专题9-1+直线的方程(讲)-2018年高考数学(文)一轮复习讲练测

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专题9-1+直线的方程(讲)-2018年高考数学(文)一轮复习讲练测

‎2018年高考数学讲练测【新课标版】【讲】第九章 解析几何 第一节 直线的方程 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 直线与方程 ‎(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素 .‎ ‎(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式 .‎ ‎(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 .‎ ‎(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系 .‎ ‎2013•新课标I.20;II.10,21;‎ ‎2014•新课标I.20; II.20;‎ ‎2015•新课标II.20; ‎ ‎2016•新课标II.21;III. 12,20;‎ ‎2017•新课标I.20.‎ ‎1.考查直线的斜率与倾斜角;‎ ‎2.考查直线方程的几种形式.‎ ‎3.与其它知识(如充要条件、导数的几何意义等)相结合,考查直线与方程的应用.‎ ‎3.备考重点:‎ ‎ (1) 理解直线的斜率与倾斜角的关系,掌握直线的斜率与倾斜角的求法;‎ ‎ (2)掌握直线方程的几种形式,特别是点斜式.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1.直线的倾斜角与斜率 ‎1.直线的倾斜角 ‎①定义.当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴的正方向与直线l ‎ 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.‎ ‎②范围:倾斜角的范围为.‎ ‎2.直线的斜率 ‎①定义.一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即,倾斜角是90°的直线没有斜率.当直线与x轴平行或重合时, , .‎ ‎②过两点的直线的斜率公式.经过两点的直线的斜率公式为.‎ ‎3.每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率.倾斜角为90°的直线斜率不存在.‎ ‎4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系:‎ ‎(1)当时,越大,斜率越大;‎ ‎(2)当时,越大,斜率越大.‎ 对点练习:‎ ‎【2017届重庆市一中高三上学期期中】已知直线方程为则直线的倾斜角为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎2.直线的方程 ‎1.直线的点斜式方程:直线经过点,且斜率为,则直线的方程为:‎ ‎.这个方程就叫做直线点斜式方程.‎ 特别地,直线过点,则直线的方程为:.这个方程叫做直线 的斜截式方程.‎ ‎2.直线的两点式方程 直线过两点其中,则直线的方程为:‎ ‎.这个方程叫做直线的两点式方程.‎ 当时,直线与轴垂直,所以直线方程为:;当时,直线与轴垂直,直线方程为:.‎ 特别地,若直线过两点,则直线的方程为:‎ ‎,这个方程叫做直线的截距式方程.‎ ‎3.直线的一般式方程 关于的二元一次方程(A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程.‎ 由一般式方程可得,B不为0时,斜率,截距.‎ 对点练习:‎ ‎【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】已知直线经过点P‎-2,5‎,且斜率为‎-‎‎3‎‎4‎,则直线的方程为( )‎ A. ‎3x+4y-14=0‎ B. ‎‎3x-4y+14=0‎ C. ‎4x+3y-14=0‎ D. ‎‎4x-3y+14=0‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线经过点P‎-2,5‎,且斜率为‎-‎‎3‎‎4‎,则y-5=-‎‎3‎‎4‎x+2‎ 即‎3x+4y-14=0‎ 故选A ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 高考对直线方程的考查要求较低,以小题的形式考查直线与方程,一般难度不大,但呈现综合性较强的趋势,与充要条件、基本不等式、导数等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握直线方程的基础知识.纵观近几年的高考试题,主要考查以下两个方面:一是考查直线的斜率与倾斜角,二是考查直线方程的几种形式.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 直线的倾斜角与斜率 ‎【1-1】经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为,则y=(  )‎ A.-1 B.-3 C.0 D.2‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由=,得,故选.‎ ‎【1-2】【2017届河北武邑中学高三周考】过点和 的直线的斜率为1,则实数的值为( )‎ A.1 B.2 ‎ C.1或4 D.1或2‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意有.