高中数学选修2-1公开课课件2_2_1椭圆及其标准方程

高中数学选修2-1公开课课件2_2_1椭圆及其标准方程

如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？ 生活中的椭圆 一 . 课题引入： 行星运行的轨道 我们的太阳系 2.1.1 椭圆及其标准方程 问题 1 ：圆的几何特征是什么？ 平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆。 圆的形成 问题 2 ：如果我们将圆定义中的一个定点改变成两个定点，动点到定点距离的定长改变成动点到两定点的距离之和为定长。那么，将会形成什么样的轨迹曲线呢？ 数 学 实 验 (1) 取一条细绳， (2) 把它的两端 固定在板上的两 点 F 1 、 F 2 (3) 用铅笔尖 （ M ）把细绳拉 紧，在板上慢慢 移动看看画出的 图形 F 1 F 2 （ 1 ）在画出一个椭圆的过程中， F 1 、 F 2 的位置是固定的还是运动的？ （ 2 ）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ （ 3 ）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？ 想一想 F 1 F 2 M ︳F 1 F 2 ︱=2c ︱MF 1 ︳+︱MF 2 ︳=2a 2a>2c 思考 若 2a<2c ，则轨迹为＿＿＿＿。 若 2a=2c ，则轨迹为＿＿＿＿。 线段 不存在 平面内到两定点 F 1 、 F 2 的距离之和等于常数 ( 大于 |F 1 F 2 |) 的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做焦距． 椭圆的定义 F 1 F 2 M 椭圆的定义 平面内与两个定点 F 1 、 F 2 的 __________________________ 的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 _____ ， _______________ 叫做椭圆的焦距． 想一想 ： 在椭圆定义中，将 “ 大于 | F 1 F 2 |” 改为 “ 等于 | F 1 F 2 |” 或 “ 小于 | F 1 F 2 |” 的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 自学导引 1 ． 距离之和等于常数 ( 大于 | F 1 F 2 |) 焦点 两焦点间的距离 小结（ 1 ）：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ 平面上 ---- 这是大前提 动点 M 到两个定点 F 1 、 F 2 的距离之和是常数 2a 常数 2a 要大于焦距 2C (2a>2c) 探究 : 感悟 : (1) 若 |MF 1 |+|MF 2 |>|F 1 F 2 |,M 点轨迹为椭圆 . (1) 已知 A(-3,0),B(3,0),M 点到 A,B 两点的距离和为 10 , 则 M 点的轨迹是什么 ? (2) 已知 A(-3,0),B(3,0),M 点到 A,B 两点的距 离和为 6 , 则 M 点的轨迹是什么 ? (3) 已知 A(-3,0),B(3,0),M 点到 A,B 两点的距 离和为 5 , 则 M 点的轨迹是什么 ? 椭圆 线段 AB 不存在 (3) 若 |MF 1 |+|MF 2 |<|F 1 F 2 |,M 点轨迹不存在 . (2) 若 |MF 1 |+|MF 2 |=|F 1 F 2 |,M 点轨迹为线段 . 化 简 列 式 设 点 建 系 标准方程的推导 ♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 建立平面直角坐标系通常遵循的原则： “ 对称”、“简洁” O x y O x y O x y M F 1 F 2 方案一 O x y 方案二 F 1 F 2 M O x y 化 简 列 式 设 点 建 系 F 1 F 2 x y 以 F 1 、 F 2 所在直线为 x 轴，线段 F 1 F 2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系． P ( x , y ) 设 P ( x ， y ) 是椭圆上任意一点 设 | F 1 F 2 |=2 c ，则有 F 1 (- c ， 0) 、 F 2 ( c ， 0) F 1 F 2 x y P ( x , y ) 椭圆上的点满足 | PF 1 |+| PF 2 | 为定值，设为 2 a ，则 2 a >2 c 则： 设 得 即： O 标准方程的推导 b 2 x 2 +a 2 y 2 =a 2 b 2 它表示： ① 椭圆的焦点在 x 轴 ② 焦点坐标为 F 1 （ -C ， 0 ）、 F 2 （ C ， 0 ） ③ c 2 = a 2 - b 2 椭圆的标准方程 ⑴ F 1 F 2 M 0 x y 椭圆的标准方程 ⑵ 它表示 : ① 椭圆的焦点在 y 轴 ② 焦点是 F 1 （ 0 ， -c ）、 F 2 （ 0 ， c ） ③ c 2 = a 2 - b 2 x M F 1 F 2 y O 观察下图，你能从中找出表示 c,a, 的线段吗？ ( 课本 33 页思考 ) P F 1 F 2 O x y 因为 c 2 =a 2 － b 2 所以 c a b 思考：当椭圆的焦点在 y 轴上时 , 它的标准方程是怎样的呢 椭圆的标准方程 1 2 y o F F M x y x o F 2 F 1 M 定 义 图 形 方 程 焦 点 F(±c ， 0) F(0 ， ±c) a,b,c 之间的关系 c 2 =a 2 -b 2 |MF 1 |+|MF 2 |=2a 小 结： 椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 _________ ________ __________ ________ 焦点坐标 _______________ ______________ a 、 b 、 c 的关系 c 2 ＝ ______ ( a ＞ b ＞ 0) ( a ＞ b ＞ 0) ( － c ， 0) ， ( c ， 0) (0 ，－ c ) ， (0 ， c ) a 2 － b 2 2 ． 自学引导 椭圆的标准方程的再认识： （ 1 ）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是 1 ； （ 2 ）椭圆的标准方程中三个参数 a 、 b 、 c 始终满足 c 2 = a 2 -b 2 （不要与勾股定理 a 2 +b 2 =c 2 混淆）； （ 3 ）由椭圆的标准方程可以求出三个参数 a 、 b 、 c 的值； （ 4 ）椭圆的标准方程中， x 2 与 y 2 的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上 . 椭圆标准方程的特点 (1) a 、 b 、 c 三个基本量满足 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 且 a > b >0 ， 其中 2 a 表示椭圆上的点到两焦点的距离之和， 可借助如图所示的几何特征理解并记忆． (2) 利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看 x 2 ， y 2 的分母的大小， 哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是 a 2 ，较小的分母是 b 2 . 2 ． 名师点睛 判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明 a 2 、 b 2 ，写出焦点坐标 答：在 X 轴。（ - 3 ， 0 ）和（ 3 ， 0 ） 答：在 y 轴。（ 0 ， - 5 ）和（ 0 ， 5 ） 答：在 y 轴。（ 0 ， - 1 ）和（ 0 ， 1 ） 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。 巩固概念 应用举例 a>3 00 是常数 ) ． 又 ∵ | PQ | ＝ | PF 2 | ， ∴ | PF 1 | ＋ | PQ | ＝ 2 a ，即 | QF 1 | ＝ 2 a . ∴ 动点 Q 的轨迹是以 F 1 为圆心， 2 a 为半径的圆，故选 A. 答案　 A 10 ．椭圆 的两个焦点为 F 1 和 F 2 ，点 P 在椭圆上，线段 PF 1 的中点在 y 轴上，那么 | PF 1 | 是 | PF 2 | 的 ________ 倍． 解析　 依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为 F 1 ( － 3 ， 0) ， F 2 (3 ， 0) ，设 P 点的坐标为 ( x 1 ， y 1 ) ， 由线段 PF 1 的中点的横坐标为 0 ，知 ＝ 0 ， ∴ x 1 ＝ 3. 把 x 1 ＝ 3 代入椭圆方程 ， 得 y 1 ＝ ± ，即 P 点的坐标为 (3 ， ± ) ， ∴ | PF 2 | ＝ | y 1 | ＝ . 由椭圆的定义知 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 4 ， ∴ | PF 1 | ＝ 4 － | PF 2 | ＝ 即 | PF 1 | ＝ 7| PF 2 |. 答案　 7