中考平行四边形经典中考题

中考平行四边形经典中考题

平行四边形经典 ‎ 考点1 特殊的平行四边形的性质与判定 ‎1．矩形的定义、性质与判定 ‎（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。‎ ‎（2）矩形的性质：矩形的对角线_________；矩形的四个角都是________角。矩形具有________的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有_____________条，矩形也是中心对称图形，对称中心为_____________的交点。矩形被对角线分成了____________个等腰三角形。‎ ‎（3）矩形的判定 有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是_____________的四边形是矩形；对角线__ ___的平行四边形是矩形。‎ 温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。‎ ‎2．菱形的定义、性质与判定 ‎（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。‎ ‎（2）菱形的性质 菱形的_______都相等；菱形的对角线互相____ ___，并且每一条对角线______一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有__ __条。‎ ‎（3）菱形的面积 菱形的面积=底×高，菱形的面积=ab，其中a，b分别为菱形两条对角线的长。菱形被对角线分成了4个全等的直角三角形。‎ ‎（4）菱形的判定：‎ ‎_______都相等的四边形是菱形；对角线______的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形。‎ 温馨提示：在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。‎ ‎3．正方形的性质及判定方法 ‎（1）正方形的性质：正方形的四个角都是_____________，四条边都_____________；‎ 正方形的两条对角线____________，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。‎ 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。‎ ‎（2）正方形的判定方法：有一组邻边相等的__ __是正方形；对角线互相____的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线________的菱形是正方形。‎ 温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这个出发，则一切的性质与判定就都有了。但要注意在利用对角线判定正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。‎ 考点2 梯形的概念及判定方法 ‎1．梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。‎ ‎（1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。在初中阶段重点研究等腰梯形。‎ ‎2．等腰梯形的性质与判定 性质：（1）等腰梯形中，同一底上的两个角相等；（2）等腰梯形的对角线相等；‎ 判定：（1）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）对角线相等的梯形是等腰梯形；（3）有两个腰相等的梯形是等腰梯形。‎ ‎3．梯形中常用的辅助线：‎ 梯形的辅助线 分割后的图形 图形示意 ‎1.平移一腰 将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形 ‎2.平移两腰 将梯形分割成两个平行四边形和一个三角形 ‎3.平移对角线 将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形 ‎4.作双高 将梯形分割成一个矩形形和一个三角形 ‎5.延长两腰 将梯形分割成两个三角形 ‎6.连接一顶点和一腰中点 将梯形分割成一个三角形 例1题图 温馨提示：在涉及梯形的题目中，通常要添加辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形题，然后再利用这两种图形的性质解题，所以掌握常用的辅助线对解决梯形问题，至关重要，所以平时同学们要注意搜集或留意辅助线的作法，使它们变成自己的东西。‎ 中考热点难点突破 例1：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，‎ 则△AEF的周长为（ ）‎ 例2题图 A． B． C． D．3 ‎ 例2：如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）‎ A．110° B．115° C．120° D．130°‎ 一、选择题（每题3分，共30分）‎B A C D 第1题图 ‎1．(09年河北)如图，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC等于（ ）‎ ‎ A．20 B．15 C． 10 D．5‎ ‎2．（09年广西南宁）如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻A B C D 边中点的连线（虚线）剪下，‎ 再打开，得到的菱形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（09年宁波市）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，‎ 连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）‎ A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 D B C A N M O 第3题图 A D E P C B F 第4题图 C D A B E 第6题图 ‎4.