2009年北京市宣武区中考数学一模试卷

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2009年北京市宣武区中考数学一模试卷

‎12 2009年北京市宣武区中考数学一模试卷 一、选择题(共8个小题,每小题4分,共32分)‎ ‎1.的相反数是( )‎ A.3 B.-‎3 ‎C. D.-‎ ‎2.2008年北京市经济保持较快发展,按常住人口计算,全市人均GDP达到63029元,这个数据用科学记数法表示为( )‎ A.63.029×103元 B.0.63029×105元 C.6.3029×104元 D.6.3029×103元 ‎3.⊙O的半径为5,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位置关系是( )‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 ‎4.如图,AB、CD相交于点O,∠1=80°,如果DE∥AB,那么∠D的度数为( )‎ 第4题图 A.110° B.100° C.90° D.80°‎ ‎5.如图是小敏同学6次数学测验的成绩统计图,则该同学6次成绩的中位数是( )‎ A.60分 B.70分 C.75分 D.80分 第5题图 ‎6.乌鸦口渴到处找水喝,它看到了一个装有水的瓶子,但水位较低,且瓶口又小,乌鸦喝不着水,沉思一会儿后,聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中,水位上升后,乌鸦喝到了水.在这则乌鸦喝水的故事中,设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x,瓶中水位的高度为y,下列图象中最符合故事情景的是( )‎ ‎7.如图是某几何体的三视图及相关数据,则判断正确的是( )‎ 第7题图 A.a2+b2=c2 B.b>c C.‎4a2+b2=c2 D.a>c ‎8.任何一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(p、q是正整数,且p≤q),如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解,并规定:.例如18可以分解成1×18、2×9或3×6,这时就有.给出下列关于F(n)的说法:(1);(2);(3)F(27)=3;(4)若n是一个完全平方数,则F(n)=1.其中正确说法的个数是( )‎ A.1 B.‎2 ‎C.3 D.4‎ 二、填空题(共4个小题,每小题4分,共16分)‎ ‎9.某商场为了解本商场服务质量,随机调查了来本商场的200名顾客,调查的结果如图所示,根据图中给出的信息,这200名顾客中对该商场的服务质量表示不满意的有___名.‎ 第9题图 ‎10.将抛物线y=x2的图象向右平移3个单位长度,则平移后的抛物线的解析式为________.‎ ‎11.已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是________.‎ ‎12.如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB⊥BC,AB=‎2cm,CD=‎4cm.以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点,且∠AOD=90°,则圆心O到弦AD的距离是________cm.‎ 第12题图 三、解答题(共5个小题,共25分)‎ ‎13.(本小题满分5分)‎ 计算:‎ ‎14.(本小题满分5分)‎ 解不等式组:‎ ‎15.(本小题满分5分)如图,在□ABCD中,点E是AD的中点,BE的延长线与CD的延长线相交于点F.‎ ‎(1)求证:△ABE≌△DFE;‎ ‎(2)连结BD、AF,请判断四边形ABDF的形状,并证明你的结论.‎ 第15题图 ‎16.(本小题满分5分)‎ 如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交A(-3,1)、B(2,n)两点,直线AB分别交x轴、y轴于D、C两点.‎ ‎(1)求上述反比例函数和一次函数的解析式;‎ ‎(2)求的值.‎ 第16题图 ‎17.(本小题满分5分)‎ 先化简,再求值,其中.‎ 四、解答题(共2个小题,共10分)‎ ‎18.(本小题满分5分)‎ 小明在复习数学知识时,针对“求一元二次方程的解”,整理了以下的几种方法,请你将有关内容补充完整:‎ 例题:求一元二次方程x2-x-1=0的两个解.‎ ‎(1)解法一:选择合适的一种方法(公式法、配方法、分解因式法)求解.‎ 解方程:x2-x-1=0.‎ ‎(2)解法二:利用二次函数图象与坐标轴的交点求解.