湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)数学(理)试题(图片版)

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湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)数学(理)试题(图片版)

高三一模数学(理科)参考答案 第 1 页 2019 数学(理科)参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C D C B A A B C D C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.- 3 2 a+ 3 1 b 14.1+ 5 15. 25 72 16.Sn=(8n-4)3n+4 三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解:(Ⅰ)由题意及正弦定理得 CA sin3sin2  ,即 CA sin2 3sin  .·········(1 分) 由 CB tan2tan  ,得 BCCB cossin2cossin  , 两边同加 BCcossin ,得   BCCB cossin3sin  , 即   BCCACB cossin3sin2 3sinsin  .····························(3分) 由  ,0C ,得 0sin C ,故 2 1cos B .································(4 分) 由  ,0B ,得 3 B .···············································(5 分) (Ⅱ)由 33tan A ,得 14 213sin,14 7cos  AA , 故 ABC 的面积 14 213 2 133  bcS , 整理得 74bc .·····················································(9 分) 又由 Abccbaca cos2,32 222  , 得 44 9 222  cbc ,同 74bc 联立, 得 4112 4 9 2 2 2  ccc .················································(10 分) 化简整理得 0488165 24  cc ,解得 23,14,22  abc .·········(11 分) 故 ABC 的周长为 1425  cba .·······························(12 分) 18.解:(Ⅰ)延长 BA,CD 交于点 E,连接 PE,则 PE 平面 PCD.若 AM∥平面 PCD, 由平面 PBE  平面 PCD=PE,AM 平面 PBE,则 AM∥PE.由 AD= 3 1 BC,AD∥BC, 则 PB PM = EB EA = 3 1 ,故点 M 是线段 PB 上靠近点 P 的一个三等分点.··········(4 分) 高三一模数学(理科)参考答案 第 2 页 (Ⅱ)∵PA⊥AD,PA⊥CD,AD  CD=D,AD  平面 ABCD,CD  平面 ABCD,则 PA⊥平面 ABCD,以点 A 为坐标原点,以 AD,AP 所在的直线分别为 y 轴、z 轴,过点 A 与 平面 PAD 垂直的直线为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系,······················(7 分) 则 P(0,0,2), D(0,1,0), C(t,1,0), B(t,  1 -1,0),则 BC(0,2-  1 , 0), PC(t,1,-2), CD(-t,0,0) 设平面 PBC 和平面 PCD 的法向量分别为 n1=(x1,y1,z1), n2=(x2,y2,z2). 由 n1⊥BC,n1⊥PC 得      0 0 1 1 PC BC n n 即           02 012 111 1 zytx y  , 令 x1=1,则 z1= 2 t ,故 n1=(1,0, 2 t ).··········(9 分) 同理可求得 n2=(0,2,1).························(10 分) 于是 21 21cos nn nn  ,则 10 10 521 2 2     t t ,解之得 t=±2(负 值舍去),故 t=2. ∴CD=2.····························································(12 分) 19.解:(Ⅰ)调整前 y 关于 x 的表达式为 y=          80005000,1.0500045 50003500,03.03500 3500,0 xx xx x , ········································(2 分) 调整后 y 关于 x 的表达式为 y=       80005000,03.05000 5000,0 xx x .··········(4 分) (Ⅱ)①由频数分布表可知从[3000,5000)及[5000,7000)的人群中抽取 7 人,其 中[3000,5000)中占 3 人,[5000,7000)的人中占 4 人, 再从这 7 人中选 4 人,所以 Z 的取值可能为 0,2,4,·······················(5 分) P(Z=0)=P(a=2,b=2)= 4 7 2 4 2 3 C CC = 35 18 , P(Z=2)=P(a=1,b=3)+P(a=3,b=1)= 4 7 1 4 3 3 3 4 1 3 C CCCC  = 35 16 , P(Z=4)=(a=0,b=4)= 4 7 4 4 0 3 C CC = 35 1 , Z 0 2 4 高三一模数学(理科)参考答案 第 3 页 所以其分布列为 ·································(7 分) 所以 E(Z)= 0× 35 18 +2× 35 16 +4× 35 1 = 35 36 .····························(8 分) ②由于小红的工资、薪金等税前收入为 7500 元, 按调整起征点前应纳个税为 1500×3%+2500×10%=295 元;···············(10 分) 按调整起征点后应纳个税为 2500×3%=75 元, 由此可知,调整起征点后应纳个税少交 220 元, 即个人的实际收入增加了 220 元, 所以小红的实际收入增加了 220 元.······································(12 分) 20.( Ⅰ)设 xMF 2 ,则 MFF 21 内, 由余弦定理得 2 22 5 14120cos222      xx , 化简得 05 6 5 16            xx ,解得 5 6x , 故 42 21  MFMFa , ∴ 2a ,得 3222  cab , 所以椭圆 C 的标准方程为 134 22  yx .