高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题检测（一）

高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题检测（一）

专题检测（一）‎ ‎[时间120分钟，满分150分]‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．(2012·虹口二模)已知集合M＝，N＝，则M∩N＝‎ A．[1,2)　　　　　　　　　 B．(1,2]‎ C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．[5，＋∞)‎ 解析　易知M＝.∴M∩N＝.故选A.‎ 答案　A ‎2．已知命题p：∀x∈R，x2＋2＞2x，则它的否定是 A．綈p：∀x∈R，x2＋2＜2x B．綈p：∃x0∈R，x2＋2≤2x C．綈p：∃x0∈R，x2＋2＜2x D．綈p：∀x∈R，x2＋2≤2x 解析　全称命题的否定是特称命题，“＞”的否定是“≤”，故选B.‎ 答案　B ‎3．(2012·潍坊二模)设集合A＝，B＝{yy＝x2}，则A∩B＝‎ A．[－2,2]　　　 B．[0,2]‎ C．0.4　　　 D．0.8‎ 解析　根据椭圆的有界性知A＝{x－2≤x≤2}，‎ ‎∵y＝x2≥0，∴B＝{yy≥0}．∴A∩B＝[0,2]．‎ 答案　B ‎4．(2012·衡水模拟)已知向量a＝(x,1)，b＝(－x,4)，其中x∈R.则“x＝‎2”‎是“a⊥b”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　∵a⊥b⇔－x2＋4＝0⇔x＝±2，‎ ‎∴“x＝2”是“a⊥b”的充分不必要条件．‎ 答案　A ‎5．(2012·兰州二模)已知正实数a，b满足不等式ab＋1＜a＋b，则函数f(x)＝loga(x＋b)的图象可能为 解析　由ab＋1＜a＋b，‎ 得ab＋1－a－b＝(a－1)(b－1)＜0，‎ ‎∴0＜a＜1，b＞1或a＞1,0＜b＜1.故选B.‎ 答案　B ‎6．(2012·银川二模)曲线y＝x2和曲线y2＝x围成的图形面积是 A. B. C．1 D. 解析　如图所示，所求的面积为 S＝(－x2＋)dx ‎＝‎ ‎＝.‎ 答案　A ‎7．如果命题“綈(p∨q)”是假命题，则下列说法正确的是 A．p、q均为真命题 B．p、q中至少有一个为真命题 C．p、q均为假命题 D．p、q中至多有一个为真命题 解析　因为“綈(p∨q)”是假命题，‎ 则“p∨q”是真命题，‎ 所以p、q中至少有一个是真命题．‎ 答案　B ‎8．若a＜0，则下列不等式成立的是 A．‎2a＞a＞‎0.2a B．‎0.2a＞a＞‎‎2a C.a＞‎0.2a＞‎2a D．‎2a＞‎0.2a＞a 解析　因为a＜0，所以函数y＝xa为(0，＋∞)上的减函数，‎ 又因为0.2＜，所以0.2a＞a＞0，而2a＜0，‎ 故0.2a＞a＞2a，故选B.‎ 答案　B ‎9．(2012·南宁模拟)函数y＝2x＋1－(x＋1)2的图象大致是 解析　令y＝f(x)，则f(1)＝0，f(3)＝0排除选项B、C，‎ 又f(－1)＞0，f(－2)＜0，排除选项D.因此选A.‎ 答案　A ‎10．若实数x、y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则t＝2x＋2y的取值范围是 A．0＜t≤2 B．0＜t≤4‎ C．2＜t≤4 D．t≥4‎ 解析　依题意得，(2x＋2y)2－2×2x×2y＝2(2x＋2y)，‎ 则t2－2t＝2×2x×2y≤2×＝，‎ 即－2t≤0，解得0≤t≤4；‎ 又t2－2t＝2×2x×2y＞0，且t＞0，‎ 因此有t＞2，故2＜t≤4，选C.‎ 答案　C ‎11．设m＞1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为 A．(1,1＋) B．(1＋，＋∞)‎ C．(1,3) D．(3，＋∞)‎ 解析　变换目标函数为y＝，由于m＞1，所以－1＜－＜0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．根据目标函数的几何意义，只有直线y＝－x＋在y轴上的截距最大时，目标函数才取得最大值，显然在点A处取得最大值．由y＝mx，x＋y＝1，得，所以目标函数的最大值是.由已知目标函数的最大值小于2，可得＜2，即m2－‎2m－1＜0，解得1－＜m＜1＋，故m的取值范围是(1,1＋)．‎ 答案　A ‎12．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，对任意x，y满足f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，且f(－2)＝f(1)≠0，则g(1)＋g(－1)＝‎ A．－1 B．1‎ C．2 D．－2‎ 解析　令x＝y＝0，得f(0)＝0，令x＝1，y＝0，得 f(1)＝f(1)g(0)－g(1)f(0)，‎ 即f(1)＝f(1)g(0)．‎ 又f(1)≠0，∴g(0)＝1，‎ 令x＝0，得f(－y)＝f(0)g(y)－g(0)f(y)，‎ 即f(－y)＝－f(y)．‎ ‎∴函数f(x)是R上的奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，‎ 令x＝－1，y＝1，‎ 得f(－2)＝f(－1)g(1)－g(－1)f(1)，‎ 即f(－2)＝－f(1)g(1)－g(－1)f(1)．