小学五年级奥数教案：流水行船问题二(学生版)

小学五年级奥数教案：流水行船问题二(学生版)

‎ 学科培优 数学 ‎ ‎“流水行船问题二”‎ 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 在行程问题这个大家族中，除了我们常常研究的相遇与追及外，还有两个特别相似的问题：流水行程和扶梯问题。它们之间有很多相似之处，当然也有不同之处，在学习的过程中，同学们应该细细体会。在历届小升初和杯赛考试中，相比与流水行船问题，扶梯问题往往不是重点，但是也需要我们有一定的了解和认识！‎ 在讲解本讲知识点时，一定要讲两大问题进行对比讲解，从公式形式到一般变形，以及推导过程都要让学生加以重点理解。流水行船问题中速度打破了常规的0参考系，在讲解过程中可以引入生活中最贴切的实例，加深学生印象。‎ 知识梳理 一、流水行船问题 通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑人本身的速度即可。‎ 但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为0的参考系，因为水本身也是在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响，具体为：‎ ‎①顺水速度=船速+水速；②逆水速度=船速-水速。（可理解为和差问题）‎ 由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论：‎ 船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；水速=(顺水速度-逆水速度)÷2‎ 此外，在流水行船问题中，对于河流中的漂浮物，我们还会经常用到一个常识性性质，即：漂浮物速度=流水速度。‎ 流水行船问题中的相遇与追及：‎ ‎①两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和。‎ 这是因为：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系.‎ ‎②‎ 同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关.‎ 这是因为：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.‎ ‎　　这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样.‎ ‎【授课批注】‎ 流水行船问题是一类特殊的行程问题，它的特殊之处就是多了一个水流速度，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答。‎ 二、扶梯问题 扶梯问题与流水行船问题十分相像，区别只在与这里的速度并不是我们常见的“千米每小时”，或者“米每秒”，而是“每分钟走多少个台阶”，或是“每秒钟走多少个台阶”。从而在扶梯问题中“总路程”并不是求扶梯有多少“千米”或者多少“米”，而是求扶梯的“静止时可见台阶总数”。‎ 当人顺着扶梯的运动方向走台阶时，相当与流水行船中的“顺水行驶”，这里的水速就是扶梯自身的台阶运行速度。有：‎ 人的速度+扶梯速度=人在扶梯上的实际速度 同样当人沿着扶梯逆行时，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的实际速度。‎ 所以相应的，人顺着扶梯运行方向行走时：‎ 扶梯静止可见台阶总数=时间×人速+时间×扶梯速=人走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数。‎ 人沿着扶梯运行方向逆行时：‎ 扶梯静止可见台阶总数=时间×人速-时间×扶梯速=人走的台阶数-扶梯自动运行的台阶数。‎ ‎【授课批注】‎ 结合线段图进行分析题目是解决几乎所有行程问题的重要方法。碰到综合性问题可先把综合问题分解成几个单一问题，如相遇或追及，然后再逐个解决。‎ 例题精讲 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】轮船在静水中的速度是每小时21千米，轮船自甲港逆水航行8小时到达相距144千米的乙港，再从乙港返回甲港需要多少小时?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】 A、B两港相距560千米，甲船往返两港需要105小时，逆流航行比顺流航行多了35小时，乙船的静水速度是甲船静水速度的2倍，那么乙船往返两港需要多少小时？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】甲河是乙河的支流，甲河水速为每小时3千米，乙河水速为每小时2千米．一艘船沿甲河顺水航行7小时，行了133千米到达乙河，在乙河中还要逆水航行84千米，问：这艘船还要航行几小时?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】某船从甲地顺流而下，5天到达乙地；该船从乙地返回甲地用了7天．问：水从甲地流到乙地用了多少时间?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6千米，顺水下行需要4小时，返回上行需要7小时．求：这两个港口之间的距离．‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一艘小船在河中航行，第一次顺流航行33千米，逆流航行11千米，共用11小时；第二次用同样的时间，顺流航行了24千米，逆流航行了14千米.这艘小船的静水速度和水流速度是多少？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一艘轮船顺流航行80千米，逆流航行48千米共用9时；顺流航行64千米，逆流航行96千米共用12时. 求轮船的速度。 ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一条河的水流速度是每小时3千米，一条船从此河的上游A地顺流到达下游的C地，然后掉头逆流向上到达中游的B地，共用8小时.已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，A地与B地相距24千米.求A、C两地间的距离。‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时。