数学文卷·2018届湖南省桃江一中高三上学期期中考试(2017

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数学文卷·2018届湖南省桃江一中高三上学期期中考试(2017

桃江一中2017年下学期期中考试 高三数学文科 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在复平面内,复数对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 ‎3. “”是“”的( )‎ A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要 ‎4.已知, ,,则 ( )  ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎5.已知等比数列{}的前n项和,则…等于(  )‎ ‎  A.          B.‎ ‎  C.            D.‎ ‎6.某程序框图如右图所示,运行该程序输出的值是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.若两个非零向量,满足|+|=|﹣|=2||,则向量+与﹣的夹角是(  )‎ ‎  A. B. C. D. ‎ ‎8.若直线上存在点满足,则实数的取值范围是( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示,‎ 则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎10.设点P是双曲线(a>0,b>0)与圆在第一象限的交点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知函数f(x)=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<)‎ 的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)‎ 个单位后,得到的图象关于点(,-1)对称,则m的最小值是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 已知函数,若对任意的,‎ 恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎13.在区间上随机选取两个数和,则满足的概率为 .‎ ‎14.已知等差数列的前项和为,若,则 .‎ ‎15.已知是球表面上的点,,,,‎ ‎,则球的表面积等于 . ‎ ‎16.在△ABC中,∠A=,O为平面内一点.且||=||=||,M为劣弧上一动点,且=p+q,则p+q的取值范围为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,D在线段AC上,.(Ⅰ)若△BCD的面积为24,求CD的长;(Ⅱ)若,且,,求CD的长.‎ ‎18.(本小题满分12分)2016年上半年数据显示,某市空气质量在其所在省中排名倒数第三,PM10(可吸入颗粒物)和PM2.5(细颗粒物)分别排在倒数第一和倒数第四,这引起有关部门高度重视,该市采取一系列“组合拳”治理大气污染,计划到2016年底,全年优、良天数达到190天.下表是‎2016年9月1日到‎9月15日该市的空气质量指数(AQI),其中空气质量指数划分为0~50,51~100,101~150,151~200,201~300和大于300六档,对应空气质量依次为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染.‎ 日期 ‎9月 ‎1日 ‎9月 ‎2日 ‎9月 ‎3日 ‎9月 ‎4日 ‎9月 ‎5日 ‎9月 ‎6日 ‎9月 ‎7日 ‎9月 ‎8日 ‎9月 ‎9日 ‎9月 ‎10日 ‎9月 ‎11日 ‎9月 ‎12日 ‎9月 ‎13日 ‎9月 ‎14日 ‎9月 ‎15日 AQI指数 ‎72‎ ‎74‎ ‎115‎ ‎192‎ ‎138‎ ‎123‎ ‎74‎ ‎80‎ ‎105‎ ‎73‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎77‎ ‎109‎ ‎124‎ PM2.5‎ ‎36‎ ‎29‎ ‎76‎ ‎112‎ ‎89‎ ‎85‎ ‎40‎ ‎32‎ ‎59‎ ‎35‎ ‎45‎ ‎59‎ ‎53‎ ‎79‎ ‎89‎ PM10‎ ‎76‎ ‎86‎ ‎148‎ ‎199‎ ‎158‎ ‎147‎ ‎70‎ ‎83‎ ‎121‎ ‎75‎ ‎96‎ ‎90‎ ‎63‎ ‎113‎ ‎140‎ ‎(Ⅰ)指出这15天中PM2.5的最大值及PM10的最大值;‎ ‎(Ⅱ)从这15天中连续取2天,求这2天空气质量均为优、良的概率;‎ ‎(Ⅲ)已知2016年前8个月(每个月按30天计算)该市空气质量为优、良的天数约占55%,用9月份这15天空气质量优、良的频率作为2016年后4个月空气质量优、良的概率(不考虑其他因素),估计该市到2016年底,能否完成全年优、良天数达到190天的目标.