‎ 又f(－2)＝f(1)≠0，∴1＝－g(1)－g(－1)，‎ 即g(1)＋g(－1)＝－1.‎ 答案　A 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．(2012·晋城模拟)若f(x＋2)＝则f·f(－2)＝________.‎ 解析　由于当x≥0时，f(x＋2)＝tan x，‎ ‎∴令x＝，得f＝tan ＝1；‎ 又∵当x＜0时，f(x＋2)＝log2(－x)，‎ ‎∴令x＝－4，得f(－2)＝f(－4＋2)＝log24＝2，‎ ‎∴f·f(－2)＝2.‎ 答案　2‎ ‎14．(2012·三明二模)已知函数f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，则实数b＝________；不等式f(x－1)＜|x|的解集为________．‎ 解析　由f(－x)＝f(x)得b＝0，∴f(x)＝x2＋1，‎ 不等式f(x－1)＜|x|可化为(x－1)2＋1＜|x|，‎ 它等价于或 解得1＜x＜2或x∈∅.‎ 故原不等式的解集为{x1＜x＜2}．‎ 答案　0　{x1＜x＜2}‎ ‎15．(2012·海淀二模)某同学为研究函数f(x)＝＋ (0≤x≤‎ ‎1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP＝x，则AP＋PF＝f(x)．请你参考这些信息，推知函数f(x)的极值点是________；函数f(x)的值域是________．‎ 解析　连接AF，交BC于M，‎ ‎∴当P与M重合时，f(x)＝AP＋PF取最小值，‎ 此时x＝，f(x)＝.‎ 当P与C或B重合时，f(x)最大，最大值为＋1.‎ 答案　　[，＋1]‎ ‎16．(2012·重庆改编)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f(x)的图象如图所示，则当x＝________时，函数f(x)有极大值，当x＝________时，函数f(x)有极小值．‎ 解析　利用极值的存在条件判定．‎ 当x ＜－2时，y＝(1－x)f′(x)＞0，得f′(x)＞0；‎ 当－2＜x＜1时，y＝(1－x)f′(x)＜0，得f′(x)＜0；‎ 当1＜x＜2时，y＝(1－x)f′(x)＞0，得f′(x)＜0；‎ 当x＞2时，y－(1－x)f′(x)＜0，得f′(x)＞0.‎ ‎∴f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．∴函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．‎ 答案　－2　2‎ 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(12分)设关于x的方程(m＋1)x2－mx＋m－1＝0有实数根时，实数m的取值范围是集合A，函数f(x)＝lg[x2－(a＋2)x＋‎2a]的定义域是集合B.‎ ‎(1)求集合A；‎ ‎(2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围．‎ 解析　(1)当m＝－1时，x＝2；‎ 当m＋1≠0时，由Δ＝m2－4(m＋1)(m－1)≥0，‎ 解得－≤m≤，且m≠－1.‎ 综上得A＝.‎ ‎(2)由x2－(a＋2)x＋‎2a＞0，‎ 则(x－2)(x－a)＞0.‎ 当a＝2时，B＝{x|x≠2}；‎ 当a＜2时，B＝{x|x＜a或x＞2}；‎ 当a＞2时，B＝{x|x＜2或x＞a}．‎ 因为A∪B＝B，则A⊆B.‎ 而当a＝2时，A⊆B；‎ 当即＜a＜2时，A⊆B；‎ 当a＞2时，A⊆B.故a∈.‎ ‎18．(12分)已知函数f(x)＝(x＋2)|x－2|.‎ ‎(1)若不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)解不等式f(x)＞3x.‎ 解析　(1)当x∈[－3,1]时，‎ f(x)＝(x＋2)|x－2|＝(x＋2)(2－x)＝－x2＋4.‎ ‎∵－3≤x≤1，∴0≤x2≤9.于是－5≤－x2＋4≤4，‎ 即函数f(x)在[－3,1]上的最大值等于4.‎ ‎∴要使不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，实数a的取值范围是[4，＋∞)．‎ ‎(2)不等式f(x)＞3x，即(x＋2)|x－2|－3x＞0.‎ 当x≥2时，原不等式等价于x2－4－3x＞0，‎ 解得x＞4或x＜－1.又∵x≥2，∴x＞4.‎ 当x＜2时，原不等式等价于4－x2－3x＞0，‎ 即x2＋3x－4＜0，解得－4＜x＜1.满足x＜2.‎ 综上可知，原不等式的解集为{xx＞4或－4＜x＜1}．‎ ‎19．(12分)设函数f(x)＝kax－a－x(a＞0且a≠1)是定义域为R的奇函数．‎ ‎(1)若f(1)＞0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)＞0的解集；‎ ‎(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－‎4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．‎ 解析　∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，‎ ‎∴k－1＝0，即k＝1.‎ ‎(1)∵f(1)＞0，∴a－＞0.‎ 又a＞0且a≠1，∴a＞1，f(x)＝ax－a－x.