2019届二轮复习函数及其性质学案（全国通用）
解密03 函数及其性质
高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
函数的定义域与值域
从近三年高考情况来看，本节内容是高考中的热点内容，常以基本初等函数为载体，与其他知识相结合进行考查，其中函数的奇偶性、单调性和值域(最值)问题依然是命题的重点.
本节内容在高考中往往是以选择题、填空题的形式考查函数的基础知识和基本方法，与导数相结合以解答题的形式考查函数的性质.
2018课标全国Ⅰ13
2016课标全国Ⅱ10
★★
分段函数
2018课标全国Ⅰ12
2017课标全国Ⅲ16
★★★
函数的图象
2018课标全国Ⅱ3
2018课标全国Ⅲ9
2017课标全国Ⅰ8
2017课标全国Ⅲ7
★★★
函数的性质
2018课标全国Ⅲ7
2017课标全国Ⅰ9
2017课标全国Ⅱ14
2015课标全国Ⅱ12
★★★★
指数函数、对数函数、幂函数
2017课标全国Ⅱ8
2016课标全国Ⅲ7
★★★★
考点1 函数的定义域与值域
题组一 求函数的定义域
调研1 函数y=+的定义域为
A．[0，3 B．[1，3
C．[3，+∞ D．（1，3
【答案】D
【解析】要使原函数有意义，需满足，解得1
0时，，故排除C，D；
令，则，排除A，则选B．
☆技巧点拨☆
函数图象的识别与判断技巧
1．方法1：特殊点法
用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断．学 =
2．方法2：性质检验法
已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破．
3．方法3：导数法
判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．
4．方法4：图象变换法
有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题．
题组二 函数图象的应用
调研2 已知函数的图象如图所示,则函数的解析式可能是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】易知函数的图象关于轴对称,则函数为偶函数,故排除选项B,
又,故排除选项D,
又,故排除选项C.故选A．
考点4 函数的性质
题组一 函数的单调性
调研1 函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
【答案】C
调研2 已知函数=是上的减函数,那么的取值范围是
A．(0,3) B．
C．(0,2) D．
【答案】D
【解析】∵为上的减函数，∴时，单调递减，即，则；
时，单调递减，即,
且,即.
综上，的取值范围是,故选D.
题组二 函数的奇偶性和周期性
调研3 已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则logab＝
A．1 B．－1
C．－ D．
【答案】B
【解析】由题意得f(0)＝0，∴a＝2.
∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(＋1)＋b，∴b＝，
∴log2 ＝－1.故选B．
调研4 已知f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈(0,2 时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2015)＝
A．－2 B．
C．2 D．5
【答案】A
【解析】因为f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，所以＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，f(1)＝21＋log21=2，∴f(2015)＝f(-1)＝－f(1)＝－2，故选A．
题组三 函数性质的综合应用
调研5 已知奇函数在上单调递减,且,则不等式的解集为________.
【答案】
【解析】因为奇函数在上单调递减,且,所以函数在上单调递减,且,
由得或,解得或,即不等式的解集为.故填.
调研6 函数y＝f(x)在区间[0,2 上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是
A．f(1)0,所以.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
10．（四川省广安、眉山、内江、遂宁2019届高三第一次诊断性考试数学试题）已知函数则_____________.
【答案】0
【解析】已知函数,所以f(2)=2, f(1)=2,所以f(2)−f(1)=0，故答案为:0.
11．（【市级联考】山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题）已知函数，，则的值为_____________.
【答案】
【解析】设，
则
，
∴函数为奇函数．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
12．（【校级联考】广东省百校联考2019届高三高考模拟数学试题）已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，当时， （为常数），则____________．
【答案】
13．（【市级联考】山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数m，n的值；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1），（2）.
【解析】（1）∵是R上的奇函数，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
解得，
∴．
经验证可得函数为奇函数，
∴，．
（2）由（1）知，
∴在上为减函数．
∵,
∴，
又是奇函数，
∴，
又为减函数，
∴对任意的恒成立．
∴对任意的恒成立．
令，
则,
解得.