如图①所示,把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y=________的图象与x轴交点的横坐标,即x1,x2就是方程的解.‎ 第18题图 ‎(3)解法三:利用两个函数图象的交点求解.‎ ‎①把方程x2-x-1=0的解看成是一个二次函数y=________的图象与一个一次函数y=________的图象交点的横坐标;‎ ‎②画出这两个函数的图象,用x1,x2在x轴上标出方程的解.‎ ‎19.(本小题满分5分)‎ 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD=CD,cosB=,BC=26.‎ 求(1)cos∠DAC的值;(2)线段AD的长.‎ 第19题图 五、解答题(本题满分6分)‎ ‎20.在物理实验中,当电流在一定时间段内正常通过电子元件时,每个电子元件的状态有两种可能:通电或断开,并且这两种状态的可能性相等.‎ 第20题图 ‎(1)如图①,当只有1个电子元件时,P、Q之间电流通过的概率是________;‎ ‎(2)如图②,当有2个电子元件a、b并联时,请你用树状图(或列表法)表示图中P、Q之间电流能否通过的所有可能情况,并求出P、Q之间电流通过的概率;‎ ‎(3)如图③,当有3个电子元件并联时,P、Q之间电流通过的概率是________.‎ 六、解答题(共2个小题,共9分)‎ ‎21.(本小题满分5分)列方程(组)或不等式(组)解应用题:‎ 某商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:‎ A B 进价(元/件)‎ ‎1200‎ ‎1000‎ 售价(元/件)‎ ‎1380‎ ‎1200‎ ‎(注:获利=售价-进价)‎ ‎(1)该商场购进A、B两种商品各多少件;‎ ‎(2)商场第二次以原进价购进A、B两种商品.购进B种商品的件数不变,而购进A种商品的件数是第一次的2倍,A种商品按原售价出售,而B种商品打折销售.若两种商品销售完毕,要使第二次经营活动获利不少于81600元,B种商品最低售价为每件多少元?‎ ‎22.(本小题满分4分)如图,⊙O的直径AB=‎6cm,点P是AB延长线上的动点,过点P作⊙O的切线,切点为C,连结AC.若∠CPA的平分线交AC于点M,你认为∠CMP的大小是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出∠CMP的度数.‎ 第22题图 七、解答题(本题满分7分)‎ ‎23.如图,已知等边三角形ABC中,点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动).‎ ‎(1)如图①,当点M在点B左侧时,请你连结EN,并判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上?请写出结论,并说明理由;‎ ‎(2)如图②,当点M在BC上时,其他条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图②证明;若不成立,请说明理由;‎ ‎(3)如图③,若点M在点C右侧时,请你判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请直接写出结论;若不成立,请说明理由.‎ 第23题图 八、解答题(本题满分7分)‎ ‎24.对于三个数a、b、c,M|a,b,c|表示这三个数的平均数,min{a,b,c}表示a、b、c这三个数中最小的数,如:M{-1,2,3},min{-1,2,3}=-1;M{-1,2,a}=,m{-1,2,a}=‎ 解决下列问题:‎ ‎(1)填空:min{sin30°,cos45°,tan30°}=________;若min{2,2x+2,4-2x}=2,则x的取值范围是________;‎ ‎(2)①若M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},那么x=________;‎ ‎②根据①,你发现结论“若M{a,b,c}=min{a,b,c},那么________”(填a,b,c大小关系);‎ ‎③运用②,填空:若M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y},则x+y=________;‎ ‎(3)在同一直角坐标系中作出函数y=x+1,y=(x-1)2,y=2-x的图象(不需列表,描点),通过图象,得出min{x+1,(x-1)2,2-x}最大值为________.‎ 第24题图 九、解答题(本题满分8分)‎ ‎25.