‎ ‎∵f′(x)＝axln a＋a－xln a＝(ax＋a－x)ln a＞0，‎ ‎∴f(x)在R上为增函数，‎ 原不等式可化为f(x2＋2x)＞f(4－x)．‎ ‎∴x2＋2x＞4－x，即x2＋3x－4＞0.‎ ‎∴x＞1或x＜－4.‎ ‎∴不等式的解集为{xx＞1或x＜－4}．‎ ‎(2)∵f(1)＝，∴a－＝，‎ 即2a2－3a－2＝0.‎ ‎∴a＝2或a＝－(舍去)．‎ ‎∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.‎ 令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，‎ 则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，‎ 即t(x)≥t(1)＝，‎ ‎∴原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2.‎ ‎∴当t＝2时，ω(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋)．‎ 即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2.‎ ‎20．(12分)(2012·南京模拟)在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为‎30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v(米/单位时间)，单位时间内用氧量为cv2(c为正常数)；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为(米/单位时间)，单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y.‎ ‎(1)将y表示为v的函数；‎ ‎(2)设0＜v≤5，试确定下潜速度v，使总的用氧量最少．‎ 解析　(1)潜入水底用时，用氧量为×cv2＝30cv；‎ 水底作业时用氧量为5×0.4＝2；‎ 返回水面用时，用氧量为×0.2＝.‎ 所以y＝30cv＋2＋(v＞0)．‎ ‎(2)y＝30cv＋2＋≥2＋2 ＝2＋12.‎ 当且仅当30cv＝，即v＝时取等号．‎ 当≤5，即c≥时，v＝时，y的最小值为2＋12.‎ 当＞5，即c＜时，y′＝30c－＝＜0，‎ 因此函数y＝30cv＋2＋在(0,5]上为减函数，‎ 所以当v＝5时，y的最小值为150c＋.‎ 综上，当c≥时，下潜速度为时，用氧量最小为2＋12；‎ 当0＜c＜时，下潜速度为5时，用氧量最小为150c＋.‎ ‎21．(12分)(2012·安徽)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)．‎ ‎(1)求f(x)的最小值；‎ ‎(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a、b的值．‎ 解析　(1)解法一　由题设和均值不等式可知，f(x)＝ax＋＋b≥2＋b，其中等号成立当且仅当ax＝1，即当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.‎ 解法二　f(x)的导数f′(x)＝a－＝，‎ 当x＞时，f′(x)＞0，f(x)在上递增；‎ 当0＜x＜时，f′(x)＜0，f(x)在上递减．‎ 所以当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.‎ ‎(2)f′(x)＝a－，由题设知，f′(1)＝a－＝，解得a＝2或a＝－(不合题意，舍去)．‎ 将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，解得b＝－1.‎ 所以a＝2，b＝－1.‎ ‎22．(14分)(2012·银川模拟)已知函数f(x)＝，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是5x－4y＋1＝0.‎ ‎(1)求a、b的值；‎ ‎(2)设g(x)＝2ln(x＋1)－mf(x)，若当x∈[0，＋∞)时，恒有g(x)≤0，求m的取值范围．‎ 解析　(1)f′(x)＝.‎ 由于直线5x－4y＋1＝0的斜率是，且过点，‎ ‎∴⇒⇒即f(x)＝.‎ ‎(2)由(1)知：g(x)＝2ln(x＋1)－m(x＞－1)，则g′(x)＝.‎ 令h(x)＝－mx2＋(2－2m)x＋2－2m，‎ 当m＝0时，h(x)＝2x＋2，在x∈[0，＋∞)时，h(x)＞0，g′(x)＞0，‎ 即g(x)在[0，＋∞)上是增函数，‎ 则g(x)≥g(0)＝0，不满足题设．‎ 当m＜0时，∵－＝－1＜0‎ 且h(0)＝2－2m＞0，‎ ‎∴x∈[0，＋∞)时，h(x)＞0，g′(x)＞0，‎ 即g(x)在[0，＋∞)上是增函数，‎ 则g(x)≥g(0)＝0，不满足题设．‎ 当0＜m＜1时，则Δ＝(2－2m)2＋4m(2－2m)‎ ‎＝4(1－m2)＞0，‎ 由h(x)＝0得x1＝＜0；‎ x2＝＞0.‎ 则x∈[0，x2)时，h(x)＞0，g′(x)＞0，‎ 即g(x)在[0，x2)上是增函数，‎ 则g(x2)≥g(0)＝0，不满足题设．‎ 当m≥1时，Δ＝(2－2m)2＋4m(2－2m)‎ ‎＝4(1－m2)≤0，‎ h(x)≤0，g′(x)≤0，‎ 即g(x)在[0，＋∞)上是减函数，‎ 则g(x)≤g(0)＝0，满足题设．‎ 综上所述，m∈[1，＋∞)．‎