2017年浙江省杭州市中考数学试卷

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文档介绍

2017年浙江省杭州市中考数学试卷

‎2017年浙江省杭州市中考数学试卷 ‎ ‎ 一.选择题 ‎1.(3分)﹣22=(  )‎ A.﹣2 B.﹣4 C.2 D.4‎ ‎2.(3分)太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米,数据150 000 000用科学记数法表示为(  )‎ A.1.5×108 B.1.5×109 C.0.15×109 D.15×107‎ ‎3.(3分)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,若BD=2AD,则(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(3分)|1+|+|1﹣|=(  )‎ A.1 B. C.2 D.2‎ ‎5.(3分)设x,y,c是实数,(  )‎ A.若x=y,则x+c=y﹣c B.若x=y,则xc=yc C.若x=y,则 D.若,则2x=3y ‎6.(3分)若x+5>0,则(  )‎ A.x+1<0 B.x﹣1<0 C.<﹣1 D.﹣2x<12‎ ‎7.(3分)某景点的参观人数逐年增加,据统计,2014年为10.8万人次,2016年为16.8万人次.设参观人次的平均年增长率为x,则(  )‎ A.10.8(1+x)=16.8 B.16.8(1﹣x)=10.8‎ C.10.8(1+x)2=16.8 D.10.8[(1+x)+(1+x)2]=16.8‎ ‎8.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=1.把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周,所得几何体的底面圆的周长分别记作l1,l2,侧面积分别记作S1,S2,则(  )‎ A.l1:l2=1:2,S1:S2=1:2 B.l1:l2=1:4,S1:S2=1:2‎ C.l1:l2=1:2,S1:S2=1:4 D.l1:l2=1:4,S1:S2=1:4‎ ‎9.(3分)设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a<0)的图象的对称轴,(  )‎ A.若m>1,则(m﹣1)a+b>0 B.若m>1,则(m﹣1)a+b<0‎ C.若m<1,则(m+1)a+b>0 D.若m<1,则(m+1)a+b<0‎ ‎10.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x,tan∠ACB=y,则(  )‎ A.x﹣y2=3 B.2x﹣y2=9 C.3x﹣y2=15 D.4x﹣y2=21‎ ‎ ‎ 二.填空题[来源:学|科|网]‎ ‎11.(4分)数据2,2,3,4,5的中位数是   .‎ ‎12.(4分)如图,AT切⊙O于点A,AB是⊙O的直径.若∠ABT=40°,则∠ATB=   .‎ ‎13.(4分)一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球(只有颜色不同),其中2个是红球,1个是白球,从中任意摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀,再任意摸出一个球,则两次摸出都是红球的概率是   .‎ ‎14.(4分)若•|m|=,则m=   .‎ ‎15.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DE⊥BC于点E,连结AE,则△ABE的面积等于   .‎ ‎16.(4分)某水果点销售50千克香蕉,第一天售价为9元/千克,第二天降价6元/千克,第三天再降为3元/千克.三天全部售完,共计所得270元.若该店第二天销售香蕉t千克,则第三天销售香蕉   千克.(用含t的代数式表示.)‎ ‎ ‎ 三.解答题 ‎17.(6分)为了了解某校九年级学生的跳高水平,随机抽取该年级50名学生进行跳高测试,并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值).‎ ‎ 某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表 组别(m)‎ 频数 ‎1.09~1.19‎ ‎8‎ ‎1.19~1.29‎ ‎12‎ ‎1.29~1.39‎ A ‎1.39~1.49‎ ‎10‎ ‎(1)求a的值,并把频数直方图补充完整;‎ ‎(2)该年级共有500名学生,估计该年级学生跳高成绩在1.29m(含1.29m)以上的人数.‎ ‎18.(8分)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k,b都是常数,且k≠0)的图象经过点(1,0)和(0,2).‎ ‎(1)当﹣2<x≤3时,求y的取值范围;‎ ‎(2)已知点P(m,n)在该函数的图象上,且m﹣n=4,求点P的坐标.‎ ‎19.