如图,矩形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合,点B的坐标是(,1),点D是AB边上一个动点(与点A不重合),沿OD将△OAD翻折后,点A落在点P处.‎ ‎(1)若点P在一次函数y=2x-1的图象上,求点P的坐标;‎ ‎(2)若点P在抛物线y=ax2图象上,并满足△PCB是等腰三角形,求该抛物线解析式;‎ ‎(3)当线段OD与PC所在直线垂直时,在PC所在直线上作出一点M,使DM+BM最小,并求出这个最小值.‎ 第25题图 答 案 ‎12.2009年北京市宣武区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 8.B 二、填空题 ‎9.14 10.y=(x-3)2 11.k>-2且k≠-1 12.‎ 三、解答题 ‎13.解:‎ ‎=-2.‎ ‎14.解:解不等式2x-1≤x,得x≤1,‎ 解不等式2(x+1)≥-1,得.‎ 所以原不等式组的解集为.‎ ‎15.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB∥CF,‎ ‎∴∠1=∠2,∠3=∠4‎ ‎∵E是AD的中点,∴AE=DE,‎ ‎∴△ABE≌△DFE.‎ ‎(2)四边形ABDF是平行四边形.‎ ‎∵△ABE≌△DFE,‎ ‎∴AB=DF.又∵AB∥CF,‎ ‎∴四边形ABDF是平行四边形.‎ 第15题答图 ‎16.解:(1)把x=-3,y=1代入,得:m=-3.‎ ‎∴反比例函数的解析式为.‎ 把x=2,y=n代入得.‎ 把x=-3,y=1;x=2,分别代入y=kx+b 得解得 ‎∴一次函数的解析式为.‎ 第16题答图 ‎(2)过点A作AE⊥x轴于点E.‎ ‎∵A点的纵坐标为1,∴AE=1.‎ 由一次函数的解析式得点C的坐标为,‎ ‎.‎ 在Rt△OCD和Rt△EAD中,∠COD=∠AED=90°,∠CDO=∠ADE,‎ ‎∴Rt△OCD∽Rt△EAD,‎ ‎.‎ ‎17.解:‎ ‎.‎ 当时,‎ 原式.‎ 四、解答题 ‎18.(1)解:∵a=1,b=-1,c=-1,∴b2-‎4ac=5.‎ ‎.‎ ‎∴原方程的解是,.‎ ‎(2)x2-x-1.‎ ‎(3)①x2 x+1或x2-1 x等.‎ ‎②正确画出函数图象给1分.‎ ‎19.解:(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,.‎ 第19题答图 ‎∵BC=26,∴AB=10.‎ ‎.‎ ‎∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.‎ ‎;‎ ‎(2)过点D作DE⊥AC,垂足为E.‎ ‎∵AD=DC,.‎ 在Rt△ADE中,,‎ ‎∴AD=13.‎ 五、解答题 ‎20.解:(1)0.5.‎ ‎(2)用树状图表示是:‎ 或用列表法表示是:‎ a可能出现的情况 电流通过的情况 b可能出现的情况 通电 断开 通电 ‎(通电,通电)‎ ‎(通电,断开)‎ 断开 ‎(断开,通电)‎ ‎(断开,断开)‎ P、Q之间电流通过的概率是.‎ ‎(3).‎ 六、解答题 ‎21.解:(1)设购进A种商品x件,B种商品y件.‎ 根据题意,得 解得 答:该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件.‎ ‎(2)由于A种商品购进400件,获利为 ‎(1380-1200)×400=72000(元).‎ 从而B种商品售完获利应不少于81600-72000=9600(元).‎ 设B种商品每件售价为x元,则120(x-1000)≥9600.‎ 解得x≥1080.‎ 答:B种商品最低售价为每件1080元.‎ ‎22.解:∠CMP的大小不发生变化.‎ 第22题答图 连结OC.‎ ‎∵PC是⊙O的切线,‎ ‎∴∠OCP=90°.‎ ‎∵PM是∠CPA的平分线,‎ ‎∴∠APC=2∠APM.‎ ‎∵OA=OC,∴∠A=∠ACO.‎ ‎∴∠COP=∠A+∠ACO=2∠A.‎ 在Rt△OCP中,∠OCP=90°,‎ ‎∴∠COP+∠OPC=90°,‎ ‎∴2∠A+2∠APM=90°,‎ ‎∴∠CMP=∠A+∠APM=45°.‎ 即∠CMP的大小不发生变化.‎ 七、解答题 ‎23.解:(1)判断:EN=MF,点F在直线NE上.‎ 证明:如图①,连结DE、DF、EF.‎ ‎∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC.‎ 又∵D、E、F是三边的中点,‎ ‎∴DE、DF、EF为△ABC的中位线.‎ ‎∴DE=DF=EF,∴∠FDE=∠DFE=60°.‎ ‎∵△DMN是等边三角形,‎ ‎∴∠MDN=60°,DM=DN.‎ ‎∴∠FDE+∠NDF=∠MDN+∠NDF,‎ ‎∴∠MDF=∠NDE.