高考数学专题复习（精选精讲）练习8-概率习题精选精讲

高考数学专题复习（精选精讲）练习8-概率习题精选精讲

习题精选精讲 概 率 ‎（1）随机事件——概率学把“可能性”引进数学 在概率学中，我们称一定发生的事件为必然事件，不可能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件. ‎ 概率也就是事件发生的可能性.所以必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，而随机事件的概率在区间（0，1）之中.‎ 【例1】 同时掷两枚骰子，则以下事件各是什么事件？‎ （1） 点数之和是正整数；‎ （2） 点数之和小于2；‎ （3） 点数之和是3的倍数.‎ ‎【解析】（1）是必然事件，（2）是不可能事件；（3）是随机事件.‎ ‎（2）等可能事件——概率公式的起源 如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且这n个结果出现的可能性相同，则称这类事件为等可能事件.由此导出基本概率公式是：.（其中n和 m分别表示基本事件总数和事件A发生的次数.）‎ ‎【例2】将一枚骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 （ ）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎【解析】抛掷一枚骰子后，出现任何一面的可能性相同.所以本题属于等可能事件.‎ 一枚骰子连续抛掷三次，则基本事件总数；设事件A；连掷3次所得点数依次成等差数列，那么3数相等时有111，222，…666等六种；3数不相等时有123，234，345，456，135，246及其反序数等12个.于是事件A发生的次数种.‎ 故.选B.‎ ‎（3）互斥事件——概率的加法原理 在某种试验中，不能同时发生的事件称为互斥事件.如果A、B是互斥事件，那么：‎ ‎.‎ ‎【例3】在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析】设小球标注的数字之和为3与6的事件分别为A、B.显然A与B不能同时成立，是互斥事件.‎ 由于基本事件总数事件A只有1+2=3一种，；事件B有1+5=2+4=6两种，.∵A与B互斥，.选A.‎ ‎（4）对立事件——两互斥事件的特写 在一次试验中，如果事件A与B一定恰有一个发生，则称事件A与B是对立事件.‎ 注意对立事件必然互斥，但是互斥事件不一定对立.‎ 一般地，记A的对立事件为.由于A与具有互补性，所以.这是简化概率计算的基本公式.‎ ‎【例4】8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少?‎ ‎【解析】 我们用a、b分别记八个队中的两个强队.‎ 令C=“a队与b队分在同一组”，‎ 则=“a队与b队不在同一组”.‎ a队与b队不在同一组，只能分成两种情况：a队在第一组，b队在第二组，此时有C·C＝C种分法；a队在第二组，b - 19 -‎ - 19 -‎ 习题精选精讲 队在第一组，此时有C·C＝C种分法.这些分法中任何两种都是不同的，因此，有C+ C种分法.‎ 八个队平分成的两组的分法共C·C= C种.每一种分法是一基本事件，任何两个基本事件都是等可能的.这样，P()=，‎ ‎∴P(C)=1-P()=1-=.‎ ‎【点评】 应抓住两个强队被分在一组和不同一组是对立的事件，由此入手来解之.‎ ‎（5）相互独立事件——概率的乘法原理 如果事件A与B的发生互相没有影响，则称事件A与B为相互独立事件.‎ 特别注意：不能将互斥事件与相互独立事件搞混，前者相互约束，而后者相互无关；前者不可能同时发生，而后者可以同时发生.‎ 如果A与B是相互独立事件，那么A与B同时发生的概率是：.‎ ‎【例5】甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 ．(答案用分数表示) ‎ ‎【分析】分别从甲、乙两袋中随机地取球，则取球的结果相互没有影响.所以本题中发生的事件是相互独立事件.‎ ‎【解析】两袋中各有6个球，则各取1球的基本事件总数为.‎ 设从甲袋中取出一个球是红球的事件为A，从乙袋中取出一个球是红球的事件为B，那么.故“取出的两球都是红球的概率”是.‎ ‎（6）独立重复试验——加法原理与乘法原理的复合 在调查某事件发生的概率时，往往要做大量重复的试验.这些试验不仅相互独立，而且都是同一类型的等可能事件.我们称这种试验为独立重复试验.‎ 独立重复试验中的概率计算公式是：.‎ ‎【例6】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）‎ ‎ (A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648‎ ‎【分析】两人赛球不止一局，且每局每人获胜的概率相同.所以本题这种赛球属于独立重复试验.‎ ‎【解析】设事件A：在“3局2胜”的球赛中甲获胜，则A有3种可能.