(8分)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.‎ ‎(1)求证:△ADE∽△ABC;‎ ‎(2)若AD=3,AB=5,求的值.‎ ‎20.(10分)在面积都相等的所有矩形中,当其中一个矩形的一边长为1时,它的另一边长为3.‎ ‎(1)设矩形的相邻两边长分别为x,y.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎①求y关于x的函数表达式;‎ ‎②当y≥3时,求x的取值范围;‎ ‎(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6,方方说有一个矩形的周长为10,你认为圆圆和方方的说法对吗?为什么?‎ ‎21.(10分)如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连结AG.‎ ‎(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;‎ ‎(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.‎ ‎22.(12分)在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a)(x﹣a﹣1),其中a≠0.‎ ‎(1)若函数y1的图象经过点(1,﹣2),求函数y1的表达式;‎ ‎(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点,探究实数a,b满足的关系式;‎ ‎(3)已知点P(x0,m)和Q(1,n)在函数y1的图象上,若m<n,求x0的取值范围.‎ ‎23.(12分)如图,已知△ABC内接于⊙O,点C在劣弧AB上(不与点A,B重合),点D为弦BC的中点,DE⊥BC,DE与AC的延长线交于点E,射线AO与射线EB交于点F,与⊙O交于点G,设∠GAB=ɑ,∠ACB=β,∠EAG+∠EBA=γ,‎ ‎(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据:‎ ɑ ‎30°‎ ‎40°‎ ‎50°‎ ‎60°‎ β ‎120°‎ ‎130°‎ ‎140°‎ ‎150°‎ γ ‎150°‎ ‎140°‎ ‎130°‎ ‎120°‎ 猜想:β关于ɑ的函数表达式,γ关于ɑ的函数表达式,并给出证明:‎ ‎(2)若γ=135°,CD=3,△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,求⊙O半径的长.‎ ‎ ‎ ‎2017年浙江省杭州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题 ‎1.(3分)(2017•杭州)﹣22=(  )‎ A.﹣2 B.﹣4 C.2 D.4‎ ‎【分析】根据幂的乘方的运算法则求解.‎ ‎【解答】解:﹣22=﹣4,‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查了幂的乘方,解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2017•杭州)太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米,数据150 000 000用科学记数法表示为(  )‎ A.1.5×108 B.1.5×109 C.0.15×109 D.15×107‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥1时,n是非负数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:将150 000 000用科学记数法表示为:1.5×108.‎ 故选A.‎ ‎【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2017•杭州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,若BD=2AD,则(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC,进而利用已知得出对应边的比值.‎ ‎【解答】解:∵DE∥BC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∵BD=2AD,‎ ‎∴===,‎ 则=,‎ ‎∴A,C,D选项错误,B选项正确,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质,正确得出对应边的比是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2017•杭州)|1+|+|1﹣|=(  )‎ A.1 B. C.2 D.2‎ ‎【分析】根据绝对值的性质,可得答案.