数学文卷·2018届广东省华南师范大学附属中学高三综合测试（三）（2018

数学文卷·2018届广东省华南师范大学附属中学高三综合测试（三）（2018

华南师大附中2018届高三综合测试（三）‎ 数学（文）‎ 第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若集合，且，则集合可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.等差数列满足，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知向量，，且，则实数（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.实数，满足，且，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在正方体中，是线段上的动点，是线段上的动点，且，不重合，则直线与直线的位置关系是（ ）‎ A．相交且垂直 B．共面 C．平行 D．异面且垂直 ‎7.有6名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1—6号，得第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4号，5号，6号都不可能；乙猜：3号不可能；丙猜：不是1号就是2号；丁猜：是4号，5号，6号中的某一个.以上只有一个人猜对，则他应该是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎8.过点，且倾斜角为的直角与圆：相切于点 ‎，且，则的面积是（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎9.已知流程图如图所示，该程序运行后，若输出的值为16，则循环体的判断框内①处应填（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.函数，，设的最大值是，最小正周期为，则的值等于（ ）‎ A． B． C. D. ‎ ‎11.等比数列的前项和（为常数），若恒成立，则实数的最大值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数，对于任意，且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分， ‎ ‎13.已知为虚数单位，复数满足，则 ．‎ ‎14.已知如图所示的矩形，长为，宽为，在矩形内随机地投掷颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为颗，则可以估计阴影部分的面积约为 ．‎ ‎15.某组合体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为1，则该多面体的体积是 ．‎ ‎16.将正整数分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且、）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如，则数列的前100项和为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.在中，角、、所对边分别为、、，满足.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎18.《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在到 之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.‎ ‎（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第1组或第4组的概率；‎ ‎（2）已知第5，6两组市民中有3名女性，组织方要从第5，6两组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率.‎ ‎19. 如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在平面和圆所在的平面互相垂直，已知，.‎ ‎（1）求证：平面平面.‎ ‎（2）设几何体、的体积分别为、，求的值.‎ ‎20.已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为.‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数在区间上的单调性；‎ ‎（2）已知函数，若，且函数在区间内有零点，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线在平面直角坐标系下的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的普通方程及极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线：与曲线交于点与直线交于点，求线段的长.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求函数的图象与直线围成的封闭图形的面积.‎ 月考3文数答案 一、选择题 ‎1-5: AABDC 6-10: DABBB 11、12：CC ‎12.【解析】依题意，，且，，‎ ‎，‎ 大致如图，‎ 有4个不相等的实数根，‎ ‎.‎ 二、填空题 ‎13. 2 14. 36 15. 16. ‎ ‎16.【解析】，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎……‎ ‎，，‎ 求和得. ‎ 三、解答题 ‎17.【解析】（1）中，由条件及正弦定理得，‎ ‎∴.‎ ‎∵，，‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）∵，，‎ 由余弦定理得 ‎，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎18.【解析】（1）被采访人恰好在第1组或第4组的频率为，‎ ‎∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.28，‎ ‎（2）第5，6两组的人数为，‎ ‎∴第5，6两组中共有6名市民，其中女性市民共3名，‎ 记第5，6两组中的3名男性市民分别为，，，3名女性市民分别为，，，‎ 从第5，6两组中随机抽取2名市民组成宣传队，共有15个基本事件，‎ 列举如下：，，，，，，，，，，，，，，，‎ 至少有1名女性，，，，，，，，，，，，共12个基本事件，‎ ‎∴从第5，6两组中随机抽取2名市民组成宣传务队，至少有1名女性的概率为.‎ ‎19.【解析】（1）如图.矩形中，，‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴.‎ 又∵为圆的直径，‎ ‎∴，‎ ‎∵，、平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面.‎ 另解：也可证明平面.‎ ‎ ‎ ‎（2）几何体是四棱锥、是三棱锥，过点作，交于.‎ ‎∵平面平面，∴平面.‎ 则，，‎ ‎∴.‎ ‎20.【解析】（1）由题意设抛物线方程为，‎ 其准线方程为.‎ ‎∵到焦点的距离等于到其准线的距离，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，‎ 设直线的方程为，‎ 联立，得，‎ 则①.‎ 设，，则，.‎ ‎∵‎ ‎.‎ 即 ‎.‎ ‎∴，即或，‎ 代入①式检验均满足，‎ ‎∴直线的方程为：或.‎ ‎∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.‎ ‎21.【解析】（1）由题得，所以.‎ 当时，，所以在上单调递增；‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，令，得，‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ 综上所述，当时，在上单调递增；‎ 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 当时，所以在上单调递减.‎ ‎（2），，‎ 设为在区间内的一个零点，则由，可知在区间上不单调，则在区间内存在零点，‎ 同理，在区间内存在零点，所以在区间内至少有两个零点.‎ 由（1）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点，不合题意.‎ 当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意，‎ ‎∴，‎ 此时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ 因此，，，必有，，‎ 由，得，.‎ 又，，解得.‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎22.【解析】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 消去参数得曲线的普通方程为，‎ 又，，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）由 ‎，‎ 故射线与曲线的交点的极坐标为；‎ 由，‎ 故射线与直线的交点的极坐标为，‎ ‎∴.‎ ‎23.【解析】（1）∵‎ 且，即时等号成立，‎ ‎∴，‎ ‎，恒成立，‎ ‎∴或，‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 当时，或.‎ 画出图象可得，围成的封闭图形为等腰梯形，上底长为9，‎ 下底长为5，高为4，所以面积为.‎