2017-2018学年福建省莆田第八中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年福建省莆田第八中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年福建省莆田第八中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合， ，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由集合，‎ ‎ 所以，故选B．‎ ‎2．已知命题 “存在，使得”，则下列说法正确的是（ ）‎ A． “任意，使得”‎ B． “不存在，使得”‎ C． “任意，使得”‎ D． “任意，使得”‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意结合全称命题与特称命题的否定方法给出命题的否定即可.‎ 详解：由特称命题的否定为全称命题可得， “任意，使得”.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．若幂函数的图象经过点，则在定义域内（ ）‎ A． 为增函数 B． 为减函数 C． 有最小值 D． 有最大值 ‎【答案】C ‎【解析】设幂函数f（x）=xα，由f（-2）=4，得（-2）α=4=（-2）2， 在α=2，即f（x）=x2，则在定义域内有最小值0， 故选C．‎ ‎4．函数的图象如图，则该函数可能是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定正确的选项.‎ 详解：由图象可知，函数是奇函数，排除A；‎ 时，的函数值是大于0的，故排除B；‎ C、D由函数的增长趋势判断，当时， ， ，‎ 由图观察可得，应选D.‎ 点睛：本题主要考查由函数图象确定解析式等知识，根据图象选择解析式，或根据解析式选择图象，一般通过奇偶性和特殊点进行排除法选出正确答案.本题中A、B比较同意排除，在C、D中，根据增长的趋势进行进一步选择.意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5．设， ， ，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意结合指数函数、对数函数、三角函数的性质整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：,,，‎ 故 本题选择A选项.‎ 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．‎ ‎6．已知为函数的极小值点，则＝（ ）‎ A． －9 B． －2 C． 4 D． 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴当或时，单调递增；‎ 当时，单调递减．‎ ‎∴当时，有极小值，即函数的极小值点为2．选D．‎ ‎7．已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先求得切线方程，然后结合切线方程确定截距即可.‎ 详解：‎ 图象在点处的切线为 即，所以在轴上的截距为1.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查导函数研究函数的切线方程，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8．如图，A,B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB． 点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束. 设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是( )‎ A． ① B． ④ C． ②或④ D． ①或③‎ ‎【答案】D ‎【解析】此题首先要想到分类：点P顺时针转或点P逆时针转.然后再根据BP的长度变化趋势可选择函数关系式.故选D.‎ ‎9．已知定义在上的函数，若方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：将原问题转化为两个方程各有一解的问题，然后求解a的取值范围即可.‎ 详解：定义在上的函数 若方程有两个不相等的实数根，‎ 等价于和各有一解，‎ 即且，即.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题考查函数与方程的应用.解决本题的技巧是灵活地将方程有两个不相等的实数根等价转化为两个函数的值域问题，避免了讨论或数形结合思想思想的应用，但要注意和各有一解.‎ ‎10．已知, ,若,则下列结论中,不可能成立的是(   )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意结合对数函数的性质和函数的单调性整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：‎ 若，则 ；‎ 若，则；‎ 若，则也满足题意；‎ 综上，不可能成立的是.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查函数的单调性，整体的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11．设函数f(x)为偶函数，且∀x∈R，f＝f，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)＝(　　)‎ A． |x＋4| B． |2－x| C． 2＋|x＋1| D． 3－|x＋1|‎ ‎【答案】D ‎【解析】 满足 ‎ 满足 ‎ 即 若时，则 若 ∵函数 为偶函数，即 若 则 则 即 ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化是解决本题的关键．‎ ‎12．已知函数是定义在上的增函数， ， ，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：结合不等式的特征构造新函数，结合函数的单调性和函数值的特征整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：令，则原不等式等价于求解不等式，‎ ‎，‎ 由于，故，函数在定义域上单调递减，且，据此可得，不等式即： ，‎ 结合函数的单调性可得不等式的解集为 .‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要使函数函数有意义，根据根式与分母有意义可得， ，定义域是， 故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、指数函数的单调性，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎14．已知函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意结合函数的解析式和对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由函数，得.