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y=tan x的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制;‎ ‎2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y=tan x的单调性求k的范围. ‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,且.设直线的倾斜角为,当时,则,所以倾斜角的范围为.当时,则,所以倾斜角的范围为.‎ ‎【变式二】已知两点,直线过点且与线段相交,直线的斜率的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎【综合点评】‎ ‎1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标,则直接利用斜率公式求斜率;若条件中给出一条直线,则求出直线上的两点的坐标,然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角,则先求出直线的斜率,再利用求倾斜角.‎ ‎2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子,则利用函数或不等式的方法求其范围;若是给出图形求斜率与倾斜角的范围,则采用数开结合的方法求其范围.‎ 考点2 直线的方程 ‎【2-1】【2017届河北武邑中学高三周考】已知等边的两个顶点,且第三个顶点在第四象限,则边所在的直线方程是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示,直线额倾斜角为,故斜率为,由点斜式得直线方程为.‎ ‎【2-2】已知点A(-3,-1),B(1,5),直线过线段AB的中点,且在轴上的截距是它在轴上的截距的2倍.求直线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【领悟技法】‎ 求直线方程的常用方法有 ‎1.直接法:根据已知条件灵活选用直线方程的形式,写出方程.‎ ‎2.待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数,最后代入求出直线方程.‎ ‎3. 直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)‎ 坐标,所以截距是一个实数,可正、可负,也可为0,而不是距离.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】直线过点,若直线在两坐标轴上的截距相等,求直线的方程.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】若直线在两坐标轴上的截距都为,即直线过原点,则直线的斜率为,所以直线方程为:.‎ 若直线在两坐标轴上的截距都不为,则可设为.由截距式方程可得,直线的方程为:,即.因为直线过点,所以.‎ 所以直线方程为:,即所以直线方程为:.‎ ‎【变式二】将直线绕点按逆时针方向旋转,求所得直线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【综合点评】求直线的方程有以下两种常用的方法:直接法和待定系数法.直接法就是利用方程的形式直接写出直线的方程;待定系数法是用字母表示某些量,把方程设出来,然后再根据题设把这些量求出来,从而得到直线的方程的方法.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例:设直线l的方程为.‎ ‎(1)若在两坐标轴上截距相等,求的方程;‎ ‎(2)若不经过第二象限,求实数的取值范围.‎ 易错分析:易忽视截距均为的情况而失解.‎ 正确解析:(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,∴,方程即为.‎ 当直线不经过原点时,截距存在且均不为0,‎ ‎∴=,即方程即为.综上,的方程为.‎ ‎(2)将的方程化为 ‎∴或,‎ 综上可知的取值范围是.‎ 温馨提醒:涉及直线在两坐标轴上截距相等问题,要特别注意截距均为的情况;另外,某些涉及直线问题中,往往要讨论直线的斜率是否存在的情况,也应特别注意.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想 数形结合是一种重要的数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. ‎ 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.‎ 在解答三视图、直观图问题中,主要是通过图形的恰当转化,明确几何元素的数量关系,进行准确的计算.如:‎ ‎【典例】【2017届河北武邑中学高三周考】已知方程.‎ ‎(1)求该方程表示一条直线的条件;‎ ‎(2)当为何实数时,方程表示的直线斜率不存在?求出这时的直线方程;‎ ‎(3)已知方程表示的直线在轴上的截距为-3,求实数的值;‎ ‎(4)若方程表示的直线的倾斜角是45°,求实数的值.‎ ‎【答案】(1);(2),;(3);(4).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)当的系数不同时为零时,方程表示一条直线,分别令,,解得时同时为零,故;(2)斜率不存在,即,解得;(3)依题意,有,解得;(4)依题意有,解得.‎ 试题解析:‎ ‎(1)当的系数不同时为零时,方程表示一条直线,‎ 令,解得;‎ 令解得.‎ 所以方程表示一条直线的条件是且.‎ ‎(4)因为直线的倾斜角是45°,所以斜率为1,‎ 故由,解得或(舍去).‎ 所以直线的倾斜角为45°时,.‎ ‎ ‎
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