‎ （1） 前两局甲胜，其概率为；‎ （2） ‎1、3局胜，2局负，其概率为 （3） 首局负，2、3局胜，其概率为 显然3种情况互斥，，故选D.‎ ‎【说明】本题虽然属于独立重复试验.的题型，却有不能死套公式.这是因为：如果甲前两局获胜，则无须打第3局.‎ ‎（7）和事件——概率计算与集合计数 - 19 -‎ - 19 -‎ 习题精选精讲 在某次试验中，如果事件A与B不互斥，则计算A与B都发生的概率不能用简单的加法，这是因为事件A与B含有交叉的部分，而这部分被重复计算一次，应该把重复计算的数据减去.和事件的正确计算方法是：.‎ ‎【例7】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．‎ ‎（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；‎ ‎（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．‎ ‎【分析】在题设的两项培训中，每个下岗人员都有3种选择方法：参加1项、两项或不参加培训.所以仅根据现有数据，无法判断哪些是仅参加了一项培训，哪些是两项培训都参加了的.所以本题属于典型的计算和事件的题型.‎ ‎【解析】设事件A表示参加财会培训，事件B表示参加计算机培训，则表示同时参加两项培训.‎ （I） 任选1名下岗人员，则该人参加过培训的概率是：‎ ‎.‎ （II） 设事件C表示3人中至少有2人参加培训，则事件表示3人中至多1人参加培训.‎ 根据（I），三人中无人参加培训的概率是；而三人中恰1人参加培训的概率是：.这两种情况互斥，‎ 于是3人中至少有2人参加培训的概率是 三类概率问题的求解策略 对于一个概率题，我们首先要弄清它属于哪一类型的概率，因为不同的类型需要采取不同类型的概率公式和求解方法；其次，要审清题意，注意问题中的关键语句，因为这些关键语句往往蕴含着解题的思路和方法。‎ 下面略举数例谈谈几种概率应用题的解题技巧和策略。‎ 一、可能性事件概率的求解策略 对于可能性事件的概率问题，除了要用到排列、组合的知识来解决外，还要用到排列、组合的解题思路和方法，同时，在利用概率的古典定义来求可能性事件的概率时，应注意按下列步骤进行：求出基本事件的总个数n;②求出事件A中包含的基本事件的个数m;③求出事件A的概率，即 例1 甲、乙两名学生参加某次英语知识竞赛，该竞赛共有15道不同的题，其中听力题10个，判断题5个，甲乙两名学生依次各抽一题。分别求下列问题的概率：‎ ‎（1）甲抽到听力题，乙抽到判断题；（2）甲乙两名学生至少有一人抽到听力题。‎ 解析 甲、乙依次抽一题的结果有（个）‎ ‎（1）甲抽到听力题、乙抽到判断结果有（个），故所求概率为；‎ ‎（2）（用间接法）甲、乙两名学生都抽不到听力题的结果有，其概率为，从而甲乙两名学生至少有一人抽到听力题的概率为。‎ 二、互斥事件概率的求解策略 对于互斥事件的概率问题，通常按下列步骤进行：①确定众事件彼此互斥；②众事件中有一个发生；先求出众事件分别发生的概率，然后再求其和。‎ 对于某些复杂的互斥事件的概率问题，一般应考虑两种方法：一是“直接法”，将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是用“间接法”，即先求出此事件的对立事件的概率，再用求出结果。‎ - 19 -‎ - 19 -‎ 习题精选精讲 例2 从12双不同颜色的鞋中任取10只，求至少有一双配对的概率。‎ 解析 直接法 记“取出10只鞋中恰好有1双、2双、3双、4双、5双配对的概率分别为、、、、‎ 则至少有一双配对的概率为 间接法 设至少有一双配对的概率为P（A），则为所抽的10只鞋都不配对的概率，即，所以 三、相互独立事件同时发生的概率的求解策略 对于相互独立事件同时发生的概率问题，其求解的一般步骤是：①确定众事件是相互独立的；②确定众事件会同时发生；③先求每个事件发生的概率，再求它们的积。‎ 例3 在我军的一场模拟空战演习中，我军甲、乙、丙三名飞行员向同一假想敌机炮击，已知甲乙丙三名飞行员击中敌机的概率分别为0.4、0.5和0.7。（1）求敌机被击中的概率；‎ ‎（2）若一名飞行员击中，敌机坠毁的概率是0.2，若两名飞行员击中，敌机坠毁的概率是0.6，若三名飞行员击中，则敌机必然坠毁，求敌机坠毁的概率。‎ 解析 （1）设P（A）、P（B）、P（C）分别表示甲、乙、丙三名飞行员击中敌机的概率，则三名飞行员同时没有击中敌机的概率为，故敌机被击中的概率为。‎ ‎（2）设一名飞行员击中，两名飞行员击中、三名飞行员击中敌机的事件分别为、、则 概率的计算方法 一、公式法 利用公式就可以计算随机事件的概率，这里，，如果A为不确定事件，那么0＜＜1．‎ 例1．中国体育彩票每100万张一组，每张2元，设特等奖1名，奖金30万元；一等奖10名，各奖5万元；二等奖10名，各奖1万元；三等奖100名，各奖100元；四等奖1000名，各奖20元；五等奖10万名，各奖2元．小王花2元买了1张彩票，那么他获奖的概率是多少？他得特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖的概率分别是多少？