‎ 又，所以.‎ 所以.‎ 故答案为：4.‎ 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ ‎15．已知函数、分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数，则，，的大小关系是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意结合原函数的特征和导函数的特征比较，，的大小即可.‎ 详解：二次函数的导函数是一次函数，‎ 三次函数的导函数是二次函数，‎ ‎∵一次函数过点，，∴，，‎ ‎∵二次函数过点，，，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 记为常数，则，，，‎ ‎∴，故答案为．‎ 点睛：本题主要考查导函数研究函数的性质，函数值的大小的比较等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，若，则的取值范围为 __________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】分析：由题意结合奇函数的对称性和函数的单调性整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由于奇函数 在上单调递减，且，‎ 所以函数在上是减函数，‎ 所以不等式的解为 所以 所以故填或.‎ 点睛：本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 三、解答题 ‎17．在直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线： ，曲线： （）．‎ ‎（1）求与交点的极坐标；‎ ‎（2）设点在上， ，求动点的极坐标方程．‎ ‎【答案】（1）（2）， ．‎ ‎【解析】试题分析：（1）联立极坐标方程，柯姐的交点 极坐标；（2）设，且，根据，即可求出，从而写出点的极坐标.‎ 试题解析：‎ 解：（1）联立 ，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴所求交点的极坐标．‎ ‎（2）设，且，，‎ 由已知，得 ‎∴，点的极坐标方程为，．‎ ‎18．已知.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由题意零点分段可得不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）绘制函数的图象，数形结合可得.‎ 详解：（Ⅰ）当时，由，得；‎ 当时，由，得，所以；‎ 当时， ，得，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ 作出的图象如图所示，‎ 要使在上恒成立，只需图象上的点在直线上或其上方，‎ 当经过点时， ，‎ 当经过点时， ，所以最大为3，‎ 由图象可知.‎ 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，数形结合的数学思想及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19．已知函数． ‎ ‎（1）求函数的图象在点处的切线的方程；‎ ‎（2）求函数区间[-2,3]上的最值．‎ ‎【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】分析：（1）由题意可知切点为，切线斜率.则切线方程为. ‎ ‎（2）利用导函数研究函数的单调性可得函数的最大值为，最小值为.‎ 详解：（1）时， 切点，‎ ‎ .‎ 则直线：， 即为所求. ‎ ‎（2）令，则.‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 故函数区间上的最大值为，‎ 最小值为.‎ 点睛：本题主要考查导数研究函数的切线方程，导数研究函数的最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎20．已知命题： ，命题： .‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)2;(2) 实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法把集合化简后，由，借助于数轴列方程组可解的值；（2）把是的充分条件转化为集合和集合之间的包含关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解的取值范围.‎ 试题解析：（1）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，‎ 由A∩B=∅，A∪B=R，得 ，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；‎ ‎（2）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，‎ a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，‎ 所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．‎ ‎21．已知实数，且满足不等式.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若函数在区间上有最小值，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由题意结合指数函数的单调性可得，结合函数的单调性和函数的定义域可得不等式的解集为.‎ ‎（2），令，结合反比例函数的性质和对数函数的性质可得.‎ 详解：（1）由题意得: ，∴，‎ ‎∴，解得.‎ ‎（2），‎ 令，当时， ， ，‎ 所以，所以.∵，‎ ‎∴的对数函数在定义域内递减，‎ ‎∴，∴.‎ 点睛：本题主要考查指数函数的性质，对数函数的性质，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎22．已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求证： 时， ‎ ‎【答案】(1) 的单调递增区间为，单调递减区间为， (2)见解析 ‎【解析】分析：（1），利用导函数研究函数的单调性可得的单调递增区间为，单调递减区间为， .‎ ‎（2）构造函数，令，由（1）可知，令，则，二次求导可得 ，结合不等式的性质可得，即题中的结论成立.‎ 详解：（1） ，‎ ‎∴在区间内， ；‎ 在区间内， ；‎ 在区间内， ，‎ 故的单调递增区间为，单调递减区间为， .‎ ‎（2）令，‎ 由（1）可知在区间内单调递减，‎ 在区间内单调递增，‎ ‎ ‎ 令，‎ 则，‎ 设，则，‎ 故仅有一解为，‎ 在区间内， ，‎ 在区间内， ，‎ ‎∴ ‎ 由 式相乘，得，‎ 即 （当时，取等号）.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