‎ 在△DMF和△DNE中,DF=DE,∠MDF=∠NDE,DM=DN,‎ ‎∴△DMF≌△DNE.∴MF=NE.‎ 设EN与BC交点为P,连结NF.‎ ‎ ‎ ‎① ② ③‎ 第23题答图 由△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点可得△DBF是等边三角形,‎ ‎∴∠MDN=∠BDF=60°,‎ ‎∴∠MDN-∠BDN=∠BDF-∠BDN,‎ 即∠MDB=∠NDF.‎ 在△DMB和△DNF中,DM=DN,‎ ‎∠MDB=∠NDF,DB=DF,‎ ‎∴△DMB≌△DNF.∴∠DBM=∠DFN.‎ ‎∵∠ABC=60°,‎ ‎∴∠DBM=120°,‎ ‎∴∠NFD=120°.‎ ‎∴∠NFD+∠DFE=120°+60°=180°.‎ ‎∴N、F、E三点共线,∴F与P重合,F在直线NE上.‎ ‎(2)成立.‎ 证明:如图②,连结DE、DF、EF.‎ ‎∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC.‎ 又∵D,E,F是三边的中点,‎ ‎∴DE,DF,EF为△ABC的中位线.‎ ‎∴DE=DF=EF,∠FDE=60°.‎ 又∠MDF+∠FDN=60°,‎ ‎∠NDE+∠FDN=60°,‎ ‎∴∠MDF=∠NDE.‎ 在△DMF和△DNE中,DF=DE,‎ ‎∠MDF=∠NDE,DM=DN,‎ ‎∴△DMF≌△DNE.∴MF=NE.‎ ‎(3)MF=NE仍成立.‎ 八、解答题 ‎24.解:(1),0≤x≤1;‎ ‎(2)①1,②a=b=c,③-4‎ ‎(3)图象如图所示,‎ min{x+1,(x-1)2,2-x}最大值为1.‎ 第24题答图 九、解答题 ‎25.解:(1)∵B(,1),‎ ‎∴BC=OA=OP=1,OC=.‎ ‎∵点P在一次函数y=2x-1的图象上,‎ ‎∴设P(x,2x-1).‎ 如图①,过P作PH⊥x轴于H.‎ 在Rt△OPH中,PH=2x-1,OH=x,OP=1,‎ ‎∴x2+(2x-1)2=1‎ 解得:,x2=0(不合题意,舍去).‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎① ②‎ ‎(2)解法1:连结PB、PC.‎ ‎①若PB=PC,则P在BC中垂线上.‎ ‎∴设.如图②,过P作PH⊥x轴于H.‎ 在Rt△OPH中,,OH=x,OP=1,‎ ‎.‎ 解得:,(不合题意,舍去).‎ ‎.‎ ‎,‎ 解得:..‎ ‎②若BP=BC,则BP=1.‎ 连结OB.‎ ‎∵OP=1,‎ ‎∴OP+PB=2.‎ ‎∵在Rt△OBC中,‎ ‎∠OCB=90°,.‎ ‎∴OP+PB=OB,‎ ‎∴O、P、B三点共线,P为线段OB中点.‎ 又B(,1)‎ ‎.‎ ‎,‎ 解得:.‎ ‎.‎ ‎③若CP=CB,则CP=1,‎ ‎∵OP=1,‎ ‎∴PO=PC,则P在OC中垂线上.‎ ‎∴设.过P作PH⊥x轴于H.‎ 在Rt△OPH中,PH=|y|,,OP=1,‎ ‎.‎ 解得:,.‎ 或.‎ 当点时,∠AOP=120°,此时∠AOD=60°,点D与点B重合,符合题意.‎ 若点,则,解得:..‎ 若点,则,解得:.‎ ‎.‎ 解法2:由题意,点P在以O为圆心、1为半径的一段120°的圆孤上(如图③),‎ ‎①若PB=PC,则点P是BC垂直平分线与以O为圆心、1为半径的一段120°的圆弧的交点(如图④).‎ ‎③‎ 可求得:.,解得..‎ ‎②若BP=BC,则点P是以B为圆心、BC长为半径的圆与以O为圆心、1为半径的一段120°的圆弧的交点(如图⑤).‎ ‎∵OC=,BC=1,‎ ‎∴BO=2=1+1,∴⊙O与⊙B外切,‎ 可求得:.,解得:..‎ ‎③若CP=CB,则点P是以C为圆心、CB长为半径的圆与以O为圆、1为半径的一段120°的圆弧的交点(如图⑥).‎ ‎∵OC=<1+1,‎ ‎∴⊙O与⊙C相交,可求得:或.‎ 若点,则,解得.‎ ‎.‎ 若点,则,解得:.‎ ‎.‎ ‎(3)如图⑦,∵△OAD沿OD翻折,点A落在点P处,‎ ‎∴OD垂直平分AP.‎ ‎∵PC⊥OD,‎ ‎∴A、P、C三点共线.‎ 在Rt△AOD中,∠OAD=90°,OA=1,‎ 又可得:∠AOD=30°,‎ ‎,‎ ‎.‎ 作点B关于直线AC的对称点B ',过点B '作B 'N⊥AB于点N,连结DB ',DB '与AC交点为M,此点为所求点.‎ ‎∵∠ACB'=∠ACB=60°,∠ACO=30°,‎ ‎∴∠B 'CO=30°.‎ ‎∵B 'C=BC=1,‎ ‎,.‎ 在Rt△B 'ND中,∠B 'ND=90°,,,‎ ‎.‎ ‎∴DM+BM的最小值为.‎ ‎⑦‎
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