‎ 解：一组体育彩票等分成100万份，其中特等奖1份，一等奖是10份，二等奖是10份，三等奖100份，四等奖是1000份，五等奖是10万份，因此对于小王来说，有 ‎．‎ ‎；；；‎ ‎；；．‎ 二、列表法 例2．如果每组3张牌，它们的牌面数字分别是1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少？‎ 第一张牌的牌面数字 解：利用列表法：‎ 第二张牌的牌面数字 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（1，1）‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ - 19 -‎ - 19 -‎ 习题精选精讲 ‎2‎ ‎（1，2）‎ ‎（2，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎3‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（3，3）‎ 列表中两次出现1，2，3点的可能性相同，因而共有9中可能，而牌面数字和等于4的情况有（1，3），（2，2），（3，1），3中可能，所以牌面数字和等于4的概率等于，即．‎ 三、树状图法 如上题的另一中解法，就利用用树状图法来解：‎ ‎（5）‎ ‎（4）‎ 开始 ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（4）‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ 总共9种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字和等于4的情况出现得最多，共3次，因此牌面数字和等于4的概率最大，概率为等于，即．‎ 例3．求：连续掷一枚均匀的硬币，出现一正一反的概率．‎ 解：本题采用树状图分析法：‎ 正 反 反 正 开始 反 正 ‎（正，正）‎ ‎（正，反）‎ ‎（反，正）‎ ‎（反，反）‎ 由树状图知共有4种可能，出现“一正一反”的有两种，概率为，即．‎ 本题也可采用列表法来解：‎ 第2次 第1次 正 反 正 ‎（正，反）‎ ‎（反，正）‎ 反 ‎（正，反）‎ ‎（反，反）‎ 由表知共有4种可能，出现“一正一反”共2次，概率为，即．‎ 四、面积法 几何概型的概率的求解方法往往与面积的计算相结合 A B C D 例4．如图，矩形花园ABCD，AB为‎4米，BC为‎6米，小鸟任意落下，则小鸟落在阴影区的概率是多少？‎ 解：矩形面积为：4×6＝24（米），‎ 阴影部分面积为：（米），‎ ‎．‎ 练习：‎ ‎1．袋中装有3个红球，1个白球，除颜色外完全相同．‎ ‎（1）用实验的方法估计，从袋中随机摸出一球，是白球的概率．‎ ‎（2）计算从袋中随机摸出一球，是白球的概率是多少？‎ ‎（3）实验估计结果与理论概率一致吗？为什么？你认为要得到较为准确的估计值，应注意哪些问题？‎ ‎2．在摸牌游戏中，每组有三张牌，第一组牌面数字分别是2，3，4，第二组牌面数字分别是3，4，5，从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？是多少？‎ ‎3．三张除数字完全相同的纸牌，数字为1，2，3，每次抽取一张为一次实验，多少次实验后汇总下表：‎ 摸牌次数 ‎20‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ 奇数 ‎9‎ ‎28‎ ‎75‎ ‎172‎ ‎195‎ ‎176‎ ‎310‎ - 19 -‎ - 19 -‎ 习题精选精讲 奇数频率 ‎45％‎ ‎75％‎ ‎62％‎ ‎（1）将表格补充完整；‎ ‎（2）观察上面的表格，你估计出现奇数的概率为多少？‎ ‎（3）通过对表格的仔细观察，你有什么想法和感悟？‎ ‎4．一张有重要情报的纸片，被随意藏在下面涂有黑、灰、白三种颜色的图形中．‎ ‎（1）藏在那种颜色的区域的概率最大？‎ ‎（2）藏在哪两种颜色区域内的概率相同？‎ ‎（3）分别计算藏在三种颜色区域内的概率？‎ ‎5．下表左拦是五个装有一些彩色小球的口袋，右栏是五个愿望，请为每一愿望找一个口袋，使这一愿望最有希望实现．‎ 口袋 愿望 A袋中装着1个红球、19个白球 ‎①想取出一个黄球 B袋中装着20个红球 ‎②想取出一个绿球 C袋中装着10个红球、10个绿球 ‎③想取出一个白球 D袋中装着18个红球、1个黄球、1个白球 ‎④想取出一个红球 E袋中装着10个红球、6个白球、4个绿球 ‎⑤想同时取出一个白球和一个绿球 ‎6．如图3，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被均匀地分成4等分，每份分别标上1、2、3、4四个数字；转盘Ｂ被均匀地分成6等分，每份分别标上1、2、3、4、5、6六个数字，有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下：‎ ‎（1）同时自由转动转盘A与B；‎ ‎（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），用所指的两个数作乘积，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，那么乙胜（如转盘A指针指向3，转盘B指针指向5，3×5＝15，按规则乙胜）．‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ 图3‎ 你认为这样的规则是否公平？请说明理由；‎ 例析概率问题与各章知识的精彩交汇 ‎ 概率问题与函数知识的交汇 例1：多项飞碟是奥运会的竞赛项目，它是由抛靶机把碟靶（射击的目标）在一定范围内从不同的方向飞出，每抛出一个碟靶，就允许运动员射击两次.一运动员在进行训练时，每一次射击命中碟靶的概率P与运动员离碟靶的距离S（米）成反比，现有一碟靶抛出后S（米）与飞行时间t（秒）满足S=15（t+1），（0≤t≤4）.假设运动员在碟靶飞出后0.5秒进行第一次射击，且命中的概率为0.8，如果他发现没有命中，则通过迅速调整，在第一次射击后经过0.5秒进行第二次射击，求他命中此碟靶的概率？‎ ‎[解析]：设P=（K为非0常数），则P=当t=0.5秒时，P1=0.8 ,代入上式得K=18 ， ∴P=∴当t=1秒时，P2=0.6因此 P= P1+（1- P1）×P2=0.8+（1-0.8）×0.6=0.92‎ 一、 概率问题与向量、数列知识的交汇 ‎ 例2：从原点出发的某质点M，按向量a=(0,1)移动的概率为2/3，按向量b=（0，2）移动的概率为1/3，设M可到达点（0，n）的概率为Pn (1)求P1和P2的值；（2）求证：=;(3)求的表达式。‎ ‎[解析]：（1）P1= ，P2=（）2+=‎ ‎ （2）证明：M到达点（0，n+2）有两种情况：①从点（0，n+1）按向量a=（0，1）移动；②从点（0，n）按向量b=（0，2）移动.‎ ‎ ∴+ ∴=‎ ‎（3）数列{}是以P2-P1为首项，-为公比的等比数列. ‎ ‎= (P2-P1)(-)n-1=(-)n-1=(-)n+1,∴=(-)n,‎ - 19 -‎ - 19 -‎ 习题精选精讲 又∵=（）+（）+…+(P2-P1) =(-)n+(-)n-1+…+(-)2=()[1- (-)n-1]‎ ‎∴+()[1- (-)n-1]= (-)n 一、 概率问题与平面几何知识的交汇 ‎ 例3：两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去. 试求这两人能会面的概率？‎ ‎ [解析]：（如图）这是几何概型问题. 以X、Y分别表示两人到达时刻，建立直角坐标系如图：‎ ‎ 则0≤X≤60， 0≤Y≤60。两人能会面的充要条件是|X-Y|≤20‎ ‎∴P=‎ 二、 概率问题与立体几何知识的交汇 例4：质地均匀的三个几何体A、B、C. A是硬币，正面涂红色，反面涂黄色；B是正四面体涂了红黄蓝白四色，每面一色；C是正方体，每面涂一色，涂有红黄蓝三色，每种颜色两个面，在水平地面上依次投A、B、C各一次，几何体与地面接触的面的颜色称为“保留色”。‎ （1） 求A、B、C的“保留色”相同的概率；‎ （2） 求A、B、C的“保留色”恰为两个红色的概率；‎ （3） 求A、B、C的“保留色”互不相同的概率；‎ ‎[解析]：（1`）∵当A、B、C的“保留色”相同可分为同红或同黄，∴ P1==‎ ‎ （2）∵“恰为两个红色”有三种情况，即A、B同红色；B、C同红色；A、C同红色∴P2==‎ ‎ （3）解法（一）按先投A，再投C，最后投B的顺序可得P3==‎ 解法（二）按先投A，再投B，最后投C的顺序则需分两类，当B投得的“保留色”为白色时，则此时三者的“保留色”互不相同的概率是= ；‎ 当B投得的“保留色”不为白色时，则此时三者的“保留色”互不相同的概率是=，‎ ‎∴A、B、C的“保留色”互不相同的概率P3=+=‎ 解法（三）反面解之，P3=1- P1-2P2 - （其中为B、C同蓝色的概率）‎ 由上观之，对概率知识的学习，尤其是高三总复习阶段，如果能打破知识条块系统的限制，串点成线，寻找合适的知识载体，精心选编复习内容，在知识的交汇点，方法的多样性，思维的灵活性能力的综合性上讨论问题，将有利于提高学习效益.‎ 附相关练习及答案：‎ ‎1、从集合｛0，1，2，3，5，7，11｝中任取3个元素分别作为方程Ax+By+C=0中的A、B、C。所得直线恰好经过坐标原点的概率是 。 ‎ ‎2、将一个各个面上均涂有红颜色的正方体锯成64个同样大小的小正方体。‎ ‎(1)从这些小正方体中任取1个，其中恰好有奇数个面涂有红颜色的概率是多少？‎ ‎(2)从这些小正方体中任取2个，至少有一个小正方体的某个面或某几个面涂有红颜色的概率是多少？‎ ‎3.、在某物理实验中，有两粒子a，b分别位于同一直线上A、B两点处(如图所示)，|AB|＝2，且它们每隔1秒必向左或向右移动1个单位，如果a粒子向左移动的概率为，b粒子向左移动的概率为. ‎ ‎(1)求2秒后，a粒子在点A处的概率；(2)求2秒后，a，b两粒子同时在点B处的概率.‎ ‎　4．