河北省中考数学试卷

河北省中考数学试卷

2019 年河北省中考数学试卷 一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分，1-10 小题各 3 分，11-16 小题各 2 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3 分）下列图形为正多边形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3 分）规定：（→2）表示向右移动 2 记作+2，则（←3）表示向左移动 3 记 作（　　） A．+3 B．﹣3 C．﹣ D．+ 3．（3 分）如图，从点 C 观测点 D 的仰角是（　　） A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC 4．（3 分）语句“x 的 与 x 的和不超过 5”可以表示为（　　） A． +x≤5 B． +x≥5 C． ≤5 D． +x＝5 5．（3 分）如图，菱形 ABCD 中，∠D＝150°，则∠1＝（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 6．（3 分）小明总结了以下结论： ①a（b+c）＝ab+ac； ②a（b﹣c）＝ab﹣ac； ③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）； ④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0） 其中一定成立的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（3 分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 则回答正确的是（　　） A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 C．▲代表∠EFC D．※代表 AB 8．（3 分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ，把 用科学记数法表示 为（　　） A．5×10﹣4 B．5×10﹣5 C．2×10﹣4 D．2×10﹣5 9．（3 分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有 6 个小正三角形涂黑，还需 涂黑 n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三 条对称轴，则 n 的最小值为（　　） A．10 B．6 C．3 D．2 10．（3 分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A． B． C． D． 11．（2 分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的 统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是（　　） A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②一④→ ③ D．②→④→③→① 12．（2 分）如图，函数 y＝ 的图象所在坐标系的原点是（　　） A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q 13．（2 分）如图，若 x 为正整数，则表示 ﹣ 的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 14．（2 分）图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S 主＝x2+2x，S 左＝ x2+x，则 S 俯＝（　　） A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x 15．（2 分）小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了 a＝1，b＝ 4，解出其中一个根是 x＝﹣1．他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 2．则原方程的根的情况是（　　） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是 x＝﹣1 D．有两个相等的实数根 16．（2 分）对于题目：“如图 1，平面上，正方形内有一长为 12、宽为 6 的矩 形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由 地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 n．”甲、乙、丙作了自认为 边长最小的正方形，先求出该边长 x，再取最小整数 n． 甲：如图 2，思路是当 x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 n＝13． 乙：如图 3，思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 n＝ 14． 丙：如图 4，思路是当 x 为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去；结果 取 n＝13． 下列正确的是（　　） A．甲的思路错，他的 n 值对 B．乙的思路和他的 n 值都对 C．甲和丙的 n 值都对 D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对 二、填空题（本大题有 3 个小题，共 11 分，17 小题 3 分：18～19 小题各有 2 个空，每空 2 分，把答案写在题中横线上） 17．（3 分）若 7﹣2×7﹣1×70＝7p，则 p 的值为　　． 18．（4 分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的 数． 示例： 即 4+3＝7 则（1）用含 x 的式子表示 m＝　　； （2）当 y＝﹣2 时，n 的值为　　． 19．（4 分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了 A，B，C 三地 的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过 A，B 两地． （1）A，B 间的距离为　　km； （2）计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l，并在 l 上建一个维修站 D，使 D 到 A，C 的距离相等，则 C，D 间的距离为　　km． 