高考数学 17-18版 第9章 热点探究训练5
热点探究训练(五)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________. 【导学号：62172257】
－或－ [由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．
设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，
解得k＝－或k＝－.]
2．若圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．
(－∞，4) [圆的方程可变为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，
可知圆心(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.
∵圆关于直线y＝x＋2b对称，
∴点(1，－3)在直线上，则b＝－2.
∴a－b＝2＋a<4.]
3．已知m，n为正整数，且直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则2m＋n的最小值为________．
9 [直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，
∴2n＝m(n－1)，
∴m＋2n＝mn，
又m>0，n>0，得＋＝1.
∴2m＋n＝(2m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9.
当且仅当＝时取等号．
∴2m＋n的最小值为9.]
4．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是________．
[因l与圆x2＋y2＝1有公共点，则l的斜率存在，设斜率为k，所以直线l的方程为y＋1＝k(x＋)，
即kx－y＋k－1＝0，
则圆心到l的距离d＝.
依题意，得≤1，解得0≤k≤.
故直线l的倾斜角的取值范围是.]
5．若圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有两点到直线2x＋y＋c＝0(c>0)的距离等于1，则c的取值范围为________．
(，3) [圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径r＝2，要使圆上恰有两点到直线2x＋y＋c＝0(c>0)的距离为1，则1<<3，
解得
0，故c的取值范围为(，3)．]
6．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为________. 【导学号：62172258】
x－2y＋3＝0 [当CM⊥l，即弦长最短时，∠ACB最小，kCM＝－2，
∴kl·kCM＝－1，∴kl＝，
∴l的方程为：x－2y＋3＝0.]
7．在圆x2＋y2＝4上与直线l：4x＋3y－12＝0的距离最小的点的坐标是________．
[过圆(0,0)与直线l垂直的直线方程为3x－4y＝0，由解得或结合图象(图略)可知所求点的坐标为.]
8．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是________．
2＋，2－ [如图，圆心(1,0)到直线AB：2x－y＋2＝0的距离为d＝，
故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是＋1，最小值是－1，又AB＝，故△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋，2－.]
9．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为________．
2 [圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．
化为：(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.
圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1.
∵圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，∴＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤(a2＋b2)＝2.∴ab的最大值为2.]
10．(2017·苏州模拟)设曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为________．
2 [由(x－2)2＋(y＋1)2＝9，得圆心坐标为(2，－1)，半径r＝3，圆心到直线l的距离d＝＝＝.
要使曲线上的点到直线l的距离为，此时对应的点在直径上，故有两个点．]
二、解答题
11．在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.
(1)求圆C的方程；
(2)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论.
【导学号：62172259】
[解] (1)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b；令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(2)圆C必过定点(0,1)，(－2,1)．
证明如下：原方程转化为(x2＋y2＋2x－y)＋b(1－y)＝0，即解得或
12．(2017·南京盐城二模)如图4，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.
图4
问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？
[解] 如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.
设A(a,0)，B(0，b)(0＜a＜1,0＜b＜1)，
则直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
因为AB与圆C相切，所以＝1.
化简得 ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2.
因此AB＝＝
＝
＝.
因为0＜a＜1,0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2，
于是AB＝2－(a＋b)．
又ab＝2(a＋b)－2≤2，
解得0＜a＋b≤4－2或a＋b≥4＋2.
因为0＜a＋b＜2，所以0＜a＋b≤4－2，
所以AB＝2－(a＋b) ≥2－(4－2)＝2－2，
当且仅当a＝b＝2－时取等号，
所以AB的最小值为2－2，此时a＝b＝2－.
即当A，B两点离道路的交点都为2－百米/时，小道AB最短．
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是________．
[设∠PCA＝θ，所以PQ＝2sin θ.
又cos θ＝，AC∈[3，＋∞)，所以cos θ∈，
所以cos2θ∈，sin2θ＝1－cos2θ∈，
所以sin θ∈，所以PQ∈.]
2．已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A，B两点，则AB的最小值为__________．
4 [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．要使弦AB最短，只需弦心距最大，根据图形知点P(1,3)到圆心的距离最大，则OP＝，圆的半径为.
∴ABmin＝2＝2＝4.]
3．(2017·连云港、徐州、淮安、宿迁四市一调)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3,4)，B(9,0)，若C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD.
图5
(1)若AC＝4，求直线CD的方程；
(2)证明：△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O)．
[解] (1)因为A(－3,4)，所以OA＝＝5，
又因为AC＝4，所以OC＝1，所以C，
由BD＝4，得D(5,0)，所以直线CD的斜率为＝－，
所以直线CD的方程为y＝－(x－5)，即x＋7y－5＝0.
(2)证明：设C(－3m,4m)(00)，
则由4＋s2＝8，所以△ABC的外接圆的方程为x2＋(y－2)2＝8.
(3)假设存在这样的点M(m，n)，设点P的坐标为(x，x＋t)，因为恒有PM＝PQ，所以(x－m)2＋(x＋t－n)2＝x2＋(x＋t－2)2－8，
即(2m＋2n－4)x－(m2＋n2－2nt＋4t＋4)＝0，对x∈R，恒成立，
从而
消去m，得n2－(t＋2)n＋(2t＋4)＝0.
因为方程判别式△＝t2－4t－12，所以
①当－2
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