‎ ‎【解答】解:原式1++﹣1=2,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了实数的性质,利用差的绝对值是大数减小数是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2017•杭州)设x,y,c是实数,(  )‎ A.若x=y,则x+c=y﹣c B.若x=y,则xc=yc C.若x=y,则 D.若,则2x=3y ‎【分析】根据等式的性质,可得答案.‎ ‎【解答】解:A、两边加不同的数,故A不符合题意;‎ B、两边都乘以c,故B符合题意;‎ C、c=0时,两边都除以c无意义,故C不符合题意;‎ D、两边乘以不同的数,故D不符合题意;‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了等式的性质,熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2017•杭州)若x+5>0,则(  )‎ A.x+1<0 B.x﹣1<0 C.<﹣1 D.﹣2x<12‎ ‎【分析】求出已知不等式的解集,再求出每个选项中不等式的解集,即得出选项.‎ ‎【解答】解:∵x+5>0,‎ ‎∴x>﹣5,‎ A、根据x+1<0得出x<﹣1,故本选项不符合题意;‎ B、根据x﹣1<0得出x<1,故本选项不符合题意;‎ C、根据<﹣1得出x<﹣5,故本选项不符合题意;‎ D、根据﹣2x<12得出x>﹣6,故本选项符合题意;‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了不等式的性质,能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2017•杭州)某景点的参观人数逐年增加,据统计,2014年为10.8万人次,2016年为16.8万人次.设参观人次的平均年增长率为x,则(  )‎ A.10.8(1+x)=16.8 B.16.8(1﹣x)=10.8‎ C.10.8(1+x)2=16.8 D.10.8[(1+x)+(1+x)2]=16.8‎ ‎【分析】设参观人次的平均年增长率为x,根据题意可得等量关系:10.8万人次×‎ ‎(1+增长率)2=16.8万人次,根据等量关系列出方程即可.‎ ‎【解答】解:设参观人次的平均年增长率为x,由题意得:‎ ‎10.8(1+x)2=16.8,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2017•杭州)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=1.把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周,所得几何体的底面圆的周长分别记作l1,l2,侧面积分别记作S1,S2,则(  )‎ A.l1:l2=1:2,S1:S2=1:2 B.l1:l2=1:4,S1:S2=1:2‎ C.l1:l2=1:2,S1:S2=1:4 D.l1:l2=1:4,S1:S2=1:4‎ ‎【分析】根据圆的周长分别计算l1,l2,再由扇形的面积公式计算S1,S2,求比值即可.‎ ‎【解答】解:∵l1=2π×BC=2π,‎ l2=2π×AB=4π,‎ ‎∴l1:l2=1:2,‎ ‎∵S1=×2π×=π,‎ S2=×4π×=2π,‎ ‎∴S1:S2=1:2,‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查了圆锥的计算,主要利用了圆的周长为2πr,侧面积=‎ lr求解是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2017•杭州)设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a<0)的图象的对称轴,(  )‎ A.若m>1,则(m﹣1)a+b>0 B.若m>1,则(m﹣1)a+b<0‎ C.若m<1,则(m+1)a+b>0 D.若m<1,则(m+1)a+b<0‎ ‎【分析】根据对称轴,可得b=﹣2a,根据有理数的乘法,可得答案.‎ ‎【解答】解:由对称轴,得 b=﹣2a.‎ ‎(m+1)a+b=ma+a﹣2a=(m﹣1)a,‎ 当m>1时,(m﹣1)a<0,(m﹣1)a+b与0无法判断.‎ 当m<1时,(m﹣1)a>0,(m﹣1)a+b(m﹣1)a﹣2a=(m﹣1)a>0.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系,利用对称轴得出b=﹣2a是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2017•杭州)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x,tan∠ACB=y,则(  )‎ A.x﹣y2=3 B.2x﹣y2=9 C.3x﹣y2=15 D.4x﹣y2=21‎ ‎【分析】过A作AQ⊥BC于Q,过E作EM⊥‎ BC于M,连接DE,根据线段垂直平分线求出DE=BD=x,根据等腰三角形求出BD=DC=6,求出CM=DM=3,解直角三角形求出EM=3y,AQ=6y,在Rt△DEM中,根据勾股定理求出即可.