四川省德阳市2020届高三一诊考试理科数学试卷

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四川省德阳市2020届高三一诊考试理科数学试卷

德阳市高中2017级“一诊”考试数学试卷(理工农医类)‎ 第Ⅰ卷(选择题)‎ 一、选择题 ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 先确定集合中的元素,再由交集定义求解.‎ ‎【详解】由题意,∴.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算,掌握交集的定义是解题基础.‎ ‎2.已知为虚数单位,、,,,则( )‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等式去分母化简后根据复数的相等求出,再计算.‎ ‎【详解】∵,∴,即,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算与复数相等,解题关键是利用复数相等的定义求出实数.‎ ‎3.已知向量与向量共线,则实数的值为( )‎ A. B. 或0 C. 3 D. 3或0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线的坐标运算可求得值.‎ ‎【详解】由题意,解得或.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查向量共线的坐标表示,即,则.‎ ‎4.执行如图所示的程序框图,若输入的,,则输出的结果是( )‎ A. 24 B. 28 C. 34 D. 40‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟程序运行,观察变量值的变化情况,判断循环条件,得出结论.‎ ‎【详解】模拟程序运行,,,,判断否;‎ ‎,,判断否;‎ ‎,,判断否;‎ ‎,,判断是;‎ 输出.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查程序框图,解题时可模拟程序运行,判断循环条件,确定输出结论.‎ ‎5.已知的展开式中的系数是,则实数a的值为( )‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出展开式中和的系数,由多项式乘法法则可得结论.‎ ‎【详解】由题意,.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理,考查求二项展开式系数,注意多项式乘法法则的应用.‎ ‎6.为贯彻执行党中央“不忘初心,牢记使命”主题教育活动,增强企业的凝聚力和竞争力。某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武,根据以往技术资料统计,某工人装配第n件工件所用的时间(单位:分钟)大致服从的关系为(k、M为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟,那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是( )‎ A. 40分钟 B. 35分钟 C. 30分钟 D. 25分钟 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从函数式可看出,该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟,说明,这样由可求得,而,因此与的表达式一样,由此可得.‎ ‎【详解】由已知该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟,及函数的解析式知,∴,又,∴.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的应用.在已知函数模型的情况下,解题关键是求出函数式中的参数.为此可根据函数式提供的性质确定已知条件应该选用的表达式,求出相应参数,本题有求出,实际上还可以再根据求出,再由确定所用表达式.‎ ‎7.已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且与椭圆交于P、Q两点,则(是椭圆的右焦点)的周长为( )‎ A. B. 24 C. D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由抛物线的准线过椭圆的左焦点求出,得椭圆的长轴长,而的周长等于两倍的长轴长.‎ ‎【详解】由题意抛物线准线为,,∴,解得.‎ ‎∴,,∴的周长为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的准线方程,考查椭圆的几何性质,考查椭圆的定义,解题关键是求出值.‎ ‎8.在三棱锥中,PA、PB、PC两两垂直,,Q是棱BC上一个动点,若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为,则该三棱锥外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得平面,因此当时,直线AQ与平面PBC所成角最大,此时可求得,从而求得,又以为棱的长方体的对角线就是三棱锥外接球直径,从而可求得其表面积.