2020九年级数学上册 第二十四章 圆 24

2020九年级数学上册 第二十四章 圆 24

‎24.4　弧长和扇形面积 第1课时　弧长和扇形面积 ‎01　　基础题 知识点1　弧长公式及应用 ‎1．(岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D)‎ A. B．π C. D. ‎2．(衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为(C)‎ A．6 B．‎9 C．18 D．36‎ ‎3．(自贡中考)一个扇形的半径为‎8 cm，弧长为π cm，则扇形的圆心角为(B)‎ A．60° B．120° C．150° D．180°‎ ‎4．(兰州中考)如图，用一个半径为‎5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C)‎ A．π cm B．2π cm C．3π cm D．5π cm ‎5．(南宁中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于(A)‎ A. B. C. D. 11‎ 知识点2　扇形的面积公式及应用 ‎6．(宜宾中考)半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是(D)‎ A．3π B．6π C．9π D．12π ‎7．(维吾尔中考)一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm2，那么这个扇形的半径是(B)‎ A．‎1 cm B．‎‎3 cm C．‎6 cm D．‎‎9 cm ‎8．(怀化中考)已知扇形的半径为‎6 cm，面积为10π cm2，则该扇形的弧长等于__cm．‎ ‎9．(广西中考)一个扇形的半径为‎3 cm，面积为π cm2，则此扇形的圆心角为40度．‎ ‎10．(常德中考)如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是3π．‎ ‎11．(无锡中考)如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝‎6 cm，AC＝‎8 cm，∠ABD＝45°.‎ ‎(1)求BD的长；‎ ‎(2)求图中阴影部分的面积．‎ 解：(1)∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠C＝90°，∠BDA＝90°.‎ ‎∵BC＝‎6 cm，AC＝‎8 cm，‎ ‎∴AB＝＝10(cm)．‎ 11‎ ‎∵∠ABD＝45°.‎ ‎∴△ABD是等腰直角三角形．‎ ‎∴BD＝AD＝AB＝‎5 cm.‎ ‎(2)连接DO，‎ ‎∵△ABD是等腰直角三角形，OB＝OA，‎ ‎∴∠BOD＝90°.‎ ‎∵AB＝‎10 cm，‎ ‎∴OB＝OD＝‎5 cm.‎ ‎∴S阴影＝S扇形OBD－S△BOD ‎＝－×52‎ ‎＝(－)cm2.‎ 易错点　忽视题中条件 ‎12．(教材P116习题T8变式)如图，一扇形纸扇完全打开后，‎ 外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm2.‎ ‎02　　中档题 ‎13．(山西中考)如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为(C)‎ A. B. C．Π D．2π ‎14．(山西中考)如图是某公园的一角，∠AOB＝90°，弧AB的半径OA长是‎6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(C)‎ 11‎ A．(10π－)米2 B．(π－)米2‎ C．(6π－)米2 D．(6π－9)米 ‎15．(盘锦中考)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AB＝‎4 cm，分别以B，C为圆心，以BD，CD为半径画弧，交边AB，AC于点E，F，则图中阴影部分的面积是(2＋2－π) cm2.‎ ‎16．(山西中考)图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB＝‎6 cm，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB方向平移至扇形O′A′C′，如图2，其中O′是OB的中点，O′C′交于点F，则的长为π cm.‎ ‎17．如图1，正方形ABCD是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD中点处的光点P按图2的程序移动．‎ ‎(1)请在图1中画出光点P经过的路径；‎ ‎(2)求光点P经过的路径总长(结果保留π)．‎ 11‎ 解：(1)如图．‎ ‎(2)光点P经过的路径总长为4×＝6π.‎ ‎18．(山西中考适应性考试)如图，已知PA为⊙O的切线，A为切点，B为⊙O上一点，∠AOB＝120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB，AD.‎ ‎(1)求证：OD平分∠AOB；‎ ‎(2)若OA＝‎2 cm，求阴影部分的面积．‎ 解：(1)证明：∵PA为⊙O的切线，‎ ‎∴OA⊥PA.‎ ‎∵BC⊥PA，‎ ‎∴∠OAP＝∠BCA＝90°.‎ ‎∴OA∥BC.‎ ‎∴∠AOB＋OBC＝180°.‎ ‎∵∠AOB＝120°，‎ ‎∴∠OBC＝60°.‎ ‎∵OB＝OD，‎ ‎∴△OBD是等边三角形．‎ ‎∴∠BOD＝60°.‎ ‎∴∠AOD＝∠BOD＝60°.‎ ‎∴OD平分∠AOB.‎ ‎(2)∵OA∥BC，‎ ‎∴点O和点A到BD的距离相等．‎ ‎∴S△ABD＝S△OBD.‎ ‎∴S阴影＝S扇形OBD.‎ ‎∴S阴影＝＝π(cm2)．‎ 11‎ ‎03　　综合题 ‎19．(山西中考命题专家原创)“莱洛三角形”是一种等宽曲线，在游标卡尺上，它在任何方向上的宽度都相等，其构造方法是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形，如图1.莱洛三角形在日常生活中有广泛的应用，如汽车发动机就有莱洛三角形，如图2，若图1中等边三角形的边长是2，则该莱洛三角形的周长是2π．‎ 第2课时　圆锥的侧面积和全面积 ‎01　　基础题 知识点1　圆柱的侧面积与全面积 ‎1．圆柱形水桶底面周长为3.2π m，高为‎0.6 m，它的侧面积是(B)‎ A．1.536π m2 B．1.92π m2‎ C．0.96π m2 D．2.56π m2‎ ‎2．