‎ ‎【解答】解:‎ 过A作AQ⊥BC于Q,过E作EM⊥BC于M,连接DE,‎ ‎∵BE的垂直平分线交BC于D,BD=x,‎ ‎∴BD=DE=x,‎ ‎∵AB=AC,BC=12,tan∠ACB=y,‎ ‎∴==y,BQ=CQ=6,‎ ‎∴AQ=6y,‎ ‎∵AQ⊥BC,EM⊥BC,‎ ‎∴AQ∥EM,‎ ‎∵E为AC中点,‎ ‎∴CM=QM=CQ=3,‎ ‎∴EM=3y,‎ ‎∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x,‎ 在Rt△EDM中,由勾股定理得:x2=(3y)2+(9﹣x)2,‎ 即2x﹣y2=9,‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查了线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质,勾股定理,解直角三角形等知识点,能正确作出辅助线是解此题的关键.‎ ‎ ‎ 二.填空题 ‎11.(4分)(2017•杭州)数据2,2,3,4,5的中位数是 3 .‎ ‎【分析】‎ 根据中位数的定义即中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数,即可求出答案.‎ ‎【解答】解:从小到大排列为:2,2,3,4,5,‎ 位于最中间的数是3,‎ 则这组数的中位数是3.‎ 故答案为:3.‎ ‎【点评】本题考查了中位数,注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数.‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)(2017•杭州)如图,AT切⊙O于点A,AB是⊙O的直径.若∠ABT=40°,则∠ATB= 50° .‎ ‎【分析】根据切线的性质即可求出答案.‎ ‎【解答】解:∵AT切⊙O于点A,AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠BAT=90°,‎ ‎∵∠ABT=40°,‎ ‎∴∠ATB=50°,‎ 故答案为:50°‎ ‎【点评】本题考查切线的性质,解题的关键是根据切线的性质求出∠ATB=90°,本题属于基础题型.‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)(2017•杭州)一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球(只有颜色不同),其中2个是红球,1个是白球,从中任意摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀,再任意摸出一个球,则两次摸出都是红球的概率是  .‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出相应的树状图,找出所有可能的情况个数,进而找出两次都是红球的情况个数,即可求出所求的概率大小.‎ ‎【解答】解:根据题意画出相应的树状图,‎ 所以一共有9种情况,两次摸到红球的有4种情况,‎ ‎∴两次摸出都是红球的概率是,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】此题考查了列表法与树状图,根据题意画出相应的树状图是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2017•杭州)若•|m|=,则m= 3或﹣1 .‎ ‎【分析】利用绝对值和分式的性质可得m﹣1≠0,m﹣3=0或|m|=1,可得m.‎ ‎【解答】解:由题意得,‎ m﹣1≠0,‎ 则m≠1,‎ ‎(m﹣3)•|m|=m﹣3,‎ ‎∴(m﹣3)•(|m|﹣1)=0,‎ ‎∴m=3或m=±1,‎ ‎∵m≠1,‎ ‎∴m=3或m=﹣1,‎ 故答案为:3或﹣1.‎ ‎【点评】本题主要考查了绝对值和分式的性质,熟记分式分母不为0是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)(2017•杭州)如图,在Rt△ABC中,∠‎ BAC=90°,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DE⊥BC于点E,连结AE,则△ABE的面积等于 78 .‎ ‎【分析】由勾股定理求出BC==25,求出△ABC的面积=150,证明△CDE∽△CBA,得出,求出CE=12,得出BE=BC﹣CE=13,再由三角形的面积关系即可得出答案.‎ ‎【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,‎ ‎∴BC==25,△ABC的面积=AB•AC=×15×20=150,‎ ‎∵AD=5,‎ ‎∴CD=AC﹣AD=15,‎ ‎∵DE⊥BC,‎ ‎∴∠DEC=∠BAC=90°,‎ 又∵∠C=∠C,‎ ‎∴△CDE∽△CBA,‎ ‎∴,即,‎ 解得:CE=12,‎ ‎∴BE=BC﹣CE=13,‎ ‎∵△ABE的面积:△ABC的面积=BE:BC=13:25,‎ ‎∴△ABE的面积=×150=78;‎ 故答案为:78.‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积;熟练掌握勾股定理,证明三角形相似是解决问题的关键 ‎ ‎ ‎16.(4分)(2017•杭州)某水果点销售50千克香蕉,第一天售价为9元/千克,第二天降价6元/千克,第三天再降为3元/千克.三天全部售完,共计所得270元.若该店第二天销售香蕉t千克,则第三天销售香蕉 30﹣ 千克.(用含t的代数式表示.)‎ ‎【分析】设第三天销售香蕉x千克,则第一天销售香蕉(50﹣t﹣x)千克,根据三天的销售额为270元列出方程,求出x即可.‎ ‎【解答】解:设第三天销售香蕉x千克,则第一天销售香蕉(50﹣t﹣x)千克,‎ 根据题意,得:9(50﹣t﹣x)+6t+3x=270,‎ 则x==30﹣,‎ 故答案为:30﹣.‎ ‎【点评】本题主要考查列代数式的能力,解题的关键是理解题意,抓住相等关系列出方程,从而表示出第三天销售香蕉的千克数.‎ ‎ ‎ 三.解答题 ‎17.(6分)(2017•杭州)为了了解某校九年级学生的跳高水平,随机抽取该年级50名学生进行跳高测试,并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值).‎ ‎ 某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表 组别(m)‎ 频数 ‎1.09~1.19‎ ‎8‎ ‎1.19~1.29‎ ‎12‎ ‎1.29~1.39‎ A ‎1.39~1.49‎ ‎10‎ ‎(1)求a的值,并把频数直方图补充完整;‎ ‎(2)该年级共有500名学生,估计该年级学生跳高成绩在1.29m(含1.29m)以上的人数.‎ ‎【分析】(1)利用总人数50减去其它组的人数即可求得a的值;‎ ‎(2)利用总人数乘以对应的比例即可求解.‎ ‎【解答】解:(1)a=50﹣8﹣12﹣10=20,‎ ‎;‎ ‎(2)该年级学生跳高成绩在1.29m(含1.29m)以上的人数是:500×=300(人).‎ ‎【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.也考查了样本估计总体.‎ ‎ ‎ ‎18.(8分)(2017•杭州)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k,b都是常数,且k≠0)的图象经过点(1,0)和(0,2).‎ ‎(1)当﹣2<x≤3时,求y的取值范围;‎ ‎(2)已知点P(m,n)在该函数的图象上,且m﹣n=4,求点P的坐标.‎ ‎【分析】利用待定系数法求一次函数解析式得出即可;‎ ‎(1)利用一次函数增减性得出即可.‎ ‎(2)根据题意得出n=﹣2m+2,联立方程,解方程即可求得.‎ ‎【解答】解:设解析式为:y=kx+b,‎ 将(1,0),(0,2)代入得:,‎ 解得:,‎ ‎∴这个函数的解析式为:y=﹣2x+2;‎ ‎(1)把x=﹣2代入y=﹣2x+2得,y=6,‎ 把x=3代入y=﹣2x+2得,y=﹣4,‎ ‎∴y的取值范围是﹣4≤y<6.‎ ‎(2)∵点P(m,n)在该函数的图象上,‎ ‎∴n=﹣2m+2,‎ ‎∵m﹣n=4,‎ ‎∴m﹣(﹣2m+2)=4,‎ 解得m=2,n=﹣2,‎ ‎∴点P的坐标为(2,﹣2).‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式,一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质,求得解析式上解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎19.(8分)(2017•杭州)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.‎ ‎(1)求证:△ADE∽△ABC;‎ ‎(2)若AD=3,AB=5,求的值.‎ ‎【分析】(1)由于AG⊥BC,AF⊥DE,所以∠AFE=∠AGC=90°,从而可证明∠AED=∠ACB,进而可证明△ADE∽△ABC;‎ ‎(2)△ADE∽△ABC,,又易证△EAF∽△CAG,所以,从而可知.‎ ‎【解答】解:(1)∵AG⊥BC,AF⊥DE,‎ ‎∴∠AFE=∠AGC=90°,‎ ‎∵∠EAF=∠GAC,‎ ‎∴∠AED=∠ACB,‎ ‎∵∠EAD=∠BAC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎(2)由(1)可知:△ADE∽△ABC,‎ ‎∴=‎ 由(1)可知:∠AFE=∠AGC=90°,‎ ‎∴∠EAF=∠GAC,‎ ‎∴△EAF∽△CAG,‎ ‎∴,‎ ‎∴=‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定,解题的关键是熟练运用相似三角形的判定,本题属于中等题型.‎ ‎ ‎ ‎20.(10分)(2017•杭州)在面积都相等的所有矩形中,当其中一个矩形的一边长为1时,它的另一边长为3.