高考理科数学天津卷试题及答案解析

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高考理科数学天津卷试题及答案解析

‎2005年高考理科数学天津卷试题及答案 源头学子小屋 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利!‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 注意事项:‎ 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号答在试卷上的无效 参考公式:‎ 如果事件A、B互斥,那么 球的体积公式 ‎ ‎ 如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径 ‎ = 柱体(棱柱、圆柱)的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率 V柱体=Sh 是P,那么n次独立重复试验中恰好发 其中S表示柱体的底面积,‎ 生k次的概率 h表示柱体的高 ‎ Pn(k)=CnPk(1-P)n-k 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的 ‎(1)设集合, , 则( )‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(2)若复数(,为虚数单位位)是纯虚数,则实数的值为(  )‎ ‎(A)-2 (B)4 (C) -6 (D)6‎ ‎(3)给出下列三个命题:①若,则;②若正整数和满足,则;③设为圆上任一点,圆以为圆心且半径为1.当时,圆与圆相切 其中假命题的个数为(  )‎ ‎(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)3‎ ‎(4)设为平面,为直线,则的一个充分条件是(  )‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(5)设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为(  )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(6)从集合中任选两个元素作为椭圆方程中的和,则能组成落在矩形区域且内的椭圆个数为(  )‎ ‎(A)43 (B) 72 (C) 86 (D) 90‎ ‎(7)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为()‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点的(  )‎ ‎(A)横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度 ‎(B)横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度 ‎(C)横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度 ‎(D)横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度 ‎(9)设是函数的反函数,则使成立的x的取值范围为(  )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(10)若函数在区间内单调递增,则a的取值范围是(  )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)‎ 注意事项:‎ ‎1答卷前将密封线内的项目填写清楚 ‎2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 二、填空题:本大题共6小题, 每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上 ‎(11)设,则 ‎ .‎ ‎(12)如图,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________.‎ ‎(13)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且则=_____.‎ ‎(14)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上且| |=2,则= .‎ ‎(15)某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%,一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%,下表是过去200例类似项目开发的实施结果:‎ 投资成功 投资失败 ‎192次 ‎8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是___________(元)‎ ‎(16)设是定义在R上的奇函数,且的图象关于直线对称,则=________________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共76分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ‎(17)(本小题满分12分)‎ 在中,所对的边长分别为,设满足条件和,求和的值 ‎(18)(本小题满分12分)‎ 已知 ‎(Ⅰ)当时,求数列的前n项和 ‎(Ⅱ)求 ‎(19)(本小题满分12分)‎ 如图,在斜三棱柱中,,侧面与底面ABC所成的二面角为,E、F分别是棱的中点 ‎(Ⅰ)求与底面ABC所成的角 ‎(Ⅱ)证明∥平面 ‎(Ⅲ)求经过四点的球的体积 ‎(20)(本小题满分12)‎ 某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线且点P在直线上,与水平地面的夹角为 ,tan=1/2试问此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠BPC最大(不计此人的身高)‎ ‎(21)(本小题满分14分)‎ 抛物线C的方程为,过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同),且满足 ‎(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程 ‎(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足,证明线段PM的中点在y轴上 ‎(Ⅲ)当=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围 ‎(22)(本小题满分14分)‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)证明,其中为k为整数;‎ ‎(Ⅱ)设为的一个极值点,证明;‎ ‎(Ⅲ)设在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,‎ 证明 ‎2005年高考理科数学天津卷试题及答案 参考答案 一、选择题(每小题5分,共50分)‎ 题号 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎(6)‎ ‎(7)‎ ‎(8)‎ ‎(9)‎ ‎(10)‎ 答案 D C B D C B A C A B 二、填空题(每小题4分,共24分)‎ ‎(11); (12);(13)2600;(14);(15)4760;(16)0.‎ 三、解答题(共76分,以下各题为累计得分,其他解法请相应给分)‎ ‎(17)解:由余弦定理,因此.‎ 在中,.由已知条件,应用正弦定理 ‎,解得,‎ 从而.‎ ‎(18)解:(Ⅰ)当时,.这时数列的前项和 ‎.   ①‎ ‎①式两边同乘以,得   ② ‎ ‎①式减去②式,得 若,‎ ‎,‎ 若,‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ),当时,,‎ 则.‎ 当时,‎ 此时,.‎ 若,.‎ 若,.‎ ‎(19)解:(Ⅰ)过作平面,垂足为.‎ 连结,并延长交于,于是为与底面所成的角.‎ ‎∵,∴为的平分线.‎ 又∵,∴,且为的中点.‎ 因此,由三垂线定理.‎ ‎∵,且,∴.‎ 于是为二面角的平面角,‎ 即.‎ 由于四边形为平行四边形,得.‎ ‎(Ⅱ)证明:设与的交点为,则点为的中点.连结.‎ 在平行四边形中,因为的中点,故.‎ 而平面,平面,所以平面.‎ ‎(Ⅲ)连结.在和中,由于,,,则 ‎≌,故.由已知得.‎ 又∵平面,∴为的外心.‎ 设所求球的球心为,则,且球心与中点的连线.‎ 在中,.故所求球的半径,球的体积.‎ ‎(20)解:如图所示,建立平面直角坐标系,则,,.‎ 直线的方程为,即.‎ 设点的坐标为,则()‎ 由经过两点的直线的斜率公式 ‎,‎ ‎.‎ 由直线到直线的角的公式得 ‎   ()‎ 要使达到最大,只须达到最小.‎ 由均值不等式.当且仅当时上式取等号.故当时最大.这时,点的纵坐标为.‎ 由此实际问题知,,所以最大时,最大.故当此人距水平地面‎60米高时,观看铁塔的视角最大.‎ ‎(21)解:(Ⅰ)由抛物线的方程()得,焦点坐标为,准线方程为.‎ ‎(Ⅱ)证明:设直线的方程为,直线的方程为.‎ 点和点的坐标是方程组  的解.‎ 将②式代入①式得,‎ 于是,故 ③‎ 又点和点的坐标是方程组 的解.将⑤式代入④式得.于是,故.‎ 由已知得,,则.  ⑥‎ 设点的坐标为,由,则.‎ 将③式和⑥式代入上式得,‎ 即.所以线段的中点在轴上.‎ ‎(Ⅲ)因为点在抛物线上,所以,抛物线方程为.‎ 由③式知,代入得.‎ 将代入⑥式得,代入得.‎ 因此,直线、分别与抛物线的交点、的坐标为 ‎,.‎ 于是,,‎ ‎.‎ 因为钝角且、、三点互不相同,故必有.‎ 求得的取值范围是或.‎ 又点的纵坐标满足,故 当时,;当时,.‎ 即 ‎(22)解:(Ⅰ)证明:由函数的定义,对任意整数,有 ‎.‎ ‎(Ⅱ)证明:函数在定义域上可导,  ①‎ 令,得.‎ 显然,对于满足上述方程的有,‎ 上述方程化简为.此方程一定有解.‎ 的极值点一定满足.‎ 由,得.‎ 因此,.‎ ‎(Ⅲ)证明:设是的任意正实数根,即,‎ 则存在一个非负整数,使,即在第二或第四象限内.‎ 由①式,在第二或第四象限中的符号可列表如下:‎ 的符号 为奇数 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 为偶数 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 所以满足的正根都为的极值点.‎ 由题设条件,,,…,,…为方程的全部正实数根且满足 ‎,‎ 那么对于,‎ ‎. ②‎ 由于 ,,‎ 则,‎ 由于,由②式知.‎ 由此可知必在第二象限,‎ 即. 综上,.‎
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