高考数学专题复习练习第1讲 不等关系与不等式
第七章 不等式
第1讲 不等关系与不等式
一、选择题
1.已知则( )
A. B. C. D.
解析 因为,都小于1且大于0,故排除C,D;又因为都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以,故选B.
答案 B
2．设0
0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有 ( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 运用倒数性质，由a>b，ab>0可得<，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.
答案 C
4．如果a，b，c满足cac B．c(b－a)>0
C．cb20，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b＝0时C不正确．
答案 C
5．若a＞0，b＞0，则不等式－b＜＜a等价于( )．
A．－＜x＜0或0＜x＜ B．－＜x＜
C．x＜－或x＞ D．x＜－或x＞
解析 由题意知a＞0，b＞0，x≠0，
(1)当x＞0时，－b＜＜a⇔x＞；
(2)当x＜0时，－b＜＜a⇔x＜－.
综上所述，不等式－b＜＜a⇔x＜－或x＞.
答案 D
6．若a、b均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间[－1,0]上的一切x值，ax＋b>0恒成立；条件乙：2b－a>0，则甲是乙的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 当x∈[－1,0]时，恒有ax＋b>0成立，
∴当a>0时，ax＋b≥b－a>0，
当a<0时，ax＋b≥b>0，∴b－a>0，b>0，∴2b－a>0，
∴甲⇒乙，乙推不出甲，例如：a＝b，b>0时，
则2b－a＝b>0，
但是，当x＝－1时，a·(－1)＋b＝－b＋b＝－b<0，
∴甲是乙的充分不必要条件．
答案 A
二、填空题
7．若a10.
答案 a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
8．现给出三个不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2；③＋>＋.其中恒成立的不等式共有________个．
解析 因为a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以①不恒成立；对于②，a2＋b2－2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，所以②恒成立；对于③，因为(＋)2－(＋)2＝2－2>0，且＋>0，＋>0，所以＋>＋，即③恒成立．
答案 2
9．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)．
解析 ∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴z∈[3,8]．
答案 [3,8]
10．给出下列四个命题：
①若a>b>0，则>；
②若a>b>0，则a－>b－；
③若a>b>0，则>；
④设a，b是互不相等的正数，则|a－b|＋≥2.
其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．
解析 ①作差可得－＝，而a>b>0，则<0，此式错误．②a>b>0，则
<，进而可得－>－，所以可得a－>b－正确．③－＝＝＝<0，错误．④当a－b<0时此式不成立，错误．
答案 ②
三、解答题
11．已知a∈R，试比较与1＋a的大小．
解析 －(1＋a)＝.
①当a＝0时，＝0，∴＝1＋a.
②当a＜1且a≠0时，＞0，∴＞1＋a.
③当a＞1时，＜0，∴＜1＋a.
综上所述，当a＝0时，＝1＋a；
当a＜1且a≠0时，＞1＋a；
当a＞1时，＜1＋a.
12．已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
解 由题意，得解得
所以f(3)＝9a－c＝－f(1)＋f(2)．
因为－4≤f(1)≤－1，所以≤－f(1)≤，
因为－1≤f(2)≤5，所以－≤f(2)≤.
两式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范围是[－1,20]．
13． (1)设x≥1，y≥1，证明
x＋y＋≤＋＋xy；
(2)设1＜a≤b≤c，证明
logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
证明 (1)由于x≥1，y≥1，所以
x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得
logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式即为
x＋y＋≤＋＋xy
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．
14．已知f(x)是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m，使得f(m－sin x)≤
f对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
思维启迪：不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域．
解 假设实数m存在，依题意，
可得
即
因为sin x的最小值为－1，且－(sin x－)2的最大值为0，要满足题意，必须有
解得m＝－或≤m≤3.
所以实数m的取值范围是∪.
探究提高 不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，m≤f(x)恒成立，只需m≤f(x)min.