（09年杭州市）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ）‎ A．35° B．45° C．50° D．55°‎ ‎5. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )‎ A．1　　　 B．2 C． D． ‎ A B C D F E O A B C D ‎6．（09年凉山州）如图，将矩形沿对角线折叠，使落在处，交于，则下列结论不一定成立的是（ ）‎ 第7题图 A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）‎ A．8 B．8 C．2 D．10‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第10题图 第8题图 ‎ ‎ 第9题图 ‎8．已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰AB的长为5，则等腰梯形的周长为（ ）‎ ‎ A．11 B．16 C．17 D．22‎ ‎9．如图，□ABCD的周长是28㎝，　△ABC的周长是22㎝，则AC的长为　　( 　 )‎ A．6㎝　　　　　B．　12㎝　　　　　C．4㎝　　　　　D．　8㎝ ‎10．（’09年孝感）如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF．你认为 A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对 ‎ ‎11．（09年甘肃庆阳）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，，则这个菱形的面积= cm2．‎ 第13题图 D C A B 第12题图 第11题图 ‎12．(09年南充)如图，等腰梯形ABCD中，，则梯形ABCD的周长是 .‎ ‎13．（09白银市）如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是　　　　．‎ ‎14．（09年济宁市）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AD＝3cm, AB＝4cm, ∠B＝60°, 则下底BC的长为 cm .‎ ‎15．（09江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离则 度．‎ 第20题图 ‎1‎ 第15题图 A B C A D C B 第19题图 E ‎16.（09年天津市）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形的中点四边形是一个矩形，则四边形可以是 ．‎ ‎17.(09年上海市)在四边形中，对角线与互相平分，交点为．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．‎ ‎18．（09年杭州市）如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_____________．‎ ‎19．（09年山东青岛市）如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．‎ ‎20． (09年陕西省)如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，DA＝CB，若AB＝10，DC＝4，tanA＝2，则这个梯形的面积是______．‎ 三、解答题（共60分）‎ O D C B A ‎21．(本题6分)（’09肇庆）如图 ，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，． ‎ ‎（1）求证：△ABD是正三角形； ‎ ‎（2）求 AC的长（结果可保留根号）． ‎ B A C D F M 第22题图 E ‎22.（09年宜宾）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.‎ ‎（1）求证：AM=DM；‎ ‎（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．‎ 第23题图 A D F C E G B ‎23．(本题6分)（09襄樊市）如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接 ‎ ‎ （1）求证：四边形是菱形；‎ ‎ （2）连接并延长交于连接 请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？‎ 第24题图 D C B E A F ‎24．(本题6分) (09年湖州)如图：已知在中，，为边的中点，过点作，垂足分别为.‎ （1） 求证：；‎ ‎（2）若，求证：四边形是正方形. ‎ D E F P B A 第25题图 C ‎25．(本题8分)（09年杭州市）如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P．‎ ‎（1）求证：AF=BE；‎ ‎（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．‎ ‎26．(本题8分)（09年益阳市）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm.(1)求∠CBD的度数；(2)求下底AB的长.‎A B C 第26题图 D ‎60°‎ ‎27．(本题10分) 如图，为直角，点为线段的中点，点是射线上的一个动点（不与点重合），连结，作，垂足为，连结，过点作，交于．‎ A B C D F E M ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在什么范围内变化时，四边形是梯形，并说明理由；‎ ‎（3）在什么范围内变化时，线段上存在点，满足条件，并说明理由．