‎ ‎【详解】∵PA与PB、PC垂直,∴平面,‎ ‎∴是在平面内的射影,就是直线与平面所成的角,‎ 由平面得,,要使最大,则最小,‎ 显然当时,最小,此时,‎ 又,∴,而,∴,‎ 由,得,从而,‎ 如图,以为棱作出长方体,此长方体的外接球就是三棱锥的外接球,外接球直径等于长方体的对角线长,‎ ‎∴球表面积为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查求球表面积,解题关键是要求出球的半径.由于两两垂直,因此以它们为棱作出长方体,此长方体的外接球就是三棱锥的外接球,长方体的对角线就是球的直径.由此可得解.‎ ‎9.函数与的图象相交于M、N两点,O为坐标原点,则的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程求出坐标,再计算面积.‎ ‎【详解】由得,即,‎ ‎,,∴,‎ ‎∵,∴或,∴,.‎ 由对称性知与轴交点为,‎ ‎∴.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查求三角形面积,求两函数图象交点坐标,实质是考查解三角方程,考查同角间的三角函数关系,考查特殊角的三角函数.解三角形方程要注意角的范围.‎ ‎10.已知H为的垂心,,,M为边BC的中点,则( )‎ A. 20 B. 10 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量的线性运算,,,而,代入计算即可.‎ ‎【详解】由题意,,,‎ ‎.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积,解题关键是利用向量加减法法则得到,由,这样=,这两个向量都可以用表示,这就与已知条件建立了联系.‎ ‎11.已知奇函数满足,则代数式的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数定义求出,确定函数的单调性,化简不等式得满足的关系,再由代数式的几何意义求得取值范围.‎ ‎【详解】∵奇函数,‎ ‎∴当时,,,‎ ‎∴,∴,‎ 即.在上是增函数.‎ 则不等式可化为,‎ ‎∴,,.‎ 满足条件的点在直线的左上方,‎ 而表示点到点间距离的平方,,‎ ‎∴.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性,考查二元一次不等式表示的平面区域,考查两点间的距离与点到直线的距离公式.函数的单调性与奇偶性属于基础应用,代数式是平方和形式时,用其几何意义:两点间距离的平方求解更加方便.‎ ‎12.已知曲线,相邻对称轴之间的距离为,且函数在处取得最大值,则下列命题正确的个数为( )‎ ‎①当时,m的取值范围是;②将的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数;③函数的最小正周期为;④函数在区间上有且仅有一个零点.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把函数化为一个角的一个三角函数形式,利用在处取最大值,可求出的表达式(用表示),①由的范围求出的范围,从而中得的范围,②可举反例;③利用周期函数的性质判断,即周期是,周期是,如果存在,使得,则是的周期.④确定函数解析式后可知在所给区间上零点有无数个.‎ ‎【详解】函数的相邻对称轴之间的距离为,则周期为,∴,‎ ‎,其中,,,‎ 在处取最大值,则,,,‎ ‎①若,则,,,解得,正确.‎ ‎②如,时函数取最大值,将的图象向左平移个单位后得,不是偶函数,错;‎ ‎③中,是最小正周期是,的最小正周期是,但的最小正周期还是,正确;‎ ‎④时,,因此在区间上有无数个零点,错;‎ ‎∴正确的命题有2个.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象与性质,解题时可先把函数化为一个角的一个三角函数形式,然后结合三角函数性质一一判断,其中周期函数的性质是:的最小正周期是,的最小正周期是,如果存在,使得,则是的周期.本题考查知识很多,属于难题.‎ 第Ⅱ卷(非选择题)‎ 二、填空题:‎ ‎13.国际青年物理学家竞赛(简称IYPT)是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛事,某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量u、v进行测量,得到10组数据,……,通过散点图发现u、v具有较强的线性相关关系,并且利用最小二乘法求得线性回归方程:,由于数据保存失误导致丢失,但被保存,通过所学知识可以求得______.‎ ‎【答案】85‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用回归直线过中心可求解.‎ ‎【详解】由题意,∴,∴.‎ 故答案为:85.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归直线方程,解题关键是掌握回归直线一定过数据中心点.