高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总67553

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高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总67553

高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总 ‎【知识汇编】‎ 参数方程:直线参数方程: 为直线上的定点, 为直线上任一点到定点的数量;‎ 圆锥曲线参数方程:圆的参数方程:(a,b)为圆心,r为半径;‎ 椭圆的参数方程是;‎ 双曲线的参数方程是;‎ 抛物线的参数方程是 极坐标与直角坐标互化公式:‎ 若以直角坐标系的原点为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,点P的极坐标为,直角坐标为,则, , , 。‎ ‎【题型1】参数方程和极坐标基本概念 ‎ ‎ ‎1.已知曲线C的参数方程为 (为参数),‎ 以直角坐标系原点为极点,Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎1)求曲线c的极坐标方程 ‎2)若直线的极坐标方程为(sinθ+cosθ)=1,求直线被曲线c截得的弦长。‎ 解:(1)∵曲线c的参数方程为 (α为参数)‎ ‎∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5‎ 将 代入并化简得:=4cosθ+2sinθ ‎ 即曲线c的极坐标方程为=4cosθ+2sinθ ‎ (2)∵的直角坐标方程为x+y-1=0‎ ‎∴圆心c到直线的距离为d==∴弦长为2=2 . ‎ ‎2.极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin(θ+),曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a(a>0),射线θ=,θ=+,θ=-,θ=+与曲线C1分别交异于极点O的四点A,B,C,D.‎ ‎(1)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和C2化成直角坐标方程;‎ ‎(2)求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.‎ 解:(1):, :, ‎ 因为曲线关于曲线对称,,: ‎ ‎(2);‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【题型2】直线参数方程几何意义的应用 ‎1.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线与曲线:交于,两点.‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)在以为极点,轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,设点的极坐标为,求点到线段中点的距离.‎ 解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),‎ 代入曲线C的方程得.‎ 设点A,B对应的参数分别为,则,,‎ 所以. ‎ ‎(2)由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为,‎ 所以点P在直线l上,中点M对应参数为,‎ 由参数t的几何意义,所以点P到线段AB中点M的距离. ‎ ‎2.已知直线经过点,倾斜角,‎ ‎(1)写出直线的参数方程。‎ ‎(2)设与圆相交与两点,求点到两点的距离之积。‎ 解:(1)直线的参数方程为,即 ‎ (2)把直线代入得 ‎,则点到两点的距离之积为 ‎3.设经过点的直线交曲线C:(为参数)于A、B两点.‎ ‎(1)写出曲线C的普通方程;‎ ‎(2)当直线的倾斜角时,求与的值.‎ 解:(1):.‎ ‎(2)设:(t为参数)‎ 联立得:‎ ‎,‎ ‎4.以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点的直角坐标为,点的极坐标为,若直线过点,且倾斜角为,圆以为圆心,为半径. ‎ ‎(1)求直线的参数方程和圆的极坐标方程;‎ ‎(2)设直线与圆相交于两点,求.‎ 解:(1)直线的参数方程为,(答案不唯一,可酌情给分)‎ 圆的极坐标方程为. ‎ ‎(2)把代入,得,‎ ‎,设点对应的参数分别为, 则, ‎ ‎5.以平面直角坐标系的坐标原点为极点,以轴的非负半轴为极轴,以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程; (2)设直线与曲线相交于两点,求.‎ 解:(1)由,既 曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)的参数方程为代入,整理的,所以,‎ ‎ 所以.‎ ‎【题型3】两类最值问题 ‎1.已知曲线:,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出曲线的参数方程,直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设是曲线上任一点,求到直线的距离的最大值.‎ 解:(1)曲线的参数方程为(为参数),‎ 直线的直角坐标方程为 ‎ ‎(2)设,‎ 到直线的距离(其中为锐角,且)‎ 当时,到直线的距离的最大值 ‎ ‎2.已知曲线的极坐标方程为,曲线(为参数).‎ ‎(1)求曲线的普通方程;‎ ‎(2)若点在曲线上运动,试求出到曲线的距离的最小值.‎ 解:(1)曲线的普通方程是: ‎ ‎(2)曲线的普通方程是: ‎ 设点,由点到直线的距离公式得:‎ 其中 ‎ 时,,此时 ‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),以原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的极坐标方程为.‎ ‎(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与圆C交于A,B两点,点P的坐标为,试求的值.‎ 解:(1)由,展开化为 ‎, ‎ 将代入,得,‎ 所以,圆C的直角坐标方程是. ‎ ‎(2)把直线的参数方程(t为参数)代入圆的方程并整理,‎ 可得:. ‎ 设A,B两点对应的参数分别为,‎ 则,‎ 所以. ‎ ‎∴. ‎ ‎4.已知曲线的参数方程是,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线的坐标系方程是,正方形的顶点都在上,‎ 且依逆时针次序排列,点的极坐标为 ‎(1)求点的直角坐标;‎ ‎(2)设为上任意一点,求的取值范围.‎ 解:(1)点的极坐标为 ‎ 点的直角坐标为 ‎(2)设;则
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