‎ ‎(1)设矩形的相邻两边长分别为x,y.‎ ‎①求y关于x的函数表达式;‎ ‎②当y≥3时,求x的取值范围;‎ ‎(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6,方方说有一个矩形的周长为10,你认为圆圆和方方的说法对吗?为什么?‎ ‎【分析】(1)①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系;②直接利用y≥3得出x的取值范围;‎ ‎(2)直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案.‎ ‎【解答】解:(1)①由题意可得:xy=3,‎ 则y=;‎ ‎②当y≥3时,≥3‎ 解得:x≤1,‎ 故x的取值范围是:0<x≤1;‎ ‎(2)∵一个矩形的周长为6,‎ ‎∴x+y=3,‎ ‎∴x+=3,‎ 整理得:x2﹣3x+3=0,‎ ‎∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3<0,‎ ‎∴矩形的周长不可能是6;‎ 所以圆圆的说法不对.‎ ‎∵一个矩形的周长为10,‎ ‎∴x+y=5,‎ ‎∴x+=5,‎ 整理得:x2﹣5x+3=0,‎ ‎∵b2﹣4ac=25﹣12=13>0,‎ ‎∴矩形的周长可能是10,‎ 所以方方的说法对.‎ ‎【点评】此题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法,正确得出y与x之间的关系是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎21.(10分)(2017•杭州)如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连结AG.‎ ‎(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;‎ ‎(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.‎ ‎【分析】(1)结论:AG2=GE2+GF2.只要证明GA=GC,四边形EGFC是矩形,推出GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可证明;‎ ‎(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.易证AM=BM=2x,MN=x,在Rt△ABN中,根据AB2=AN2+BN2,可得1=x2+(2x+x)2,‎ 解得x=,推出BN=,再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题;‎ ‎【解答】解:(1)结论:AG2=GE2+GF2.‎ 理由:连接CG.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴A、C关于对角线BD对称,‎ ‎∵点G在BD上,‎ ‎∴GA=GC,‎ ‎∵GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,‎ ‎∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,‎ ‎∴四边形EGFC是矩形,‎ ‎∴CF=GE,‎ 在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,‎ ‎∴AG2=GF2+GE2.‎ ‎(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.‎ ‎∵∠AGF=105°,∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°,‎ ‎∴∠AGB=60°,∠GBN=30°,∠ABM=∠MAB=15°,‎ ‎∴∠AMN=30°,‎ ‎∴AM=BM=2x,MN=x,‎ 在Rt△ABN中,∵AB2=AN2+BN2,‎ ‎∴1=x2+(2x+x)2,‎ 解得x=,‎ ‎∴BN=,‎ ‎∴BG=BN÷cos30°=+.‎ 方法二:过点A作AH⊥BG,可以构造两个特殊直角三角形,即可解决问题.‎ ‎【点评】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)(2017•杭州)在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a)(x﹣a﹣1),其中a≠0.‎ ‎(1)若函数y1的图象经过点(1,﹣2),求函数y1的表达式;‎ ‎(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点,探究实数a,b满足的关系式;‎ ‎(3)已知点P(x0,m)和Q(1,n)在函数y1的图象上,若m<n,求x0的取值范围.