内蒙古赤峰市宁城县2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

内蒙古赤峰市宁城县2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

‎2019-2020学年度上学期期末素质测试试卷高二数学（文科卷）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）‎ ‎1.顶点在原点，焦点是的抛物线方程（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义即可求得答案．‎ ‎【详解】由题意设抛物线的方程为，因焦点坐标为，则，‎ ‎，‎ 抛物线的方程为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程，由焦点位置确定方程类型以及的值是关键，属于基础题．‎ ‎2.已知,给出下列条件：①；② ；③ ，则使得成立的充分而不必要条件是（ ）‎ A. ① B. ② C. ③ D. ①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意逐一考查所给的三个条件是否是成立的充分而不必要条件即可.‎ ‎【详解】由①，得：，不一定有成立，不符；‎ 对于②，当时，有，但不成立，所以不符；‎ 对于③，由，知c≠0，所以，有成立，‎ 当成立时，不一定有，因为c可以为0，符合题意；‎ 本题选择C选项 ‎【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3.（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A. 1 B. 2‎ C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设公差为，，，联立解得，故选C.‎ 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.‎ ‎4.如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是( )‎ A. 抛物线 B. 双曲线一支 C. 椭圆 D. 抛物线或双曲线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合圆锥曲线的几何观点得答案．‎ ‎【详解】解：房间壁灯向上照射，区域可理解为顶点在下面的圆锥，‎ 墙面不与圆锥面的母线平行，结果不是抛物线，又壁灯轴线与墙面平行，则不是椭圆，‎ 而墙面与圆锥侧面相交，且不过圆锥顶点，又与壁灯轴线平行，则结果为双曲线的一支．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的轨迹问题，着重考查圆锥曲线的由来，属于基础题．‎ ‎5.曲线在点处的切线方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，计算，利用点斜式求出切线方程即可；‎ ‎【详解】解：函数，可得，‎ ‎，，‎ 故切线方程是：，‎ 整理为：；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了切线方程问题，导数的几何意义的应用，属于基础题．‎ ‎6.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．‎ ‎【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．‎ 则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，‎ 中位数仍为，A正确．‎ ‎②原始平均数，后来平均数 平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确 ‎③‎ 由②易知，C不正确．‎ ‎④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．‎ ‎【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.‎ ‎7.一个质量的物体作直线运动，设运动距离s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，并且物体的动能，则物体开始运动后第4s时的动能是( )‎ A. 160J B. 165J C. 170J D. 175J ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得物体开始运动后第时速度，进而计算可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，物体的运动距离与时间的关系式为，‎ 则有，‎ 物体开始运动后第时速度，‎ 物体开始运动后第时的动能；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，注意求出物体的速度，属于基础题．‎ ‎8.若正项等比数列的公比，且成等差数列，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的第3，5及6项成等差数列，根据等差数列的性质得到第5项的2倍等于第3项加上第6项，然后利用等比数列的通项公式化简后，得到关于的方程，根据不等于1且各项为正，求出方程的解即可得到满足题意的值，进而把所求的式子也利用等比数列的通项公式化简后，得到关于的式子，把的值代入即可求出值．‎ ‎【详解】解：由、、成等差数列，得到，‎ 则，由，，得到，‎ 可化为：，又，‎ ‎，解得：或（小于0，不合题意，舍去），‎ 则．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，属于基础题．‎ ‎9.设点A，B的坐标分别为（-1,0）,(1,0),直线AP,BP相交于点P,且它们的斜率之和为2,则点P的轨迹方程是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题先设点坐标，根据直线，斜率存在可得．然后写出，．根据斜率之和为2列出算式，整理即可得到点的轨迹方程．‎ ‎【详解】解：设点坐标，‎ 由题意，直线，斜率存在，故，且，即．‎ ‎，．‎ ‎，‎ 整理得，‎ 点的轨迹方程是．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的斜率以及相关的计算能力，求动点的轨迹方程，属于中档题．‎ ‎10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗‎1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）‎ A. 消耗‎1升汽油，乙车最多可行驶‎5千米 B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗‎10升汽油 D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】解：对于A，由图象可知当速度大于‎40km/h时，乙车的燃油效率大于‎5km/L，‎ ‎∴当速度大于‎40km/h时，消耗‎1升汽油，乙车的行驶距离大于‎5km，故A错误；‎ 对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗‎1升汽油，甲车的行驶路程最远，‎ ‎∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；‎ 对于C，由图象可知当速度为‎80km/h时，甲车的燃油效率为‎10km/L，‎ 即甲车行驶‎10km时，耗油‎1升，故行驶1小时，路程为‎80km，燃油为‎8升，故C错误；‎ 对于D，由图象可知当速度小于‎80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，‎ ‎∴用丙车比用乙车更省油，故D正确 故选D．‎ 考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.‎ ‎11.已知（﹣2，1）是直线l被椭圆所截得线段的中点，则直线l的方程是（　　　　）‎ A. x﹣2y＝0 B. x﹣2y+4＝‎0 ‎C. 2x+y+3＝0 D. 2x﹣3y﹣1＝0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线l与椭圆相交于，设 ，代入作差得到 解得直线方程.‎ ‎【详解】设直线l与椭圆相交于，设 ‎ 则，两式相减得到 即，故直线方程为 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用点差法求直线方程，意在考查学生对于点差法的掌握情况和计算能力.