‎ E A D B C N M ‎28．（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.‎ ‎⑴ 求证：△AMB≌△ENB；‎ ‎⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；‎ ‎②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；‎ ‎⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.‎ ‎28．(本题10分)（’09临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．‎ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．‎ 在此基础上，同学们作了进一步的研究：‎ ‎（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；‎ ‎ （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．‎ A D F C G E B 图1‎ A D F C G E B 图2‎ A D F C G E B 图3‎ 参考答案 基础知识回放 答案：①相等 ②直 ③平行四边形 ④2 ⑤对角线 ⑥4 ⑦直角 ⑧相等 ⑨四条边 ⑩垂直平分 平分 2 四条边 互相垂直 直角 相等 相等 矩形 垂直 相等 中考效能测试 一、选择题 ‎1．D【解析】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定。根据菱形的性质知：AB=BC,∠B+∠BCD=180°,又有∠BCD=120°，∴∠B=60°,所以三角形ABC为等边三角形，所以AC=AB=5。‎ ‎2．A【解析】本题考查了三角形中位线的性质、矩形、菱形的面积的计算等知识点。矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5 cm，4 cm，而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，所以菱形的两条对角线的长分别为5 cm，4 cm，所以菱形的面积为×5×4＝10 cm2.也可以根据三角形中位线的性质求出剪下的部分的面积占矩形面积的比例求出菱形的面积。‎ ‎3．C【解析】本题考查了菱形的有关性质和位似图形的定义。在中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，但AO与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断是等边三角形。同样，我们也无法判断BM是否等于OB和BM是否等于OC，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，也无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形。根据位似图形的定义可知四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形，故本题选C。‎第10题答图 A B C D E P F G ‎4．C ‎5．D.【解析】本题综合考查了利用等腰三角形的性质和三角函数及方程的知识求解问题的能力，‎ 由题意得∠CAB=∠ECB=30°，不妨设BC=x，则由三角函数的知识可得EB=x，AB=x，‎ 即x=3，解得x=,故选D。‎ ‎6．C ‎7．D【解析】本题的关键是找到点N的位置，使DN+MN的和最小，因为B、D关于直线AC对称，所以BM与AC的交点即为点N的位置，此时有最小值，BM的长度就是DN+MN的最小值.根据勾股定理BM==10，故答案为D.‎ ‎8．D【解析】过点D作DE∥AC，交AC的延长线于点C。则此等腰梯形的周长就为三角形DBE的周长，即等于此梯形的中位线的2倍加上腰长的2倍即可。‎ ‎9．D 10．D【解析】本题综合考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、‎ 直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的内角和等知识点，是一道综合性很强的题目。‎ 解答本题应首先延长PF交AB的延长线于点G，根据题意，利用角角边可证明≌，于是得到，PF=FG，所以在中，EF是斜边上的中线，于是得到FE=FG，所以，又因为E、F分别为中点，所以EB=FB，所以，FE=FG=BF，所以，又因为∠A=110°，所以,因此，,解得。‎ ‎11．60 ‎ ‎12．17‎ ‎13．答案不唯一，如AC=BD，∠BAD=90o，等 14．7‎ ‎15．120　【解析】本题考查了菱形和等边三角形的性质。如图，连接AB，由题意可知AB=AC=BC=16cm，∴△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°，∴∠2=180°-60°=120°，由菱形的性质可得∠1=∠2=120°。‎ ‎16．菱形（对角线互相垂直的四边形均可）【解析】本题考查中点四边形的识别能力，其实质是三角形的中位线定理。由三角形中位线可知中点四边形的各边是原四边形的对角线的中位线，若中点四边形是矩形，则需原四边形的对角线互相垂直。‎ ‎17．AC=BD，……【解析】本题考查了矩形的判定方法，是一道开放性问题.由对角线AC与BD互相平分，可知四边形ABCD是平行四边形.根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可添加条件“AC=BD”；根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可考虑添加条件“∠ABC=90”.‎ ‎18．14或16或26【解析】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力。解答本题最好能将所有的拼法画出来后再进行求解。本题的不同拼法有：‎ ‎19．【解析】根据题意知：，则,且为等腰直角三角形，所以。