袋里装有35个球，每个球上都标有从1到35的一个号码，设号码n的球重 - 19 -‎ - 19 -‎ 习题精选精讲 ‎（克）．这些球以等可能性（不受重量的影响）从袋里取出．（1）如果任意取出一球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果同时任意取出二球，试求它们重量相同的概率．‎ ‎5．某超市为扩大销售调查进入该超市顾客的人数，经观察，在一段时间内，进入超市为n个人的概率为p (n)满足关系 （1） 求一个顾客也没有的概率p（0）；（2）求一段时间进入该超市顾客的期望值。‎ ‎1答 ，2答、(1) (2)，‎ ‎3答. (1) ×+×=.(2) ×=.‎ ‎4．解（1）由不等式得n＞15，n＜3，由题意知n＝1，2，或n＝16，17，…，35．于是所求概率为　（2）设第n号与第m号的两个球的重量相等，其中n＜m，则有，所以，因为n≠m，所以n＋m＝15，（n，m）＝（1，14），（2，13），…（7，8），但从35个球中任取两个的方法数为，故，所求概率为 巧求概率 ‎　　一、注意每次实验的步数，有放回与无放回 ‎　　例1　袋中有1个白球，2个黄球，问（1）从中一次性地随机摸出2个球，都是黄球的概率是多少？‎ ‎　　（2）先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率是多少？‎ ‎　　（3）先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次都是黄球的概率是多少？‎ ‎　　解析：（1）从袋中一次性地摸出2个球，作为一次实验，此实验就此一步，从袋中一次性地摸出2个球的结果总数为3，都是黄球的结果数为1，所以概率为．‎ ‎　　（2）先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，作为一次实验，此实验分为两步，第一步为：从袋中摸出一球，第二步为：再从剩下的球中摸出一球．‎ ‎　　法一：画树状图．‎ ‎　　由树状图可看出，总结果数为6，两次都是黄球的结果数为2，所以两次都是黄球的概率为．‎ ‎　　法二：第一步从袋中摸出一个黄球的概率为，当第一步摸出了黄球时，剩下的两个球为1个白球，1个黄球，所以此时第二步再从剩下的两个球中摸出一个黄球的概率为．即在第一步的概率中，第二步又有的概率，所以两次都是黄球的概率为两步概率的乘积 - 19 -‎ - 19 -‎ 习题精选精讲 ‎．‎ ‎　　（3）先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，作为一次实验，此实验分为两步，第一步为：从袋中摸出一球，第二步为将摸出的球放回袋中，使袋中始终保持三个球，再从中摸出一球． ‎ ‎　　法一：因为每次摸球都是从三个球中摸出一个，所以每次摸黄球的概率都为，二次都摸到黄球的概率为．‎ ‎　　法二：每次摸球的结果都是3，对于第一次的每个结果，第二次都有3个结果与之对应，所以两次摸球的结果总数为两次结果的乘积，每次摸黄球的结果数都为2，所以两次都摸到黄球的结果数为，概率为．‎ ‎　　法三：列表格．法四：画树状图．‎ ‎　　小结：由（1）、（2）比较可以看出，无放回地两次都摸黄球的概率与一次性地摸两个黄球的概率是一样的．‎ ‎　　求概率的方法有多种，其中树状图和表格的方法，思路清晰，各种情况一目了然，但相对来说较麻烦，而（3）中的法一、法二相对较简单，归纳如下：如果一次实验分两步进行，第一步的等可能结果数为m，第二步的等可能结果数为n，则总等可能结果数为各步结果数的乘积mn．第一步事件A的发生的概率为P（A），第二步事件B发生的概率为P（B），则事件A、B同时发生的概率为各步概率乘积P（A）P（B）．‎ ‎　　二、注意找出所有符合要求的情况 ‎　　例2　用下图所示的转盘进行配紫色（红色与蓝色配成）游戏：其中A转盘蓝色部分占整个转盘的．求游戏者获胜的概率？‎ ‎　　解析：配成紫色的情况为（红，蓝），（蓝，红），括号里两种颜色分别表示转盘A、B的指针所指的颜色．‎ ‎　　对于情况（红，蓝），转盘A指向红色的概率为，转盘B指向蓝色的概率为，所以情况（红，蓝）的概率为．‎ ‎　　同理情况（蓝，红）的概率为．所以配成紫色的概率为．‎ ‎　　本题也可用表格或树状图来解．‎ ‎　　小结：本题中符合要求的情况为两种，这两种情况不可能同时发生，它们的概率之和就是所求概率．‎ ‎《概率与统计》预测题 预测题一：（文科与理科） 从原点出发的某质点，按照向量移动的概率为，按照向量移动的概率为，设可到达点的概率为．（Ⅰ）求概率、；（Ⅱ）求 与、 的关系并证明数列是等比数列；（Ⅲ）求．‎ 解析： (Ⅰ)点到达点的概率为；点到达点的事件由两个互斥事件组成：①A=“点先按向量到达点，再按向量到达点”，此时；‎ ‎②B=“点先按向量移动直接到达点”，此时。‎ ‎(Ⅱ) 点到达点的事件由两个互斥事件组成：‎ ‎①“从点按向量移动到达点”，此时；‎ - 19 -‎ - 19 -‎ 习题精选精讲 ‎②“从点按向量移动到达点”，此时。‎ ‎，即 ‎ 数列是以为首项，公比为的等比数列。‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 ……‎ ‎ ‎ 预测题二：（理科）已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败。若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值。‎ ‎（Ⅰ）求随机变量ξ的数学期望Eξ；‎ ‎（Ⅱ）记“不等式ξx2－ξx+1>0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）。‎ 解析：（Ⅰ）由题意知：ξ的可能取值为0，2，4。‎ ‎“ξ=‎0”‎指的是实验成功2次 ，失败2次；‎ ‎ “ξ=‎2”‎指的是实验成功3次 ，失败1次或实验成功1次 ，失败3次； ‎ ‎ “ξ=‎4”‎指的是实验成功4次 ，失败0次或实验成功0次 ，失败4次；‎ 故随机变量ξ的数学期望Eξ为 ‎（Ⅱ）由题意知：“不等式ξx2－ξx+1>0的解集是实数集R”为事件A。‎ 当ξ=0时，不等式1>0的解集是R，说明事件A发生；‎ 当ξ=2时，不等式2x2－2x+1>0的解集是实数集R，因为成立，说明事件A发生；‎ 当ξ=4时，不等式4x2－4x+1>0的解集是，因为不成立，说明事件A不发生。‎ 故事件A发生的概率P（A）为 预测题二：（文科）湖南省羽毛球一队与二队进行对抗比赛，在每局比赛中一队获胜的概率都是p（0≤p≤1）。‎ ‎（Ⅰ）若比赛6局，且p=,求一队至多获胜4局的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）若比赛6局，求一队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？‎ ‎（理）（Ⅲ）若采用“五局三胜”制，求一队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望。‎ ‎ 解析：（Ⅰ）设“比赛6局，一队至多获胜4局”为事件A，则 - 19 -‎ - 19 -‎ 习题精选精讲 ‎=∴一队至多获胜4局的概率为。‎ ‎（Ⅱ）设“若比赛6局，一队恰好获胜3局”为事件B,则。当p=0或p=1时，显然有。‎ 当0n可得，‎ ‎ 由于共30个数，故，‎ ‎ （2）由 ‎ 所以）‎ ‎ 故概率为 ‎5、甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X，则EX=，Y为甲与乙命中10环的差的绝对值. ‎ 求s的值及Y的分布列及期望.‎ 解：由已知可得，故．‎ ‎　　有Y的取值可以是0，1，2. ‎ ‎ 甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是，‎ ‎ 甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是，‎ ‎ 甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是 ‎ 所以；‎ ‎ 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是，‎ 甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是 - 19 -‎ - 19 -‎ 习题精选精讲 ‎ 所以，故 ‎ 所以Y的分布列是 Y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ 所以 Y的期望是EY=‎ ‎6、一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可新销售75万元.‎ ‎（1）求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率.‎ ‎（2）求开发商盈利的最大期望值.‎ 解：（1）设A=“软件开发成功”，B=“新闻发布会召开成功” 软件成功开发且成功在发布会上发布的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72.‎ ‎ （2）不召开新闻发布会盈利的期望值是(万元)；‎ ‎ 召开新闻发布会盈利的期望值 是（万元）‎ 故开发商应该召开新闻发布会，且盈利的最大期望是24.8万元.‎ ‎7、现在，一些城市对小型汽车开始解禁，小型轿车慢慢进入百姓家庭，但是另一个问题相继暴露出来——堵车，某先生居住在城市的A处，准备开车到B处上班，若该地各路段发生堵车事件是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率为如图，（例如 算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率是0.1，路段CD发生堵车事件的概率是）‎ ‎（1）请你为他选择一条由A到B的路段，使得途中发生堵车的概率最小；‎ ‎（2）若记路线中遇到堵车的次数为随机变量X，求X的期望；‎ 解：（1）路线用遇到堵车的概率是 ‎ ‎ 同理路线遇到堵车的概率是；‎ 路线遇到堵车的概率是.