‎ ‎14.已知递增等比数列的前n项和为,且满足:,,则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件求出公比,再求出后可得结论.‎ ‎【详解】设等比数列公比为,则,又数列是递增的,∴,‎ ‎∴,,,.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式,属于基础题.‎ ‎15.已知,若正数a、b满足,且的最小值为1,则实数的值为______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出满足的关系,然后利用基本不等式求出的最小值,再由最小值为1可得.‎ ‎【详解】∵,,∴,即,‎ ‎∴,当且仅当时等号成立.‎ ‎∴,.‎ 故答案为:9.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式求最值.解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的定值,然后才可用基本不等式求最值,同时还要注意等号成立的条件,等号成立的条件取不到,这个最值也取不到.‎ ‎16.已知当时,均有不等式成立,则实数a取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可分类讨论,时,恒成立,只要研究即可,这可用导数研究;时,可得与都是增函数,且都有唯一零点,因此只要使它们的零点相同即可满足题意;直接验证.‎ ‎【详解】时,不等式为,不恒成立;‎ 时,,令,,由得,‎ 当时,,递增,时,,递减,‎ ‎∴时,,要使命题成立,则,;‎ 时,函数是增函数,在唯一零点,‎ ‎,,即增函数,,但当时,,所以有唯一零点,要使不等式恒成立,只有,‎ ‎∴,,‎ 综上的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题.解题关键是把不等式中两个式子和分别研究,减少了难度.否则把不等式左边作为一个函数研究将会非常难,甚至不可进行.‎ 三、解答题 ‎17.垃圾分类是改善环境,节约资源的新举措.住建部于6月28日拟定了包括我市在内的46个重点试点城市,要求这些城市在2020年底基本建成垃圾分类处理系统.为此,我市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试,将所得测试成绩整理后,绘制出频率分布直方图如图所示.‎ ‎(1)求频率分布直方图中a的值,并估计测试的平均成绩;‎ ‎(2)将频率视为相应的概率,如果从参加测试的同学中随机选取4名同学,这4名同学中测试成绩在的人数记为,求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(1),76.5;(2)分布列见解析,2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用频率分布直方图中所有频率之和为1(即所有小矩形面积之和为1)可计算出,每组中间点值乘以该组频率相加可得估计的平均成绩;‎ ‎(2)由(1)得成绩在的频率为,因此有,的可能取值为:0,1,2,3,4,由二项分布计算出各概率得分布列,由期望公式可计算出期望值.‎ ‎【详解】(1)由题意得:‎ 所以:,‎ 平均成绩为:.‎ ‎(2)易知测试成绩在的频率为 故.‎ 的可能取值为:0,1,2,3,4‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图,考查二项分布,属于基础题,对学生的数据处理能力有一定的要求.‎ ‎18.已知等差数列的前n项和.‎ ‎(1)求实数b的值及的通项公式;‎ ‎(2)若,且,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1)0,;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由求出,由时,求出,利用必成等差数列可求得,从而得.‎ ‎(2)由(1)可求得,对裂项为,再相加.‎ ‎【详解】(1)由于 所以当时,‎ 当时,‎ 又数列是等差数列,故,即 所以.‎ 易验证此时数列是以2为首项,2为公差的等差数列,.‎ ‎(2)由题意及(1)知:‎ 所以 从而.,‎ ‎【点睛】考查等差数列的通项公式,考查已知与的关系求数列通项公式,考查裂项相消法求数列的和.已知与的关系求数列通项公式时,要注意只有时才有,不包含,,它们的计算方法不一样,注意验证.‎ ‎19.在中,内角A、B、C的对边分别记为a、b、c,且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若的面积,,求的周长.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)用诱导公式、降幂公式化简,再用正弦定理化边为角,由两角和的正弦公式化简,最后再由正弦定理化角为边得结论;‎ ‎(2)已知可求得,由面积公式可得,再由余弦定理结合(1)的结论可求得,从而得三角形周长.‎ ‎【详解】(1)由及得:‎ 即 由正弦定理得:‎ 所以,即 所以.