三、解答题（本大题有 7 个小题，共 67 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 20．（8 分）有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入 +，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：1+2﹣6﹣9； （2）若 1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号； （3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这 个最小数． 21．（9 分）已知：整式 A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式 B＞0． 尝试化简整式 A． 发现 A＝B2，求整式 B． 联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当 n＞1 时，n2﹣1，2n，B 为直角三 角形的三边长，如图．填写下表中 B 的值： 直角三角形三边 n2﹣1 2n B 勾股数组Ⅰ / 8 　　 勾股数组Ⅱ 35 / 　　 22．（9 分）某球室有三种品牌的 4 个乒乓球，价格是 7，8，9（单位：元）三 种．从中随机拿出一个球，已知 P（一次拿到 8 元球）＝ ． （1）求这 4 个球价格的众数； （2）若甲组已拿走一个 7 元球训练，乙组准备从剩余 3 个球中随机拿一个训 练． ①所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数是否相同？并简要 说明理由； ②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求 乙组两次都拿到 8 元球的概率． 又拿 先拿 23．（9 分）如图，△ABC 和△ADE 中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°， 边 AD 与边 BC 交于点 P（不与点 B，C 重合），点 B，E 在 AD 异侧，I 为△APC 的内心． （1）求证：∠BAD＝∠CAE； （2）设 AP＝x，请用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值； （3）当 AB⊥AC 时，∠AIC 的取值范围为 m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出 m， n 的值． 24．（10 分）长为 300m 的春游队伍，以 v（m/s）的速度向东行进，如图 1 和图 2，当队伍排尾行进到位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后 立即返回排尾，甲的往返速度均为 2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均 停止行进．设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t（s），排头与 O 的距离为 S 头 （m）． （1）当 v＝2 时，解答： ①求 S 头与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围）； ②当甲赶到排头位置时，求 S 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与 位置 O 的距离为 S 甲（m），求 S 甲与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围） （2）设甲这次往返队伍的总时间为 T（s），求 T 与 v 的函数关系式（不写 v 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程． 25．（10 分）如图 1 和 2，▱ABCD 中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝ ．点 P 为 AB 延长线上一点，过点 A 作⊙O 切 CP 于点 P，设 BP＝x． （1）如图 1，x 为何值时，圆心 O 落在 AP 上？若此时⊙O 交 AD 于点 E，直接 指出 PE 与 BC 的位置关系； （2）当 x＝4 时，如图 2，⊙O 与 AC 交于点 Q，求∠CAP 的度数，并通过计算 比较弦 AP 与劣弧 长度的大小； （3）当⊙O 与线段 AD 只有一个公共点时，直接写出 x 的取值范围． 26．（12 分）如图，若 b 是正数，直线 l：y＝b 与 y 轴交于点 A；直线 a：y＝x﹣ b 与 y 轴交于点 B；抛物线 L：y＝﹣x2+bx 的顶点为 C，且 L 与 x 轴右交点为 D． （1）若 AB＝8，求 b 的值，并求此时 L 的对称轴与 a 的交点坐标； （2）当点 C 在 l 下方时，求点 C 与 l 距离的最大值； （3）设 x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在 l，a 和 L 上，且 y3 是 y1，y2 的平均数，求点（x0，0）与点 D 间的距离； （4）在 L 和 a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为 “美点”，分别直接写出b＝2019 和 b＝2019.5 时“美点”的个数． 2019 年河北省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分，1-10 小题各 3 分，11-16 小题各 2 分，在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等， 故选：D． 2．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动 2 记作+2，则（← 3）表示向左移动 3 记作﹣3． 故选：B． 3．【解答】解：∵从点C 观测点 D 的视线是 CD，水平线是 CE， ∴从点 C 观测点 D 的仰角是∠DCE， 故选：B． 4．【解答】解：“x 的 与 x 的和不超过 5”用不等式表示为 x+x≤5． 故选：A． 5．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠D＝150°， ∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°， ∴∠1＝15°； 故选：D． 