‎ ‎19.(本小题12分)‎ 已知等腰梯形(图1)中,,,,是 ‎ 中点,将沿折起,构成四棱锥(图2),分别是的中点.‎ ‎ ‎ A ‎ ‎ B ‎ ‎ C ‎ ‎ D ‎ ‎ E ‎ ‎ 图 ‎1‎ ‎ ‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)当平面平面时,求点到平面的距离.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 已知中心在坐标系原点,焦点在轴上的椭圆离心率为,直线与椭圆的两个交点间的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过下焦点的直线交椭圆于两点,点为椭圆的上顶点,求面积的最大值.‎ ‎21. 已知函数(,是自然对数的底数).‎ ‎(1)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所作的第一题记分. ‎ ‎22.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求圆C的普通方程;(Ⅱ)直线的极坐标方程是,射线与圆C的交点为O、P,与直线的交点为Q,求线段PQ的长.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数,不等式的解集为.(Ⅰ)求;(Ⅱ)证明:当,时,.‎ 桃江一中2017年下学期期中考试 高三数学文科答案 一、选择题:‎ ‎ 1-5 ADAAD, 6-10 BCBCC 11、12 AB 二、填空题:‎ ‎13. 14. 10 15. 16. ‎ 三、解答题:‎ ‎ ……10分 ‎17.解:(Ⅰ)由,解得.‎ 在中,,‎ 即, .‎ ‎(Ⅱ)因为,且,可以求得,.‎ 依题意,,即,解得.‎ 因为,故,故.‎ 在中,由正弦定理可得,解得.‎ ‎18.解:(1)这15天中PM2.5的最大值为112,PM10的最大值为199.2分 ‎(2)从这15天中连续取2天的取法有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(10,11),(11, 12),(12,13),(13,14),(14,15),共14种.5分 这2天空气质量均为优、良的取法有(1,2),(7,8), (10,11),(11,12), (12,13),共5种.所以从这15天中连续取2天,这2天空气质量均为优、良的概率为.8分 ‎(3)由前8个月空气质量优、良的天数约占55%,可得空气质量优、良的天数为55%×240=132,10分 ‎9月份这15天空气优、良的天数有8天,空气质量优、良的频率为,2016年后4个月该市空气质量优、良的天数约为120×=64,132+64=196>190,‎ 所以估计该市到2016年底,能完成全年优、良天数达到190天的目标.12分 ‎19.(1)证明:取的中点,连接.‎ 都是等边三角形,,‎ ‎,平面.‎ A ‎ ‎ B ‎ ‎ C ‎ ‎ D ‎ ‎ P ‎ ‎ M ‎ ‎ N ‎ ‎ 图 ‎2‎ ‎ ‎ 分别为的中点,,‎ ‎,四边形是平行四边形.‎ ‎,平面平面平面 ‎(2)设点到平面的距离为 平面平面,平面 ‎,=.‎ ‎20.解(1)因为,所以①‎ 又直线与椭圆的两个交点间的距离为.‎ 所以椭圆过点,代入椭圆方程得②‎ 又③‎ 由①②③得 所以椭圆方程为…………………………….4分 ‎(2)设直线的方程为 由得 显然,设 则………………………….6分 所以 ‎=‎ 又点到直线的距离为 所以…………………………9分 令,则 所以 因为,在上单调递增 所以当时,即时,取最小值4‎ 所以…………………………………………….12分 ‎21.【解析】(Ⅰ)当时,有,‎ 则.‎ 又因为,‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为,即.‎ ‎(Ⅱ)因为,令 有()且函数在上单调递增 ‎ 当时,有,此时函数在上单调递增,则 ‎(ⅰ)若即时,有函数在上单调递增,‎ 则恒成立;‎ ‎(ⅱ)若即时,则在存在,‎ 此时函数在 上单调递减,上单调递增且,‎ 所以不等式不可能恒成立,故不符合题意;‎ 当时,有,则在存在,此时上单调递减,上单调递增所以函数在上先减后增.‎ 又,则函数在上先减后增且.‎ 所以不等式不可能恒成立,故不符合题意;‎ 综上所述,实数的取值范围为. ‎ ‎22.(I)由圆的参数方程(为参数)知,圆的圆心为,‎ 半径为,圆的普通方程为 ……4分 将代入得圆的极坐标方程为 ……5分 设,则由解得 ……7分 设,则由解得 ……9分 所以 ‎ ‎23.解:(Ⅰ)‎ 由的单调性及得,或. ‎ 所以不等式的解集为. ……5分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,所以,,‎ ‎, 所以,‎ 从而有. ……10分 ‎
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