2020高中数学 课时分层作业5 函数的单调性与导数 新人教A版选修2-2

2020高中数学 课时分层作业5 函数的单调性与导数 新人教A版选修2-2

课时分层作业(五)　函数的单调性与导数 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．如图136是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是 ‎ (　　)‎ 图136‎ A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上f(x)是增函数 D．在区间(3,5)上f(x)是增函数 C　[由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.]‎ ‎2．函数y＝x＋xln x的单调递减区间是(　　)‎ ‎ 【导学号：31062041】‎ A．(－∞，e－2)　 B．(0，e－2)‎ C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)‎ B　[因为y＝x＋xln x，所以定义域为(0，＋∞)．‎ 令y′＝2＋ln x<0，解得00，则cos x<，又x∈(0，π)，解得2.则f(x)>2x＋4的解集为(　　)‎ A．(－1,1)　　　 B．(－1，＋∞)‎ C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)‎ B　[构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，‎ 则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.‎ ‎∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．‎ ‎∴f(x)>2x＋4⇔g(x)>0⇔g(x)>g(－1)，‎ ‎∴x>－1.]‎ ‎2．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－‎ 6‎ f(x)g′(x)<0，则当af(b)g(b)‎ B．f(x)g(a)>f(a)g(x)‎ C．f(x)g(b)>f(b)g(x)‎ D．f(x)g(x)>f(a)g(a)‎ C　[因为′＝.又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．因此选C.]‎ ‎3．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．‎ ‎[解析]　若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.‎ ‎[答案]　(0，＋∞)‎ ‎4．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．‎ ‎[解析]　显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.由f′(x)＞0，得函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)＜0，得函数f(x)单调递减区间为.因为函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1＜＜k＋1，解得－＜k＜，又因为(k－1，k＋1)为定义域内的一个子区间，所以k－1≥0，即k≥1.综上可知，1≤k＜.‎ ‎[答案]　 ‎5．(1)已知函数f(x)＝axekx－1，g(x)＝ln x＋kx.当a＝1时，若f(x)在(1，＋∞)上为减函数，g(x)在(0,1)上为增函数，求实数k的值；‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x＋－2ln x，a∈R，讨论函数f(x)的单调区间.‎ ‎ 【导学号：31062046】‎ ‎[解]　(1)当a＝1时，f(x)＝xekx－1，‎ 6‎ ‎∴f′(x)＝(kx＋1)ekx，g′(x)＝＋k.‎ ‎∵f(x)在(1，＋∞)上为减函数， ‎ 则∀x＞1，f′(x)≤0⇔k≤－，‎ ‎∴k≤－1.‎ ‎∵g(x)在(0,1)上为增函数，‎ 则∀x∈(0,1)，g′(x)≥0⇔k≥－，‎ ‎∴k≥－1.‎ 综上所述，k＝－1.‎ ‎(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ ‎∴f′(x)＝1－－＝.‎ ‎①当Δ＝4＋‎4a≤0，即a≤－1时，‎ 得x2－2x－a≥0，‎ 则f′(x)≥0.‎ ‎∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎②当Δ＝4＋‎4a＞0，即a＞－1时，‎ 令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0，‎ 解得x1＝1－，x2＝1＋＞0.‎ ‎(ⅰ)若－1＜a≤0，则x1＝1－≥0，‎ ‎∵x∈(0，＋∞)，‎ ‎∴f(x)在(0,1－)，(1＋，＋∞)上单调递增，‎ 在(1－，1＋)上单调递减．‎ ‎(ⅱ)若a＞0，则x1＜0，当x∈(0,1＋)时，f′(x)＜0，当x∈(1＋，＋∞)时，f′(x)＞0，‎ ‎∴函数f(x)在区间(0,1＋)上单调递减，‎ 在区间(1＋，＋∞)上单调递增.‎ 6‎