···································(4 分) (Ⅱ)已知 A(-2,0), B(2,0), 设 T(x,y), P(x1,y1), Q(x2,y2), 由 22 1 1  x y x ykk PATA ,① 22 2 2  x y x ykk QBTB ,② 两式相除得 2 2 1 1 2 22 2 y x x y x x   .·······································(6 分) 又   4 3 4 44 3 422 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1    x x x y x y x y , 故 1 1 1 1 2 4 3 2 y x x y  , P 35 18 35 16 35 1 高三一模数学(理科)参考答案 第 4 页 故    21 21 2 2 1 1 22 4 32 22 2 yy xx y x x y x x   ,③ ························(8 分) 设 PQ 的方程为 1 myx ,代入 134 22  yx 整理, 得   09643 22  myym ,  >0 恒成立.························································(10 分) 把        43 9 43 6 221 221 myy m myy 代入③, 得      3 1 43 9 143 6 43 9 4 3 1 4 311 4 3 2 2 2 22 2 21 2121 2 21 21              m m mmmm yy yymyym yy mymy x x , 得到 x=4,故点 T 在定直线 x=4 上.····································(12 分) 21.解:(Ⅰ)因为 f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以只需考虑 x∈(0,+∞) 上的极值点个数,       ,0,1ln9 1 23 xxxxxxf 时,   2 22 2 2 1 1113 1 1 113 1 x xx x xxf         .·······················(1 分) 令   1113 1 22       xxxh ,   22 3 1 3 3 3 3 1 3 1 x xxx x xx xh                   , ∴当       3 3,0x 时,    xhxh ,0 单调递减,当        ,3 3x 时,    xhxh ,0 单 调递增, ∴   003 3       hh .··················································(3 分) 取   017161163 16,6       hx , 高三一模数学(理科)参考答案 第 5 页 ∴在区间       ,3 3 上存在唯一的 x0 使   00 xh .··························(4 分) ∴f(x)在区间 0,0 x 上单调递减,在区间 ,0x 上单调递增.··············(5 分) 又 f(x)为奇函数, ∴f(x)在区间 0, x 上单调递增,在区间 00, xx 上单调递减,在区间 ,0x 上 单调递增, ∴f(x)的极值点共 2 个.···············································(6 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f(x)在区间       3 3,0 内单调递减,且 f(x)<0 恒成立.··(7 分) ∴       3 3,0x 时,   01ln9 1 23  xxxx , 即得   xxxx  23 1ln9 1 .··········································(8 分) 又令           3 3,04 1 n x , 得 nnnn na                           4 1 4 114 1ln4 1 9 1 23 .························(10 分) ∴ 3 1 4 113 1 4 11 4 114 1 4 1…4 1 4 1 4 1… 32 321                                        n n n naaaa .··(12 分) 22.解:(Ⅰ)      32 12:1 ty txC 消去 t,得 4 yx .又        sin cos y x ,代入 4 yx 得: 04sincos   . ∴ 0224sin: 044sin204cossin 1               C .················(2 分) C2:p=2a cos 化为:(x-a)2+y2=a2(a>0),又 C2 关于 C1:x-y=4 对称, ∴(a,0)∈C1,∴a=4,∴C2:( x-4)2+y2=16.························(4 分) 高三一模数学(理科)参考答案 第 6 页 (Ⅱ)C2 向左平移 4 个单位长度得:x2+y2=16,按      yy xx 2 3 变换后得:x2+ 2 3 2      y =16 16 2x + 12 2y =1.······················································(6 分) ∴C3: + =1,∴令 A(4,0), B(0,2 3 ),∴ AB =2 7 . 易得:lAB: 3 x+2y-4 3 =0,设 P(4cos ,2 sin )到 lAB 的距离为 d. 则 d= 7 34cos34sin34   = 7 14sin234      ≤   7 1234  . ······································(8 分) 当 sin( + 4  )=-1  + 4  =  2 3 = 4 5 时,d 有最大值   7 1234  . ∴( S△ABP)max= AB2 1 d= 2 1 ×2 7 ×   7 1234  =4 3 +4 6 .········(10 分) 23.解:(Ⅰ)               2 1,13 2 10,1 0,13 12 xx xx xx xxxf , 由   4xf 解得 1x 或 3 5x .········································(5 分) (Ⅱ)∵ 38 3628 36 8 3168 333 2222  abababababbaabba . 当 a=b=2 时等号成立,即知   312  xxxf . 解方程,分情况讨论:①当 x≤0 时,-3x+1<3,故 3 2 <x≤0;②当 x≥ 2 1 时,3x -1<3,故 2 1 ≤x< 3 4 ;③当 0<x< 2 1 ,满足 1-x<3. ∴x 的取值集合为 M=    3 4 3 2 xx .·································( 10 分)
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