‎ ‎【分析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式;‎ ‎(2)根据函数图象上的点满足函数解析式,可得答案;‎ ‎(3)根据二次函数的性质,可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)函数y1的图象经过点(1,﹣2),得 ‎(a+1)(﹣a)=﹣2,‎ 解得a1=﹣2,a2=1,‎ 函数y1的表达式y=(x﹣2)(x+2﹣1),化简,得y=x2﹣x﹣2;‎ 函数y1的表达式y=(x+1)(x﹣2)化简,得y=x2﹣x﹣2,‎ 综上所述:函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2;‎ ‎(2)当y=0时(x+a)(x﹣a﹣1)=0,解得x1=﹣a,x2=a+1,‎ y1的图象与x轴的交点是(﹣a,0),(a+1,0),‎ 当y2=ax+b经过(﹣a,0)时,﹣a2+b=0,即b=a2;‎ 当y2=ax+b经过(a+1,0)时,a2+a+b=0,即b=﹣a2﹣a;‎ ‎(3)当P在对称轴的左侧(含顶点)时,y随x的增大而增大,‎ ‎(1,n)与(0,n)关于对称轴对称,‎ 由m<n,得0<x0≤;‎ 当时P在对称轴的右侧时,y随x的增大而减小,‎ 由m<n,得<x0<1,‎ 综上所述:m<n,求x0的取值范围0<x0<1.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,解(1)的关键是利用待定系数法;解(2)的关键是把点的坐标代入函数解析式;解(3)的关键是利用二次函数的性质,要分类讨论,以防遗漏.‎ ‎ ‎ ‎23.(12分)(2017•杭州)如图,已知△ABC内接于⊙O,点C在劣弧AB上(不与点A,B重合),点D为弦BC的中点,DE⊥BC,DE与AC的延长线交于点E,射线AO与射线EB交于点F,与⊙O交于点G,设∠GAB=ɑ,∠ACB=β,∠EAG+∠EBA=γ,‎ ‎(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据:‎ ɑ ‎30°‎ ‎40°‎ ‎50°‎ ‎60°‎ β ‎120°‎ ‎130°‎ ‎140°‎ ‎150°‎ γ ‎150°‎ ‎140°‎ ‎130°‎ ‎120°‎ 猜想:β关于ɑ的函数表达式,γ关于ɑ的函数表达式,并给出证明:‎ ‎(2)若γ=135°,CD=3,△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,求⊙O半径的长.‎ ‎【分析】(1)由圆周角定理即可得出β=α+90°,然后根据D是BC的中点,DE⊥BC,可知∠EDC=90°,由三角形外角的性质即可得出∠CED=α,从而可知O、A、E、B四点共圆,由圆内接四边形的性质可知:∠EBO+∠EAG=180°,即γ=﹣α+180°;‎ ‎(2)由(1)及γ=135°可知∠BOA=90°,∠BCE=45°,∠BEC=90°,由于△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,所以,根据勾股定理即可求出AE、AC的长度,从而可求出AB的长度,再由勾股定理即可求出⊙O的半径r;‎ ‎【解答】解:(1)猜想:β=α+90°,γ=﹣α+180°‎ 连接OB,‎ ‎∴由圆周角定理可知:2∠BCA=360°﹣∠BOA,‎ ‎∵OB=OA,‎ ‎∴∠OBA=∠OAB=α,‎ ‎∴∠BOA=180°﹣2α,‎ ‎∴2β=360°﹣(180°﹣2α),‎ ‎∴β=α+90°,‎ ‎∵D是BC的中点,DE⊥BC,‎ ‎∴OE是线段BC的垂直平分线,‎ ‎∴BE=CE,∠BED=∠CED,∠EDC=90°‎ ‎∵∠BCA=∠EDC+∠CED,‎ ‎∴β=90°+∠CED,‎ ‎∴∠CED=α,‎ ‎∴∠CED=∠OBA=α,‎ ‎∴O、A、E、B四点共圆,‎ ‎∴∠EBO+∠EAG=180°,‎ ‎∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°,‎ ‎∴γ+α=180°;‎ ‎(2)当γ=135°时,此时图形如图所示,‎ ‎∴α=45°,β=135°,‎ ‎∴∠BOA=90°,∠BCE=45°,‎ 由(1)可知:O、A、E、B四点共圆,‎ ‎∴∠BEC=90°,‎ ‎∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 设CE=3x,AC=x,‎ 由(1)可知:BC=2CD=6,‎ ‎∵∠BCE=45°,‎ ‎∴CE=BE=3x,‎ ‎∴由勾股定理可知:(3x)2+(3x)2=62,‎ x=,‎ ‎∴BE=CE=3,AC=,‎ ‎∴AE=AC+CE=4,‎ 在Rt△ABE中,‎ 由勾股定理可知:AB2=(3)2+(4)2,‎ ‎∴AB=5,‎ ‎∵∠BAO=45°,‎ ‎∴∠AOB=90°,‎ 在Rt△AOB中,设半径为r,‎ 由勾股定理可知:AB2=2r2,‎ ‎∴r=5,‎ ‎∴⊙O半径的长为5.‎ ‎【点评】本题考查圆的综合问题,涉及圆周角定理,勾股定理,解方程,垂直平分线的性质等知识,综合程度较高,需要学生灵活运用所学知识.‎ ‎ ‎
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