分数加减法速算与巧算

分数加减法速算与巧算

分数加减法速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生熟记加 减法运算规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。 知识点拨 一、基本运算律及公式 一、加法 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。即： a＋b＝b＋a 其中 a，b 各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15. 总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变． 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数； 或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。 即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 其中 a，b，c 各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5 ＋(6＋8). 总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加， 其和不变。 二、减法 在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时 要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c ＝a＋c－b，其中 a，b，c 各表示一个数． 在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么 去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号， 那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”． 如：a＋（b－c）＝a＋b－c a－（b＋c）＝a－b－c a－（b－c）＝a－b＋c 在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”， 那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那 么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。 如：a＋b－c＝a＋（b－c） a－b＋c＝a－（b－c） a－b－c＝a－（b＋c） 二、加减法中的速算与巧算 速算巧算的核心思想和本质：凑整 常用的思想方法： 1、 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减 数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就 是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中 的一个数叫做另一个数的“补数”． 2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆 数”凑整． 3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加， 然后再与其它的数相加． 4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时， 选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数 加上） 例题精讲 【例 1】 1 14 104 1004 2 28 208 2008     _____ 【考点】分数约分 【难度】1 星 【题型】计算 【关键词】希望杯，五年级，一试 【解析】原式= 1 1 1 1 =22 2 2 2    【答案】 2 【例 2】 如果 1 1 1 2072 65009 A   ，则 A  ________（4 级） 【考点】分数约分 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，一试 【解析】 1 1 1 1 1 259 1 2072 65009 8 7 37 7 37 251 259 2008 2008         ，所以 A=2008. 【答案】 2008 模块一：分组凑整思想 【例 3】 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1995 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 1995 1995 1995 1995                  【考点】分组凑整 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】观察可知分母是 1 的和为 1；分母是 2 的和为 2；分母是 3 的和 为 3；……依次类推；分母是 1995 的和为 1995.这样，此题简 化成求1 2 3 1995    的和. 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1995 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 1995 1995 1995 1995                  1 2 3 4 1995 1 1995 1995 2 998 1995 1991010               ( ) 【答案】1991010 【例 4】 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 18 18 19 2 3 4 20 3 4 5 20 4 5 20 19 20 20                                          【考点】分组凑整 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】观察可知分母是 2 分子和为 1 分母是 3 分子和为1 2 ；分母是 4 分子和为1 2 3  ；……依次类推；分母是 20 子和为1 2 3 19    . 原式  1 1 1 1(1 2) (1 2 3) 1 2 3 192 3 4 20                  1 1 1 1(1 2) 2 2 (1 3) 3 2 1 19 19 22 3 4 20                  1 2 3 19 952 2 2 2       【例 1】 分母为 1996 的所有最简分数之和是_________ 【考点】分组凑整 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】因为 1996=2×2×499。所以分母为 1996 的最简分数，分子不能 是偶数，也不能是 499 的倍数，499 与 3×499。因此，分母为 1996 的所有最简真分数之和是 1 1995 3 1993 501 1495 997 999( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 4981996 1996 1996 1996 1996 1996 1996 1996             【答案】 498 【巩固】【巩固】所 有 分 母 小 于 30 并 且 分 母 是 质 数 的 真 分 数 相 加 ， 和 是 __________。 【考点】分组凑整 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】小于 30 的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29 共十 个，分母为 17 的真分数相加，和等于 1 16 2 15 3 14 8 9( ) ( ) ( ) ( ) 817 17 17 17 17 17 17 17           17 1 2  。 类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。因此，所求的 和是 1 3 1 5 1 7 1 11 1 13 1 17 1 19 1 23 1 29 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                  1 11 2 3 5 6 8 9 11 14 592 2            【答案】 159 2 模块二、位值原理 【例 5】 4 4 4 4 49 99 999 9999 999995 5 5 5 5     【考点】位值原理 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】原式 4 4 4 4 49 99 999 9999 999995 5 5 5 5           4 4 4 4 49 99 999 9999 99999 5 5 5 5 5           410 100 1000 10000 100000 5 55         111109 【答案】111109 【例 6】 1 1 1 11 2 3 102 6 12 110      ． 【考点】位值原理 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】原式   1 1 1 11 2 3 10 2 6 12 110               1 1 1 1 1 1 155 1 2 2 3 3 4 10 11              155 1 11       105511  【答案】 105511 【巩固】【巩固】 1 1 1 1 1 11993 1992 1991 1990 12 3 2 3 2 3       【考点】位值原理 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】本题需要先拆分在分组，然后在做简单的等差数列求和 1 1 1 1 1 11993 1992 1991 1990 12 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 11993 1992 1991 1990 1 02 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 11993 1992 1991 1990 1 02 3 2 3 2 3 1 1 1 1(1993 1992 1991 1990 1 0) 2 3 2 3                                                                                 1994 2 997 1 1 2 3 1 997 1 997 1 1(1 1 1) 997 9972 3 2 3                              个 997 1 1997 997 166 11636 6 6      【答案】 11163 6 【巩固】【巩固】 1 1 1 11 2 3 42 3 4 6     _______ 【考点】位值原理 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】走美杯，五年级，初赛 【解析】 原式 1 1 1 11 2 3 4 2 3 6 4         1 14 1 44 4     【答案】 14 4