【数学】2018届一轮复习人教A版 对数与对数函数 教案
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
3．体会对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．
知识点一 对数与对数运算
1．对数的定义
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算
(1)对数的性质(a>0且a≠1)：
①loga1＝____；②logaa＝____；③alogaN＝____.
(2)对数的换底公式：
logab＝________(a，c均大于零且不等于1)．
(3)对数的运算法则：
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(M·N)＝____________，
②loga＝____________，
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
答案
1．x＝logaN
2．(1)①0 ②1 ③N (2)
(3)①logaM＋logaN ②logaM－logaN
1．(必修①P68第3(2)题改编)lg＋lg的值是________．
解析：lg＋lg＝lg＝lg10＝1.
答案：1
2．(必修①P75A组第11题改编)(log29)·(log34)＝( )
A. B.
C．2 D．4
解析：方法1：原式＝·＝＝4.
方法2：原式＝2log23·＝2×2＝4.
答案：D
知识点二 对数函数的图象与性质
1．对数函数的图象与性质
a>1
0
1时，y>0；
当01时，y<0；
当00
2.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝________(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
答案
1．(0，＋∞) R (1,0) 增函数 减函数
2．logax y＝x
3．设A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝，则A∩B为( )
A. B.
C. D．(0,2)
解析：∵A＝{y|y>0}，
B＝，
∴A∩B＝ .
答案：C
4．函数y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象经过定点A，则A点坐标是( )
A. B.
C．(1,0) D．(0,1)
解析：当x＝1时，y＝0.
答案：C
5．(2017·河南八市质检)已知，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
解析：
答案：A
热点一 对数式的运算
【例1】 计算下列各式：
(1)lg14－2lg＋lg7－lg18；
(2)；
(3)(lg5)2＋lg2·lg50；
(4)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
【解】 (1)原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.
(2)原式＝
＝
＝＝.
(3)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.
(4)原式＝·
＝·
＝·＝.
【总结反思】
对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
(1)计算：＋log2＝________.
(2)(2017·襄阳模拟)若正数a，b满足3＋log2a＝2＋log3b＝log6(a＋b)，则＋的值为________．
解析：(1)原式＝|log25－2|＋log25－1
＝log25－2－log25＝－2.
(2)根据题意设3＋log2a＝2＋log3b
＝log6(a＋b)＝k，
所以有a＝2k－3，b＝3k－2，a＋b＝6k，
＋＝＝＝72.
答案：(1)－2 (2)72
,对数函数的图象及应用
【例2】 (1)函数f(x)＝lg的大致图象为( )
(2)当01时不满足条件；当0.所以a的取值范围为.
【答案】 (1)D (2)
1．若将本例(2)中的条件换为“不等式(x－1)21时，如图，
要使x∈(1,2)时，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)．
即(2－1)2≤loga2，
又即loga2≥1.所以1(x－1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a>1，其整数解集为{2,3,4}．
则应满足
得≤a<.即实数a的取值范围为[，).
【总结反思】
在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系.
设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )
A．x1x2<0 B．x1x2＝0
C．x1x2>1 D．0b>1,00，所以y＝xc为增函数，又a>b>1，所以ac>bc，A错．对于选项B，abcf(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
【解析】 由题意可得
或
解得a>1或－10，a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
【解析】 当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)>1，
解之得11恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0，所以a>4，且a<4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
【答案】
【总结反思】
(1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．
(2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.
(1)(2016·浙江卷)已知a，b>0，且a≠1，b≠1.若logab>1，则( )
A．(a－1)(b－1)<0
B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0
D．(b－1)(b－a)>0
(2)若f(x)＝lgx，g(x)＝f(|x|)，则g(lgx)>g(1)时，x的取值范围是________．
(3)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：(1)根据题意，logab>1⇔logab－logaa>0⇔loga>0⇔或，即或.当时，0a>1，∴b－1>0，b－a>0，∴(b－1)(b－a)>0，故选D.
(2)当g(lgx)>g(1)时，f(|lgx|)>f(1)，由f(x)为增函数得|lgx|>1，从而lgx>1或lgx<－1，解得010.
(3)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
答案：(1)D (2)∪(10，＋∞)
(3)A
1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N＋，且n为偶数)．
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
3．解决与对数函数有关的问题时需注意：在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．
指数、对数比较大小的几种技巧
幂数、指数、对数比较大小，其实质是考查函数的性质，所以解决这类问题首先要熟悉函数图象和性质，做到“胸有成图”或“成图在胸”．解决这类问题首先要区分这些数属于哪类函数，是哪个函数的函数值，然后根据函数的性质确定范围，在同一范围内的两个数再比较大小．下面以函数类型来划分几种题型，有助于提高解题能力．
一、直接考查单一函数
【例1】 已知0n>1，故选A.这类问题也可以采用特殊值法．
【答案】 A
二、以两种函数为背景
【例2】
A．y3，所以y21，即loga>1，解得00，
a－c＝－＝>0，
所以b>a>c.
解法2：数形结合法 变形a＝＝，则a表示函数y＝lnx图象上的点(2，ln2)与点(0,0)连线的斜率．同理，b＝＝，c＝＝分别表示点(3，ln3)，(5，ln5)与点(0,0)的斜率．作出函数y＝lnx的图象，标出相应点的位置，观察可知b>a>c.
解法3：构造函数法 令y＝，y′＝，令y′＝＝0，得x＝e，所以函数在x∈(0，e)上单调递增，在x∈(e，＋∞)上单调递减，函数在x＝e处取得极大值，再作差比较a与c的大小，易知b>a>c.
【答案】 b>a>c