‎ ‎ 因此应选择线路可使途中发生堵车的概率最小.‎ ‎ （2）路线中遇到堵车的次数X取值可能是0，1，2，3，‎ ‎ 所以X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎8、现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有4个白球和4个红球，乙盒中装有3个白球和若干个红球，若从乙盒中任取两个球，取到同色球的概率是. （1）求乙盒中红球的个数；‎ ‎ （2）若从甲盒中任取两个球，放入乙盒中均匀后，再从乙盒中任意取出2个球放回到甲盒中，求甲盒中白球没有增加的概率；‎ ‎ （3）从甲、乙两个盒子中各任取两个球进行交换，若交换后乙盒子中的白球数和红球数相等，就说这次交换是成功的，试求当进行150次交换（都从初始状态交换）时，大约有多少次是成功的.‎ - 19 -‎ - 19 -‎ 习题精选精讲 解：（1）设乙盒中有n个红球，由已知可得，解的n=5，即乙盒中含有5个红球.‎ ‎ （2）若甲盒中白球增加了，则有以下两种情况：‎ 从甲盒中取出了两个红球，放入乙盒中均匀后从乙盒中取出两个白球或一个白球一个红球放入甲盒中，此时的概率是；‎ 从甲盒中取出一个红球和一个白球，放入乙盒中均匀后从乙盒中取出2个白球放入甲盒中，此时概率是；‎ ‎ 所以甲盒中白球增加了的概率是，所以甲盒中白球没有增加的概率是.‎ ‎（3）从甲乙两个盒中各取2个球交换后乙盒中白球数和红球数相等的情况有以下两种：‎ 一是从甲盒中取２个白球与乙盒中取１个白球、一个红球进行交换；二是从甲盒中取出１个白球、１个红球与乙盒中取出２个红球进行交换；‎ 所以概率是 高考数学中有关概率问题的解题思路 概率是高中新教材的新增内容，在实际中应用非常广泛，每年高考都占有一席之地。下面就高考中与概率有关的问题的解题思路作一归纳，供大家参考。‎ 一． 离散型随机变量的概率分布和数学期望 例1：（2003年理科高考题）A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员。A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3。按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：‎ 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1对B1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A2对 B2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A3对 B3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分。设A队，B队最后所得总分分别为ξ，η。‎ ‎（Ⅰ）求ξ，η的概率分布；（Ⅱ）求Eξ，Eη。‎ 分析：（Ⅰ）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0。P（ξ=3）=××=‎ P（ξ=2）=××+××+××=P（ξ=1）=××+××+××=‎ P（ξ=0）=××=;据题意知ξ+η=3，所以 P（η=0）= P（ξ=3）=，P（η=1）= P（ξ=2）=‎ P（η=2）= P（ξ=1）=，P（η=3）= P（ξ=0）=。‎ ‎（Ⅱ）Eξ=3×+2×+1×+0×=；因为ξ+η=3，所以Eη=3－Eξ= 。‎ 思路：此类问题只需正确求出随机变量在某一范围内取值时所对应的概率，并能运用公式Eξ= 计算即可。‎ 二． 等可能事件的概率 - 19 -‎ - 19 -‎ 习题精选精讲 例2：（2000年理科高考题）甲，乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。甲，乙二人依次各抽一题。‎ ‎（Ⅰ）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（Ⅱ）甲，乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？‎ 分析：（Ⅰ）=‎ ‎（Ⅱ）甲，乙二人依次都抽到判断题的概率为故甲，乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1－=或＋＋=.‎ 思路：1。此类问题关键在于正确求出n,m进而运用公式P（A）=。在求n,m时注意利用排列，组合等知识。‎ ‎2．“至少”型的问题一般有正向思考与逆向思考两种思路。逆向思考可使一些较为复杂的问题得到简化。‎ 一． 互斥事件有一个发生或相互独立事件同时发生的概率 例3：（2003年文科高考题）有三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95.各抽取一件进行检验。‎ ‎（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率。