10.(3 分)(2015•湖北)已知集合 A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤ 2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合 A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}, 则 A⊕B 中元素的个数为(  ) A.77 B.49 C.45 D.30 【分析】由题意可得,A={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0),B={(0,0), (0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2) (2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0), (﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2)},根 据定义可求 【解答】解:解法一: ∵A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0), B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0, ﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1), (2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2), (﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2)} ∵A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}, ∴A⊕B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1, ﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2),(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1, ﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1), (﹣2,2), (﹣2,3),(﹣2,﹣3),(0,﹣3),(2,﹣3),(﹣1,3),(﹣1,﹣3),(1,3),(2,3), (0,3),(3,﹣1),(3,0)(3,1),(3,2),(3,﹣2)(﹣3,2)(﹣3,1),(1,﹣3), (﹣3,﹣1),(﹣3,0),(﹣3,﹣2)}共 45 个元素; 解法二: 因为集合 A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合 A 中有 5 个元素,即图中圆中的整 点,B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},中有 5×5=25 个元素,即图中正方形 ABCD 中的整点,A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}的元素可看作正方形 A1B1C1D1 中的整点(除去四个顶点),即 7×7﹣4=45 个. 故选:C. 【点评】本题以新定义为载体,主要考查了集合的基本定义及运算,解题中需要取得重复的 元素.   二、填空题 11.(3 分)(2015•湖北)已知向量 ⊥ ,| |=3,则 • = 9 . 【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案. 【解答】解:由 ⊥ ,得 • =0,即 •( )=0, ∵| |=3, ∴ . 故答案为:9. 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法,是基础的计算题.   12.(3 分)(2015•湖北)设变量 x,y 满足约束条件 ,则 3x+y 的最大值为 10 . 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大 值. 【解答】解:作出不等式对应的平面区域如图, 由 z=3x+y,得 y=﹣3x+z, 平移直线 y=﹣3x+z,由图象可知当直线 y=﹣3x+z,经过点 C 时,直线 y=﹣3x+z 的截距最 大, 此时 z 最大. 由 得 .即 C(3,1), 此时 z 的最大值为 z=3×3+1=10, 故答案为:10. 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.   13.(3 分)(2015•湖北)函数 的零点个数为 2 . 【分析】将函数进行化简,由 f(x)=0,转化为两个函数的交点个数进行求解即可. 【解答】解:f(x)=2sinxcosx﹣x2=sin2x﹣x2, 由 f(x)=0 得 sin2x=x2, 作出函数 y=sin2x 和 y=x2 的图象如图: 由图象可知,两个函数的图象有 2 个不同的交点, 即函数 f(x)的零点个数为 2 个, 故答案为:2 【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,利用函数和方程之间的关系转化为两个函数图 象的交点问题是解决本题的关键.   14.(3 分)(2015•湖北)某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行 统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的 a= 3 . (2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 6000 . 【分析】(1)频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率,先算出频率,在根据频率和为 1,算出 a 的值; (2)先求出消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的频率,再求频数. 【解答】解:(1)由题意,根据直方图的性质得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)×0.1=1,解得 a=3 (2)由直方图得(3+2.0+0.8+0.2)×0.1×10000=6000 故答案为:(1)3 (2)6000 【点评】本题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率,频数=频率×样本容量, 属于基础题.   15.(3 分)(2015•湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD= 100  m. 【分析】设此山高 h(m),在△BCD 中,利用仰角的正切表示出 BC,进而在△ABC 中利 用正弦定理求得 h. 【解答】解:设此山高 h(m),则 BC= h, 在△ABC 中,∠BAC=30°,∠CBA=105°,∠BCA=45°,AB=600. 根据正弦定理得 = , 解得 h=100 (m) 故答案为:100 . 