回来时顺水，比去时的速度每小时多行8千米，因此第2小时比第1小时多行驶 6千米. 那么甲、乙两地距离是多少千米? ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】某人畅游长江，逆流而上，在A处丢失一只水壶，他向前又游了20分钟后，才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在离A处2千米的地方追到，则他返回寻水壶用了多少分钟？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】 A城在一条河的上游,B城在这条河的下游.A、B两城的水路距离为396千米。一艘在静水中速度为每小时12千米的渔船从B城开往A城，一艘在静水中速度为每小时30千米的治安巡逻船从A城开往B城.已知河水的速度为每小时6千米，从A流向B.两船在距离A城180千米的地方相遇.巡逻艇在到达B城后得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯，于是巡逻艇立刻返回去追渔船，请问巡逻艇能不能在渔船到达A城之前追上渔船?如果能的话，请问巡逻艇在距A城多远的地方追上渔船；如果不能的话，请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到A城？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】小明站着不动乘电动扶梯上楼需30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】小霞与小宝两个孩子比赛登电梯，已知他俩攀登电梯的速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相反方向从一楼登上二楼，分别用时60秒和30秒，那么如果他们攀登静止的电梯需要用时多少秒？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯。小强想逆行从上到下，如果每秒向下迈两级台阶，那么他走过100级台阶后到达站台；如果每秒向下迈三级台阶，那么走过75级台阶到达站台。自动扶梯有多少级台阶?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走36级。如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端(很危险哦，不要效仿!)，需要用下楼时5倍的速度走60级才能走到上端。请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级?‎ ‎【答案】54(级)‎ ‎【解析】小淘气上楼走60级的时间，下楼只能走60÷5=12(级)。而下楼走了36级，所以下楼用的时间是上楼时间的36÷12=3(倍)。‎ 设小淘气上楼的时间自动扶梯走了x级，根据自动扶梯的级数可列方程：36+3x=60-x。‎ 解得x=6(级)，自动扶梯有60－x=54(级)．‎ ‎【知识点】流水行船问题二 ‎【适用场合】当堂例题 ‎【难度系数】3‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？‎ ‎。‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】甲步行上楼梯的速度是乙的2倍，一层到二层有一上行滚梯(自动扶梯)正在运行。二人从滚梯步行上楼，结果甲步行了10级到达楼上，乙步行了6级到达楼上。这个滚梯共有 级。‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】某城市火车站中，从候车室到大厅有一架向上的自动扶梯。小志想逆行从上到下，如果每秒向下迈两级台阶，那么他走过80级台阶后到达站台；如果每秒向下迈三级台阶，那么走过60级台阶到达站台。自动扶梯有多少级台阶?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层。当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他一共走了60级。如果他从顶端反身向下走，则一共要走80级。那么，自动扶梯不动时甲从下到上要走多少级？ ‎ 习题演练 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一只船在河里航行，顺流而下每小时行18千米.已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等.求船速和水速.‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一只帆船的速度是每分60米，船在水流速度为每分20米的河中，从上游的一个港口到下游某一地，再返回到原地，共用了3小时30分，这条船从上游港口到下游某地共走了多少米?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】甲、乙两船的船速分别为每小时22千米和每小时18千米．两船先后从同一港口顺水开出，乙船比甲船早出发2小时，如果水速是每小时4千米，问：甲船开出后几小时能追上乙船?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】有一条河在降雨后，每小时水流速度在中流(即河的中间)和沿岸(即河的两边)不同，中流每小时55千米，沿岸每小时45千米。有一汽船逆流而上，从沿岸航行15小时走完了750千米的路程，返回是几小时走完中流的全程？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的3倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】有一个小孩不慎掉进河里，他抱住了一根圆木沿河向下漂流. 有3条船逆水而上，在对应着河岸上的A处同时与圆木相遇，但是都没有发现圆木上有小孩. 3条船的速度是已知的而且大小不同，当3条船离开A处一小时以后，船员们同时从无线电中听到圆木上有小孩，要求营救的消息，因此3条船同时返回，去追圆木. 当天晚上，孩子的父母被告知，小孩已在离A处6千米的下游B处，被救起. 问：是3条船中的哪条船首先来到孩子抱住的圆木处救起了孩子？‎