中考数学专题复习——分类讨论题

中考数学专题复习——分类讨论题

分类讨论题 类型之一 直线型中的分类讨论 直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.‎ 例1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）‎ A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°‎ ‎【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。故顶角可能是50°或80°.‎ 答案：D .‎ 同步测试：‎ ‎1.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为‎3cm和‎6cm，则它的周长为（ ）‎ A．‎9cm B．‎12cm C．‎15cm D．‎12cm或‎15cm ‎2. （·江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，‎ ‎(1)求证：B′E=BF；‎ ‎(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.‎ 类型之二 圆中的分类讨论　 ‎ 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．‎ 例2.（•湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径 所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．‎ ‎【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。‎ ‎【答案】 3＜r≤4或r＝2.4‎ 同步测试：‎ ‎3.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，．如果圆O的半径为，且经过点B、C，那么线段AO的长等于 ．‎ ‎4.（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝‎11厘米，⊙A，⊙B的半径均为‎1厘米．⊙A以每秒‎2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）． ‎ ‎（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式； ‎ ‎（2）问点A出发后多少秒两圆相切？‎ ‎ ‎ 类型之三 方程、函数中的分类讨论 方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.‎ 例3.（·上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．‎ ‎（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；‎ ‎（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．‎ ‎【解析】建立函数关系实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以为顶点的三角形与相似”，一定要注意分类讨论。‎ ‎【答案】（1）取中点，联结，‎ 为的中点，，．‎ 又，．‎ ‎，得；‎ ‎（2）由已知得．‎ 以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，‎ ‎，‎ 即．‎ 解得，即线段的长为；‎ ‎（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，‎ 又易证得．‎ 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．‎ ‎①当时，，‎ ‎．．‎ ‎，易得．得；‎ ‎②当时，，‎ ‎．‎ ‎．又，‎ ‎．‎ ‎，即，‎ 得．‎ 解得，（舍去）．即线段BE的长为2．‎ 综上所述，所求线段BE的长为8或2． ‎ 同步测试：‎ ‎5.（·福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．‎ ‎（1）直接写出点E、F的坐标；‎ ‎（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；‎ ‎（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．‎ 同步测试答案：‎ ‎1.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是‎3cm，底边长是‎6cm时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是‎6cm，地边长是‎3cm时能组成三角形．‎ ‎【答案】D ‎2.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，，，从而可求得B′E=BF；第(2)小题要注意分类讨论.‎ ‎【答案】（1）证：由题意得，，‎ 在矩形ABCD中，，，‎ ‎，‎ ‎．．‎ ‎（2）答：三者关系不唯一，有两种可能情况：‎ ‎（ⅰ）三者存在的关系是．‎ 证：连结BE，则．‎ 由（1）知，．‎ 在中，，．‎ ‎，，．‎ ‎（ⅱ）三者存在的关系是．‎ 证：连结BE，则．‎ 由（1）知，．‎ 在中，，‎ ‎．‎ ‎3.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5，，可得BC边上的高AD为4，圆O经过点B、C则O必在直线AD上，若O在BC上方，则AO=3，若O在BC下方，则AO=5。‎ ‎【答案】3或5．‎ ‎4.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论.‎ ‎【答案】解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t； ‎ 当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t -11．　　 ‎ ‎（2）两圆相切可分为如下四种情况： ‎ ‎①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3； ‎ ‎②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝； ‎ ‎③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11； ‎ ‎④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13． ‎ 所以，点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切． ‎ ‎5.【解析】①‎ 解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E为顶点、P为顶点、F为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决．‎ ‎【答案】（1）；．‎ ‎（2）在中，，‎ ‎．‎ 设点的坐标为，其中，‎ 顶点，‎ 设抛物线解析式为．‎ ‎①如图①，当时，，‎ ‎．‎ 解得（舍去）；．‎ ‎．‎ ‎．‎ 解得．‎ 抛物线的解析式为 ‎②如图②，当时，，‎ ‎．‎ 解得（舍去）．‎ ‎③当时，，这种情况不存在．‎ 综上所述，符合条件的抛物线解析式是．‎ ‎（3）存在点，使得四边形的周长最小．‎ 如图③，作点关于轴的对称点，‎ 作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点．‎ ‎，．‎ ‎．‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，此时四边形的周长最小值是．‎