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形,将各个已知条件向这个 主三角形集中,再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或列式 求解.   16.(3 分)(2015•湖北)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两 点 A,B(B 在 A 的上方),且|AB|=2. (1)圆 C 的标准方程为 (x﹣1)2+(y﹣ )2=2 . (2)圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为 ﹣1﹣  . 【分析】(1)确定圆心与半径,即可求出圆 C 的标准方程; (2)求出圆 C 在点 B 处切线方程,令 y=0 可得圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距. 【解答】解:(1)由题意,圆的半径为 = ,圆心坐标为(1, ), ∴圆 C 的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣ )2=2; (2)由(1)知,B(0,1+ ), ∴圆 C 在点 B 处切线方程为(0﹣1)(x﹣1)+(1+ ﹣ )(y﹣ )=2, 令 y=0 可得 x=﹣1﹣ . 故答案为:(x﹣1)2+(y﹣ )2=2;﹣1﹣ . 【点评】本题考查圆的标准方程,考查圆的切线方程,考查学生的计算能力,属于中档 题.   17.(3 分)(2015•湖北)a 为实数,函数 f(x)=|x2﹣ax|在区间[0,1]上的最大值记为 g (a).当 a= 2 ﹣2 时,g(a)的值最小. 【分析】通过分 a≤0、0<a≤2 ﹣2、a>2 ﹣2 三种情况去函数 f(x)表达式中绝对值 符号,利用函数的单调性即得结论. 【解答】解:对函数 f(x)=|x2﹣ax|=|(x﹣ )2﹣ |分下面几种情况讨论: ①当 a≤0 时,f(x)=x2﹣ax 在区间[0,1]上单调递增, ∴f(x)max=g(1)=1﹣a; ②当 0<a≤2 ﹣2 时, = = ,f(1)=1﹣a, ∵ ﹣(1﹣a)= ﹣2<0, ∴f(x)max=g(1)=1﹣a; ③当 2 ﹣2<a≤1 时,f(x)max=g(a)= ; 综上所述,g(a)= , ∴g(a)在(﹣∞, ]上单调递减,在[ ,+∞)上单调递增, ∴g(a)min=g( ); ④当 1<a<2 时,g(a)=f( )= ; ⑤当 a≥2 时,g(a)=f(1)=a﹣1; 综上,当 a= 时,g(a)min=3﹣2 , 故答案为: . 【点评】本题考查求函数的最值,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于难 题.   三、解答题 18.(12 分)(2015•湖北)某同学将“五点法”画函数 f(x)=Asin(wx+φ)(w>0,|φ|< )在某一个时期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表: wx+φ 0 π 2π x Asin(wx+φ) 0 5 ﹣5 0 (1)请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平移 个单位长度,得到 y=g(x)图象,求 y=g(x) 的图象离原点 O 最近的对称中心. 【分析】(1)由五点作图法即可将数据补充完整,写出函数的解析式; (2)由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得 g(x),解得其对称中心即可得解. 【解答】解:(1)数据补充完整如下表: wx+φ 0 π 2π x Asin(wx+φ) 0 5 0 ﹣5 0 函数 f(x)的解析式为:f(x)=5sin(2x﹣ ). (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平移 个单位长度,得到 y=g(x)=5sin[2(x+ )﹣ ]=5sin(2x+ ). 由 2x+ =kπ,k∈Z,可解得:x= ﹣ ,k∈Z, 当 k=0 时,可得:x=﹣ . 从而可得离原点 O 最近的对称中心为:(﹣ ,0). 【点评】本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象变换,属于基本知识的考查.   19.(12 分)(2015•湖北)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公 比为 q,已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【分析】(1)利用前 10 项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可; (2)当 d>1 时,由(1)知 cn= ,写出 Tn、 Tn 的表达式,利用错位相减法及等比 数列的求和公式,计算即可. 【解答】解:(1)设 a1=a,由题意可得 , 解得 ,或 , 当 时,an=2n﹣1,bn=2n﹣1; 当 时,an= (2n+79),bn=9• ; (2)当 d>1 时,由(1)知 an=2n﹣1,bn=2n﹣1, ∴cn= = , ∴Tn=1+3• +5• +7• +9• +…+(2n﹣1)• , ∴ Tn=1• +3• +5• +7• +…+(2n﹣3)• +(2n﹣1)• , ∴ Tn=2+ + + + +…+ ﹣(2n﹣1)• =3﹣ , ∴Tn=6﹣ . 【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法 的积累,属于中档题.   20.(13 分)(2015•湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马 P﹣ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,且 PD=CD,点 E 是 PC 的中点,连接 DE、BD、 BE. (Ⅰ)证明:DE⊥平面 PBC.试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直 角(只需写出结论);若不是,请说明理由; (Ⅱ)记阳马 P﹣ABCD 的体积为 V1,四面体 EBCD 的体积为 V2,求 的值. 【分析】(Ⅰ)证明 BC⊥平面 PCD,DE⊥平面 PBC,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角 三角形,即可得出结论; (Ⅱ)由已知,PD 是阳马 P﹣ABCD 的高,所以 V1= = .由(Ⅰ) 知,DE 是鳖臑 D﹣BCE 的高,BC⊥CE,所以 V2= = .即可求 的值. 【解答】(Ⅰ)证明:因为 PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥BC, 因为 ABCD 为正方形,所以 BC⊥CD, 因为 PD∩CD=D, 所以 BC⊥平面 PCD, 因为 DE⊂平面 PCD, 所以 BC⊥DE, 因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点, 所以 DE⊥PC, 因为 PC∩BC=C, 所以 DE⊥平面 PBC, 由 BC⊥平面 PCD,DE⊥平面 PBC,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形, 即四面体 EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB; (Ⅱ)由已知,PD 是阳马 P﹣ABCD 的高,所以 V1= = . 