6．【解答】解：①a（b+c）＝ab+ac，正确； ②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确； ③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确； ④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算． 故选：C． 7．【解答】证明：延长BE 交 CD 于点 F， 则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC． 故 AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故选：C． 8．【解答】解： ＝0.00002＝2×10﹣5． 故选：D． 9．【解答】解：如图所示，n 的最小值为 3， 故选：C． 10．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C 选项作了两边 的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心． 故选：C． 11．【解答】解：由题意可得， 正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并 绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最 受学生欢迎的种类， 故选：D． 12．【解答】解：由已知可知函数y＝ 关于 y 轴对称， 所以点 M 是原点； 故选：A． 13．【解答】解∵ ﹣ ＝ ﹣ ＝1﹣ ＝ 又∵x 为正整数， ∴ ≤x＜1 故表示 ﹣ 的值的点落在② 故选：B． 14．【解答】解：∵S 主＝x2+2x＝x（x+2），S 左＝x2+x＝x（x+1）， ∴俯视图的长为 x+2，宽为 x+1， 则俯视图的面积 S 俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2， 故选：A． 15．【解答】解：∵小刚在解关于x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了 a＝1，b＝4， 解出其中一个根是 x＝﹣1， ∴（﹣1）2﹣4+c＝0， 解得：c＝3， 故原方程中 c＝5， 则 b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0， 则原方程的根的情况是不存在实数根． 故选：A． 16．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算 错误，应为 n＝14； 乙的思路与计算都正确； 乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长； 故选：B． 二、填空题（本大题有 3 个小题，共 11 分，17 小题 3 分：18～19 小题各有 2 个空，每空 2 分，把答案写在题中横线上） 17．【解答】解：∵7﹣2×7﹣1×70＝7p， ∴﹣2﹣1+0＝p， 解得：p＝﹣3． 故答案为：﹣3． 18．【解答】解：（1）根据约定的方法可得： m＝x+2x＝3x； 故答案为：3x； （2）根据约定的方法即可求出 n x+2x+2x+3＝m+n＝y． 当 y＝﹣2 时，5x+3＝﹣2． 解得 x＝﹣1． ∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1． 故答案为：1． 19．【解答】解：（1）由A、B 两点的纵坐标相同可知：AB∥x 轴， ∴AB＝12﹣（﹣8）20； （2）过点 C 作 l⊥AB 于点 E，连接 AC，作 AC 的垂直平分线交直线 l 于点 D， 由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18， AE＝12， 设 CD＝x， ∴AD＝CD＝x， 由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122， ∴解得：x＝13， ∴CD＝13， 故答案为：（1）20；（2）13； 三、解答题（本大题有 7 个小题，共 67 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．【解答】解：（1）1+2﹣6﹣9 ＝3﹣6﹣9 ＝﹣3﹣9 ＝﹣12； （2）∵1÷2×6□9＝﹣6， ∴1× ×6□9＝﹣6， ∴3□9＝﹣6， ∴□内的符号是“﹣”； （3）这个最小数是﹣20， 理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小， ∴1□2□6 的结果是负数即可， ∴1□2□6 的最小值是 1﹣2×6＝﹣11， ∴1□2□6﹣9 的最小值是﹣11﹣9＝﹣20， ∴这个最小数是﹣20． 21．【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2， ∵A＝B2，B＞0， ∴B＝n2+1， 当 2n＝8 时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝15； 当 n2﹣1＝35 时，n2+1＝37． 故答案为：15；37 22．【解答】解：（1）∵P（一次拿到 8 元球）＝ ， ∴8 元球的个数为 4× ＝2（个），按照从小到大的顺序排列为 7，8，8，9， ∴这 4 个球价格的众数为 8 元； （2）①所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数相同；理由如下： 原来 4 个球的价格按照从小到大的顺序排列为 7，8，8，9， ∴原来 4 个球价格的中位数为 ＝8（元）， 所剩的 3 个球价格为 8，8，9， ∴所剩的 3 个球价格的中位数为 8 元， ∴所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数相同； ②列表如图所示：共有 9 个等可能的结果，乙组两次都拿到 8 元球的结果有 4 个， ∴乙组两次都拿到 8 元球的概率为 ． 23．