‎ ‎(2)由,得:‎ 又,所以 又由余弦定理得:‎ 又由(1)得:,所以 所以的周长.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式,考查诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系、两角和的正弦公式等,考查知识点较多,但也较基本.熟练掌握三角函数的公式是解题基础,根据条件选用恰当的公式是解题关键.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)求在区间上的最大值和最小值;‎ ‎(2)在曲线上是否存在点P,使得过点P可作三条直线与曲线相切?若存在,求出其横坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)当时,,;当时,,;当时,,;(2)存在,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出导数,确定函数的单调性,然后按分类讨论;‎ ‎(2)假设存在符合条件的点,同时设切点为,由导数几何意义得即(*),问题转化为关于的方程(*)存在三个不同实根.然后用导数研究函数的零点.‎ ‎【详解】(1)由题意得:‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 当时,.‎ 即在单调递增,在单调递减,在单调递增 又的零点分别为,0,‎ 所以当时,,;‎ 当时,,;‎ 当时,,.‎ ‎(2)假设存在符合条件的点,切点设为 所以即(*)‎ 故问题转化为关于的方程(*)存在三个不同实根.‎ 令,则 当时,,在R上单调递增,不合题意;‎ 当时,易知在单调递增,在单调递减,在单调递增 从而,即 解得:‎ 当时,易知在单调递增,在单调递减,在单调递增 从而,即 解得:‎ 综上,存在符合条件的点P,其横坐标的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的最值,考查导数的几何意义,考查方程根的分布与函数零点问题.‎ 掌握基本方法即可解决问题,但对运算求解能力有一定的要求.‎ ‎21.已知函数的极小值为.‎ ‎(1)求实数k的值;‎ ‎(2)令,当时,求证:.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出导数,研究函数的单调性,得极值,由极小值为求得值;‎ ‎(2)由(1)得,令,同样由(1)可得的单调性(导数利用(1‎ ‎)中结论),这样得到关于u的不等式的解集应是单调递增区间的子集,而,从而,接着要证题中不等式,可先证,这又可设,,换元后同样由导数研究函数的单调性最值,证得不等式成立.‎ ‎【详解】(1)显然,,由题意得:‎ 令得:‎ 若,则当时,;‎ 当时,,此时为极小值点,合题意.‎ 由得:.‎ 若,显然不合题意.‎ 所以.‎ ‎(2)由题意得:,令 由(1)易知在单调递减,且;在单调递增 故关于u的不等式:的解集应是单调递增区间的子集 又,从而 令 ‎.‎ 令,则 所以 显然当时,;当时,‎ 从而在单调递增,在单调递减 所以 又,所以,从而 于是,即 又 故.‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值,用导数解不等式、证明不等式,解不等式实际上是由函数的单调性求解.用导数证明不等式实际上还是转化为求函数的最值、值域问题.这通过设出新的函数,通过研究新函数的性质给出证明.解题时注意适当的变形,注意换元法的应用.本题难度较大,属于困难题.‎ ‎22.在极点为O的极坐标系中,直线上有一动点P,动点M在射线OP上,且满足,记M的轨迹为C.‎ ‎(1)求C的极坐标方程,并说明C是何种曲线;‎ ‎(2)若,,均在曲线C上,求的面积.‎ ‎【答案】(1),C是除去极点的圆;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)既然是求极坐标方程,因此设,,根据已知条件得出它们极坐标的关系,代入已知极坐标方程可得;‎ ‎(2)由曲线的极坐标方程,求出,根据三点的极角求出,从而得,及,,然后可得三角形面积.‎ ‎【详解】(1)设,,由题意得 所以 又,所以 C是除去极点的圆:.‎ ‎(2)由已知,,‎ 因为 所以且 ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查求极坐标方程,考查极坐标方程的应用.注意极坐标的意义即可.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若实数a、b、c满足,求证:.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用绝对值三角不等式证明;‎ ‎(2)用柯西不等式证明.‎ ‎【详解】(1)因为 所以.‎ ‎(2)因为,所以由柯西不等式得 ‎(当且仅当时取等号).‎ ‎【点睛】本题考查绝对值三角不等式和柯西不等式.掌握这两个不等式是解题关键.‎ ‎ ‎
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