∴实数的取值范围为．
【名师点睛】（1）已知函数的奇偶性求参数的取值范围时，一般根据定义得到关于变量的恒等式，然后通过比较系数可得所求参数．也可根据题意利用取特殊值的方法求解，但求出参数的值后必须进行验证．
（2）解决一元二次不等式的恒成立问题时，可通过二次函数求最值解决，也可通过分离参数后再求最值，也可通过构造函数、利用二次方程根的分布求解．解题时注意要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
14．（上海市2018−2019学年杨浦区统考高三上学期数学期中考试）已知函数.
（1）当时，求该函数的定义域；
（2）当时，如果对任何都成立，求实数的取值范围；
（3）若，将函数的图象沿轴方向平移，得到一个偶函数的图象，设函数的最大值为，求的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）最小值为1.
【解析】（1）a=−1时，f（x）=log2（ax2+2x−a）=log2（−x2+2x+1），
解−x2+2x+1＞0得 ，
所以函数的定义域为.
（2） 当a≤0时，f（x）≥1即log2（ax2+2x−a）≥1，
即ax2+2x−a−2≥0对任何x∈[2，3 都成立，
则 ，
令，因为当x∈[2，3 时是单调递增函数，
所以.
所以，又因为.
所以a的取值范围为.
（3）当a＜0时，设将f（x）的图象沿x轴方向平移t个单位得到g（x）的图象，
则g（x）=[a（x+t）2+2（x+t）−a =[ax2+（2at+2）x+at2+2t−a ，
因为g（x）为偶函数，所以g（−x）=g（x），
则[ax2−（2at+2）x+at2+2t−a =[ax2+（2at+2）x+at2+2t−a ，
所以2at+2=0，所以，
所以，
因为a＜0，所以x=0时， .
因为此时，解得.
所以.
即的最小值为1.
1．（2018年高考新课标II卷文 ）函数的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】B
【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
2．（2018年高考新课标III卷文 ）函数的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数过定点，排除A，B，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除C，故选D.
【名师点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
3．（2018年高考新课标I卷文 ）设函数，则满足的x的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】将函数的图象画出来，
观察图象可知会有，解得，
所以满足的x的取值范围是，故选D．
【思路分析】首先根据题中所给的函数解析式，将函数图象画出来，从图中可以发现：若有成立，一定会有，从而求得结果.
【名师点睛】该题考查的是通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图象，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，最后求得结果.
4．（2018年高考新课标Ⅲ卷文 ）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数过定点（1，0），（1，0）关于直线x=1对称的点还是（1，0），只有的图象过此点.故选项B正确.
【名师点睛】本题主要考查函数的对称性和函数的图象，属于中档题.求解时，确定函数过定点（1，0）及其关于直线x=1对称的点，代入选项验证即可.
5．（2017年高考新课标Ⅰ卷文 ）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【解析】由题意知，，所以的图像关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称中心．
6．（2016年高考新课标Ⅱ卷文 ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是
A．y=x B．y=lgx
C．y=2x D．
【答案】D
【解析】，定义域与值域均为，只有D满足，故选D．
【名师点睛】对于基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解.
7．（2016年高考新课标III卷文 ）已知，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，，又函数在上是增函数，所以，即，故选A．
【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构，联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决．
8．（2018年高考新课标I卷文 ）已知函数，若，则________．
【答案】
【解析】根据题意有，可得，所以，故答案是.
【名师点睛】该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
9．（2017年高考新课标Ⅲ卷文 ）设函数，则满足的x的取值范围是_________.学 =
【答案】
【解析】令，
当时，；
当时，；
当时，，
写成分段函数的形式：，
函数在区间三段区间内均单调递增，
且，可知x的取值范围是.
【名师点睛】
（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
10．（2017年高考新课标全国Ⅱ卷文 ）已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则 .
【答案】12
【解析】.
【名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.
(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.