【解答】解：（1）在△ABC 和△ADE 中，（如图 1） ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠BAC＝∠DAE 即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE ∴∠BAD＝∠CAE． （2）∵AD＝6，AP＝x， ∴PD＝6﹣x 当 AD⊥BC 时，AP＝ AB＝3 最小，即 PD＝6﹣3＝3 为 PD 的最大值． （3）如图 2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°， ∵AB⊥AC ∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α， ∵I 为△APC 的内心 ∴AI、CI 分别平分∠PAC，∠PCA， ∴∠IAC＝ ∠PAC，∠ICA＝ ∠PCA ∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA） ＝180°﹣ （∠PAC+∠PCA） ＝180°﹣ （90°﹣α+60°） ＝ α+105° ∵0＜α＜90°， ∴105°＜ α+105°＜150°，即 105°＜∠AIC＜150°， ∴m＝105，n＝150． 24．【解答】解：（1）①排尾从位置O 开始行进的时间为 t（s），则排头也离开原排头 t （s）， ∴S 头＝2t+300 ②甲从排尾赶到排头的时间为 300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时 S 头＝ 2t+300＝600 m 甲返回时间为：（t﹣150）s ∴S 甲＝S 头﹣S 甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200； 因此，S 头与 t 的函数关系式为 S 头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求 S 的值为 600m， 在甲从排头返回到排尾过程中，S 甲与 t 的函数关系式为 S 甲＝﹣4t+1200． （2）T＝t 追及+t 返回＝ + ＝ ， 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×（T﹣150）＝v×（ ﹣﹣150）＝ 400﹣150v； 因此 T 与 v 的函数关系式为：T＝ ，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v） m． 25．【解答】解：（1）如图 1，AP 经过圆心 O，∵CP 与⊙O 相切于 P， ∴∠APC＝90°， ∵▱ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠PBC＝∠DAB ∴ ＝tan∠PBC＝tan∠DAB＝ ，设 CP＝4k，BP＝3k，由 CP2+BP2＝BC2， 得（4k）2+（3k）2＝152，解得 k1＝﹣3（舍去），k2＝3， ∴x＝BP＝3×3＝9， 故当 x＝9 时，圆心 O 落在 AP 上； ∵AP 是⊙O 的直径， ∴∠AEP＝90°， ∴PE⊥AD， ∵▱ABCD， ∴BC∥AD ∴PE⊥BC （2）如图 2，过点 C 作 CG⊥AP 于 G， ∵▱ABCD， ∴BC∥AD， ∴∠CBG＝∠DAB ∴ ＝tan∠CBG＝tan∠DAB＝ ， 设 CG＝4m，BG＝3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2＝152，解得 m＝3， ∴CG＝4×3＝12，BG＝3×3＝9，PG＝BG﹣BP＝9﹣4＝5，AP＝AB+BP＝3+4＝7， ∴AG＝AB+BG＝3+9＝12 ∴tan∠CAP＝ ＝ ＝1， ∴∠CAP＝45°； 连接 OP，OQ，过点 O 作 OH⊥AP 于 H，则∠POQ＝2∠CAP＝2×45°＝90°，PH＝ AP＝ ， 在 Rt△CPG 中， ＝ ＝13， ∵CP 是⊙O 的切线， ∴∠OPC＝∠OHP＝90°，∠OPH+∠CPG＝90°，∠PCG+∠CPG＝90° ∴∠OPH＝∠PCG ∴△OPH∽△PCG ∴ ，即 PH×CP＝CG×OP， ×13＝12OP， ∴OP＝ ∴劣弧 长度＝ ＝ ， ∵ ＜2π＜7 ∴弦 AP 的长度＞劣弧 长度． （3）如图 3，⊙O 与线段 AD 只有一个公共点，即圆心 O 位于直线 AB 下方，且∠OAD≥90 °， 当∠OAD＝90°，∠CPM＝∠DAB 时，此时 BP 取得最小值，过点 C 作 CM⊥AB 于 M， ∵∠DAB＝∠CBP， ∴∠CPM＝∠CBP ∴CB＝CP， ∵CM⊥AB ∴BP＝2BM＝2×9＝18， ∴x≥18 26．【解答】解：（1）当x＝0 吋，y＝x﹣b＝﹣b， ∴B（0，﹣b）， ∵AB＝8，而 A（0，b）， ∴b﹣（﹣b）＝8， ∴b＝4． ∴L：y＝﹣x2+4x， ∴L 的对称轴 x＝2， 当 x＝2 吋，y＝x﹣4＝﹣2， ∴L 的对称轴与 a 的交点为（2，﹣2 ）； （2）y＝﹣（x﹣ ）2+ ， ∴L 的顶点 C（ ） ∵点 C 在 l 下方， ∴C 与 l 的距离 b﹣ ＝﹣ （b﹣2）2+1≤1， ∴点 C 与 1 距离的最大值为 1； （3）由題意得 ，即 y1+y2＝2y3， 得 b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0） 解得 x0＝0 或 x0＝b﹣ ．但 x0#0，取 x0＝b﹣ ， 对于 L，当 y＝0 吋，0＝﹣x2+bx，即 0＝﹣x（x﹣b）， 解得 x1＝0，x2＝b， ∵b＞0， ∴右交点 D（b，0）． ∴点（x0，0）与点 D 间的距离 b﹣（b﹣ ）＝ （4）①当 b＝2019 时，抛物线解析式 L：y＝﹣x2+2019x 直线解析式 a：y＝x﹣2019 联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019， ∴可知每一个整数 x 的值都对应的一个整数 y 值，且﹣1 和 2019 之间（包括﹣1 和﹣2019） 共有 2021 个整数； ∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有 2021 个整数点 ∴总计 4042 个点， ∵这两段图象交点有 2 个点重复重复， ∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）； ②当 b＝2019.5 时， 抛物线解析式 L：y＝﹣x2+2019.5x， 直线解析式 a：y＝x﹣2019.5， 联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5， ∴当 x 取整数时，在一次函数 y＝x﹣2019.5 上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美 点”为 0， 在二次函数 y＝x+2019.5x 图象上，当 x 为偶数时，函数值 y 可取整数， 可知﹣1 到 2019.5 之间有 1009 个偶数，并且在﹣1 和 2019.5 之间还有整数 0，验证后可 知 0 也符合 条件，因此“美点”共有 1010 个． 故 b＝2019 时“美点”的个数为 4040 个，b＝2019.5 时“美点”的个数为 1010 个．