（精确到0.001）‎ 分析：设抽到合格产品的事件分别为A，B，C，则 P（A）=0.90 P(B)=P(C)=0.95 P()=0.10 P()=P()=0.05‎ ‎（Ⅰ）因为A，B，C相互独立，故恰有一件不合格的概率为:‎ P(A·B·)+_P(A··C)+P(·B·C)=P(A)·P(B)·P()+P(A)·P()·P(C)+P()·P(B)·P(C)‎ ‎=0.90×0.95×0.05+0.90×0.05×0.95+0.10×0.95×o.95=0.176‎ ‎（Ⅱ）至少有两件不合格的概率为:‎ P(A··)+P(·B·)+P(··C)+P(··)=0.90×0.05×0.05+0.10×0.95×0.05+0.10×0.05×0.95+0.10×0.05×0.05=0.012‎ 思路:1.正确分清互斥事件与相互独立事件是解决此类问题的关键.‎ ‎2.只有当事件A,B互斥时,才能运用公式P(A+B)=P(A)+P(B);只有当事件A,B相互独立时,才能运用公式P(A·B)=P(A)·P(B).‎ 四.独立重复试验的概率 例4:(2002年理科高考题)某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5(相互独立).‎ ‎（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率;（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3 ?‎ 分析: （Ⅰ）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率.即 ‎1－‎ ‎（Ⅱ）至少4人同时上网的概率为:‎ ‎.至少5人同时上网的概率为:‎ 因此, 至少5人同时上网的概率小于0.3.‎ 思路:如果在1次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生K次的概率为.‎ 五.等概率抽样 例5:(2000年文科高考题)从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体.假定其中每个个体被抽到的概率相等.那么总体中的每个个体被抽取的概率等于_________.分析: ‎ - 19 -‎ - 19 -‎ 习题精选精讲 例6:(2003年理科高考题)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量.现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取__________,__________,__________辆.‎ 分析: ,,.‎ 思路:1.用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时,每个个体被抽到的概率都等于.‎ ‎2.在分层抽样中,每一层进行抽样时,都采用简单随机抽样或系统抽样,因此,也是等概率抽样.‎ ‎__________完_________-‎ 几何分布的期望与方差 ‎（选修II）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1），（2），而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。‎ ‎（1）由，知 下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记 两式相减，得 由，知，则，故 从而 也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：‎ 记相减，‎ 则 还可用导数公式，推导如下： ‎ ‎ ‎ 上式中令，则得 ‎（2）为简化运算，利用性质来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。可见关键是求。‎ 对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：，并用倍差法求和，有 - 19 -‎ - 19 -‎ 习题精选精讲 ‎ ‎ 则，因此 利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。‎ 例1. 一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望与方差。‎ 解：每次从袋内取出白球的概率，取出黑球的概率。的取值为1，2，3，……，有无穷多个。我们用表示前k－1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此 ‎。可见服从几何分布。所以 例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0

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