(来宾中考)一个圆柱的底面直径为‎6 cm，高为‎10 cm，则这个圆柱的全面积是78πcm2(结果保留π)．‎ 知识点2　圆锥的侧面积与全面积 ‎3．(无锡中考)已知圆锥的底面半径为‎4 cm，母线长为‎6 cm，则它的侧面展开图的面积等于(C)‎ A．‎24 cm2 B．‎48 cm2‎ C．24π cm2 D．12π cm2‎ ‎4．(德阳中考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥母线长为2，则圆锥的底面半径是(B)‎ A. B．1‎ C. D. ‎5．(嘉兴中考)一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为(D)‎ 11‎ A．1.5 B．2 ‎ C．2.5 D．3‎ ‎6．(宁夏中考)如图，圆锥的底面半径r＝3，高h＝4，则圆锥的侧面积是(B)‎ A．12π B．15π C．24π D．30π ‎7．(齐齐哈尔中考)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是(A)‎ A．120° B．180°‎ C．240° D．300°‎ ‎8．(孝感中考)若一个圆锥的底面圆半径为‎3 cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是‎9cm.‎ ‎9．(广东中考)如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为‎12 cm，OA＝‎13 cm，则扇形AOC中的长是10πcm.(结果保留π)‎ ‎　　　‎ ‎10．(聊城中考)如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为2π．‎ ‎11．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为‎12 cm，弧长为12π 11‎ ‎ cm的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．‎ 解：侧面积为：×12×12π＝72π(cm2)．‎ 设底面半径为r，则有2πr＝12π，∴r＝6 cm.‎ 由于高、母线、底面半径恰好构成直角三角形，根据勾股定理可得，高为＝6(cm)．‎ 易错点　考虑不全面导致漏解 ‎12．(黄冈中考)已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为π或4π．‎ ‎02　　中档题 ‎13．(杭州中考)如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则(A)‎ A．l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶2‎ B．l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶2‎ C．l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶4‎ D．l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶4‎ ‎14．(绵阳中考)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB＝‎8 cm，圆柱体部分的高BC＝‎6 cm，圆锥体部分的高CD＝‎3 cm，则这个陀螺的表面积是(C)‎ 11‎ A．68π cm2‎ B．74π cm2‎ C．84π cm2‎ D．100π cm2‎ ‎15．(十堰中考)如图，从一张腰长为‎60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为(D)‎ A．‎10 cm B．‎‎15 cm C．‎10 cm D．‎20 cm ‎16．(恩施中考)一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为15πcm2.‎ ‎17．(苏州中考)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC＝3，∠BOC＝2∠AOC.若用扇形OAC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是．‎ ‎　　‎ ‎18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为8π(结果保留π)．‎ ‎19．如图，有一直径是‎1米的圆形铁皮，圆心为O，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC，求：‎ 11‎ ‎(1)被剪掉阴影部分的面积；‎ ‎(2)若用所留的扇形ABC铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？‎ 解：(1)连接OA，OB.‎ 由∠BAC＝120°，可知AB＝米，点O在扇形ABC的上．‎ ‎∴扇形ABC的面积为π×()2＝(平方米)．‎ ‎∴被剪掉阴影部分的面积为 π×()2－＝(平方米)．‎ ‎(2)由2πr＝π×，得r＝.‎ 即圆锥底面圆的半径是米．‎ ‎03　　综合题 ‎20．如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的邻边(即腰AB或AC)与对边(即底边BC)的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)＝＝，当∠A＝60°时，如T(60°)＝1.‎ ‎(1)理解巩固：T(90°)＝，T(120°)＝，T(A)的取值范围是0＜T(A)＜2；‎ ‎(2)学以致用：如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ＝14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．(精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66)‎ 解：∵圆锥的底面直径PQ＝14，‎ ‎∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π.‎ 设扇形的圆心角为n°，则＝14π，‎ 11‎ 解得n＝140.‎ ‎∵T(70°)≈0.87，‎ ‎∴蚂蚁爬行的最短路径长为0.87×18≈15.7.‎ 11‎