所以，。‎ 易错易混点：有的学生因没有挖掘出为等腰直角三角形这一条件，进而使求阴影部分的面积陷入困境。‎ ‎20．42 【解析】本题难度中等，考查等腰梯形的知识.如图，作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F，根据题意可得：矩形CDEF，△ADE≌△BCF，所以CD=EF=4，所以AE=BF==3.‎ 因为tanA==2，‎ 所以DE=6，‎ 所以这个梯形的面积是42.‎ 三、解答题 ‎21．（1）证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，‎ ‎∴AC平分∠BCD． 又∠ACD=30°，‎ ‎∴∠BCD=60°． ∵∠BAD与∠BCD是菱形的一组对角，‎ ‎∴∠BAD=∠BCD=60°． ∵AB、AD是菱形的两条边，∴． ∴△ABD是正三角形．‎ ‎（2）解：∵O为菱形对角线的交点，‎ ‎∴．在中，，‎ ‎∴， ∴，答的长为．‎ A D F C E G B ‎22．（1）略证：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CD,AB=AD. ∵AC⊥EF,∴AM=AE. ∵AE=AB, ∴AM=AD.∴AM=DM.‎ ‎（2）提示:证明△AME≌△DMF.DF=AE=2.菱形ABCD的周长为16.‎ ‎23．（1）证明：是由绕点旋转得到，‎ ‎∴ ∴是等边三角形，‎ ‎∴‎ 又∵是由沿所在直线翻转得到∴‎ ‎∴是平角∴点F、B、C三点共线∴是等边三角形 ‎∴3分∴ ∴四边形是菱形．‎ ‎（2）四边形是矩形．‎ 证明：由（1）可知：是等边三角形，于 ‎∴∵‎ ‎∴∴‎ ‎∴∴四边形是平行四边形，而∴四边形是矩形．‎ ‎24．（1）， ‎ ‎，，‎ ‎，是的中点，，.‎ ‎（2），‎ ‎，，‎ 四边形为矩形. ，，四边形为正方形．‎ ‎25．（1）∵BA=AD，∠BAE=∠ADF，AE=DF，∴△BAE≌△ADF，∴BE=AF；‎ ‎（2）猜想∠BPF=120° .‎ ‎∵由（1）知△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF .‎ ‎∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE，而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120° .‎ ‎26．解：(1)∵∠A＝60°，BD⊥AD∴∠ABD＝30°.又∵AB∥CD ‎∴∠CDB＝∠ABD＝30°. ∵BC＝CD∴∠CBD＝∠CDB＝30°.‎ ‎ 　 (2)∵∠ABD＝∠CBD＝30°∴∠ABC＝60°＝∠A.∴AD＝BC＝CD＝2cm 在Rt△ABD中，∴AB＝2AD＝4cm A B C D F E M G H ‎27．（1）在中，‎ ‎，，‎ ‎，．，‎ ‎，．，，‎ ‎．．．‎ ‎（2）由（1），而，‎ ‎，即．若，则，．‎ ‎，．当或时，四边形为梯形．‎ ‎（3）作，垂足为，则．‎ ‎，．又为中点，为的中点．为的中垂线．‎ ‎．点在上，．，‎ ‎．．． ‎ 又， ．‎ 当时，上存在点，满足条件A D F C G E B M ‎28．解：（1）正确．‎ 证明：在上取一点，使，连接．‎ ‎．，．‎ 是外角平分线，，．‎ ‎．，，‎ ‎．（ASA）．．‎ ‎（2）正确．‎ A D F C G E B N 证明：在的延长线上取一点．‎ 使，连接．‎ ‎．‎ ‎．‎ 四边形是正方形，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎（ASA）．‎ ‎．‎ ‎ ‎ ‎7．（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.‎ ‎⑴ 求证：△AMB≌△ENB；‎ ‎⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；‎ ‎②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；‎ E A D B C N M ‎⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.‎ ‎【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，‎ ‎∴BA＝BE，∠ABE＝60°.‎ ‎∵∠MBN＝60°，‎ ‎∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.‎ 即∠BMA＝∠NBE.‎ 又∵MB＝NB，‎ ‎∴△AMB≌△ENB（SAS）.‎ ‎⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.‎ F E A D B C N M ‎②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，‎ AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，‎ ‎∴AM＝EN.‎ ‎∵∠MBN＝60°，MB＝NB，‎ ‎∴△BMN是等边三角形.‎ ‎∴BM＝MN.‎ ‎∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ‎ 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ‎∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.‎ ‎⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，‎ ‎∴∠EBF＝90°－60°＝30°.‎ 设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.‎ 在Rt△EFC中，‎ ‎∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝. 解得，x＝（舍去负值）.∴正方形的边长为. ‎