‎ ‎12.已知函数，则 A. 在（0，2）单调递增 B. 在（0，2）单调递减 C. 的图像关于直线x=1对称 D. 的图像关于点（1，0）对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．‎ ‎【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分.16小题第1空2分,第2空3分）‎ ‎13.双曲线一个焦点到一条渐近线的距离为______‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出双曲线渐近线方程，用点到直线的距离公式，即可求解.‎ ‎【详解】根据对称性，焦点坐标，‎ 渐近线方程为，即，‎ 焦点到渐近线距离为.‎ 故答案为:1‎ ‎【点睛】本题考查双曲线简单几何性质，属于基础题.‎ ‎14.已知，则的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，利用诱导公式与二倍角的余弦公式即可求得答案．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式与二倍角的余弦，考查观察与基本运算能力，属于中档题．‎ ‎15.在中，面积，则角C的大小为_________．‎ ‎【答案】45°‎ ‎【解析】‎ 分析：根据面积公式=，结合余弦定理即可求解.‎ 详解：由题可知：=‎ ‎，所以C=‎ 故答案为 点睛：考查三角形面积公式，余弦定理，对公式的正确变形运用是解题关键，属于中档题.‎ ‎16.某部门在同一上班高峰时段对某地铁站随机抽取50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按分组，制成频率分布直方图，则__________；在上班高峰时段在该地铁站乘车等待时间少于20分钟人数的估计值为____________.‎ ‎【答案】 (1). 0.036 (2). 25‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由频率分布直方图的性质能求出；由频率分布直方图求出乘客在地铁站平均等待时间少于20分钟的频率，即可得到结论．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎．‎ 由题意知乘客在地铁站平均等待时间少于20分钟的频率为：‎ ‎，‎ ‎．‎ 在上班高峰时段在该地铁站乘车等待时间少于20分钟人数的估计值为 25．‎ 故答案为：0.036，25．‎ ‎【点睛】本题考查实数值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17.中，，. ‎ ‎（1）若，求的值； ‎ ‎（2）若的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理即可解出；‎ ‎（2）根据面积公式计算，再利用余弦定理解出．‎ ‎【详解】解：（1）在中，因为， 即 ‎ 所以. ‎ ‎（2）因为. 所以，解得. ‎ 又因为. ‎ 所以,所以.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的应用，属于基础题．‎ ‎18.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知.‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并求Sn的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）当或时，最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合等差数列的通项公式及求和公式可求，进而可求，‎ ‎（2）结合等差数列的前项和公式及二次函数的性质即可求解．‎ ‎【详解】解：（1）等差数列中，，‎ ‎，，解得，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ 当或时，前项的和取得最大值，此时．‎ 的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前项和，属于基础题．‎ ‎19.改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．‎ ‎（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上的概率；‎ ‎（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；‎ ‎（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由图利用古典概型求值即可；（Ⅱ）求出任选两年的基本事件总数，列举满足条件的基本事件，即可求概率（Ⅲ）由题分析即可求解 ‎【详解】（Ⅰ）设表示事件“从2007年至2016年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上”．‎ 根据题意，．‎ ‎（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%，设这两年为，‎ ‎，其它三年设为，，，从五年中随机选出两年，共有10种情况：‎ ‎，，，，，，，，，，其中至少有一年体育产业年增长率超过25%有７种情况，‎ 所以所求概率为.‎ ‎（Ⅲ）从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．　从年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．‎ ‎【点睛】本题考查条形图和折线图，古典概型，方差，准确识图是关键，是中档题 ‎20.已知函数f(x)=logax(a>0且，x∈R+)，若x1，x2∈R+，判断与的大小，并加以证明.‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把的解析式代入中，进而根据基本不等式得，根据对数函数的性质，当时判断出，当时，，综合可得答案．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，，‎ ‎（当且仅当时取“”号）．‎ 当时，有 ‎，，‎ 即，（当且仅当时取“”号）；‎ 当时，有，‎ ‎，‎ 即，（当且仅当时取“”号）．‎ ‎【点睛】本题考查对数函数性质、均值不等式等知识及推理论证的能力，属于中档题．‎ ‎21.已知在平面直角坐标系中，动点P到定点F(1,0)的距离比到定直线x=-2的距离小1.‎ ‎（1）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）若直线l与（1）中轨迹C交于A，B两点，通过A和原点O的直线交直线x=-1于D，求证：直线DB平行于x轴.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）判断轨迹为抛物线，转化求解抛物线方程即可．‎ ‎（2）画出图形，设直线方程为代入抛物线方程，设，，，，取得的纵坐标，然后推出结果．‎ ‎【详解】（1）解：动点到的距离比到定直线的距离小，则与到定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为①‎ ‎（2）证明：设直线的方程为②‎ ‎②代入①，整理得，‎ 设，，，，则，‎ 所以点的纵坐标③‎ 因为，所以直线的方程为④‎ 可得的纵坐标为⑤‎ 由③⑤知，轴．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，求证：曲线在抛物线的上方.‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得.且函数的定义域.据此分类讨论确定函数的单调区间即可；‎ ‎（2）原问题等价于.设.利用导函数研究函数的最值，证明结论即可证得题中的结论.‎ ‎【详解】（1）求导得.定义域.‎ 当时，,函数在上为减函数.‎ 当时，令得,为增函数；‎ 令得,为减函数.‎ 所以时，函数减区间是.‎ 当时，函数增区间是 ；减区间是. ‎ ‎（2）依题意，只需证设.‎ 则，设.‎ 因为，所以在上单调递增.‎ 又因为，所以在内有唯一解，记为即.‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增；‎ 所以.‎ 设，.则.所以.‎ 所以，即曲线在抛物线上方.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