由(Ⅰ)知,DE 是鳖臑 D﹣BCE 的高,BC⊥CE, 所以 V2= = . 因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点, 所以 DE=CE= CD, 所以 = = =4 【点评】本题考查线面垂直的判定与性质,考查体积的计算,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.   21.(14 分)(2015•湖北)设函数 f(x),g(x)的定义域均为 R,且 f(x)是奇函数,g (x)是偶函数,f(x)+g(x)=ex,其中 e 为自然对数的底数. (1)求 f(x),g(x)的解析式,并证明:当 x>0 时,f(x)>0,g(x)>1; (2)设 a≤0,b≥1,证明:当 x>0 时,ag(x)+(1﹣a)< <bg(x)+(1﹣b). 【分析】(1)运用奇、偶函数的定义,由函数方程的思想可得 f(x)、g(x)的解析式,再 由指数函数的单调性和基本不等式,即可证得 f(x)>0,g(x)>1; (2)当 x>0 时, >ag(x)+1﹣a⇔f(x)>axg(x)+(1﹣a)x, <bg(x) +1﹣b⇔f(x)<bxg(x)+(1﹣b)x,设函数 h(x)=f(x)﹣cxg(x)﹣(1﹣c)x,通 过导数判断单调性,即可得证. 【解答】解:(1)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 即有 f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x), f(x)+g(x)=ex,f(﹣x)+g(﹣x)=e﹣x, 即为﹣f(x)+g(x)=e﹣x, 解得 f(x)= (ex﹣e﹣x),g(x)= (ex+e﹣x), 则当 x>0 时,ex>1,0<e﹣x<1,f(x)>0; g(x)= (ex+e﹣x)> ×2 =1, 则有当 x>0 时,f(x)>0,g(x)>1; (2)证明:f′(x)= (ex+e﹣x)=g(x), g′(x)= (ex﹣e﹣x)=f(x), 当 x>0 时, >ag(x)+1﹣a⇔f(x)>axg(x)+(1﹣a)x, <bg(x)+1﹣b⇔f(x)<bxg(x)+(1﹣b)x, 设函数 h(x)=f(x)﹣cxg(x)﹣(1﹣c)x, h′(x)=f′(x)﹣c(g(x)+xg′(x))﹣(1﹣c) =g(x)﹣cg(x)﹣cxf(x)﹣(1﹣c)=(1﹣c)(g(x)﹣1)﹣cxf(x), ①若 c≤0 则 h′(x)>0,故 h(x)在(0,+∞)递增,h(x)>h(0)=0,(x>0), 即有 f(x)>cxg(x)+(1﹣c)x,故 >ag(x)+1﹣a 成立; ②若 c≥1 则 h′(x)<0,故 h(x)在(0,+∞)递减,h(x)《h(0)=0,(x>0), 即有 f(x)<cxg(x)+(1﹣c)x,故 <bg(x)+1﹣b 成立. 综上可得,当 x>0 时,a g(x)+(1﹣a)< <b g(x)+(1﹣b). 【点评】本题考查函数的奇偶性的运用,主要考查函数的解析式的求法和不等式的证明,同 时考查指数函数的单调性和基本不等式的运用,以及导数的运用:判断单调性,属于中档 题.   22.(14 分)(2015•湖北)一种画椭圆的工具如图 1 所示.O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN=ON=1,MN=3,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 N 绕 O 转动,M 处的笔尖 画出的椭圆记为 C,以 O 为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标 系. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设动直线 l 与两定直线 l1:x﹣2y=0 和 l2:x+2y=0 分别交于 P,Q 两点.若直线 l 总与 椭圆 C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最 小值;若不存在,说明理由. 【分析】(1)根据条件求出 a,b 即可求椭圆 C 的方程; (2)联立直线方程和椭圆方程,求出原点到直线的距离,结合三角形的面积公式进行求解 即可. 【解答】解:(1)设 D(t,0),|t|≤2, N(x0,y0),M(x,y),由题意得 =2 , 且| |=| |=1, ∴(t﹣x,﹣y)=2(x0﹣t,y0),且 , 即 ,且 t(t﹣2x0)=0, 由于当点 D 不动时,点 N 也不动,∴t 不恒等于 0, 于是 t=2x0,故 x0= ,y0=﹣ , 代入 x02+y02=1,得方程为 . (2)①当直线 l 的斜率 k 不存在时,直线 l 为:x=4 或 x=﹣4,都有 S△OPQ= , ②直线 l 的斜率 k 存在时,直线 l 为:y=kx+m,(k ), 由 消去 y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0, ∵直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点, ∴△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣16)=0,即 m2=16k2+4,①, 由 ,可得 P( , ),同理得 Q( , ), 原点 O 到直线 PQ 的距离 d= 和|PQ|= •|xP﹣xQ|, 可得 S△OPQ= |PQ|d= |m||xP﹣xQ|= |m|| |=| |②, 将①代入②得 S△OPQ=| |=8| |, 当 k2> 时,S△OPQ=8( )=8(1+ )>8, 当 0≤k2< 时,S△OPQ=8| |=﹣8( )=8(﹣1+ ), ∵0≤k2< 时,∴0<1﹣4k2≤1, ≥2, ∴S△OPQ=8(﹣1+ )≥8,当且仅当 k=0 时取等号, ∴当 k=0 时,S△OPQ 的最小值为 8, 综上可知当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时,三角形 OPQ 的面积存在最小值为 8. 【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用,结合三角 形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.   参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123;刘长柏;maths;changq;cst;吕静;依依;w3239003; 双曲线(排名不分先后) 菁优网 2016 年 8 月 29 日
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