河北省中考数学试卷

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河北省中考数学试卷

2019 年河北省中考数学试卷 一、选择题(本大题有 16 个小题,共 42 分,1-10 小题各 3 分,11-16 小题各 2 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(3 分)下列图形为正多边形的是(  ) A. B. C. D. 2.(3 分)规定:(→2)表示向右移动 2 记作+2,则(←3)表示向左移动 3 记 作(  ) A.+3 B.﹣3 C.﹣ D.+ 3.(3 分)如图,从点 C 观测点 D 的仰角是(  ) A.∠DAB B.∠DCE C.∠DCA D.∠ADC 4.(3 分)语句“x 的 与 x 的和不超过 5”可以表示为(  ) A. +x≤5 B. +x≥5 C. ≤5 D. +x=5 5.(3 分)如图,菱形 ABCD 中,∠D=150°,则∠1=(  ) A.30° B.25° C.20° D.15° 6.(3 分)小明总结了以下结论: ①a(b+c)=ab+ac; ②a(b﹣c)=ab﹣ac; ③(b﹣c)÷a=b÷a﹣c÷a(a≠0); ④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0) 其中一定成立的个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.(3 分)下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容 则回答正确的是(  ) A.◎代表∠FEC B.@代表同位角 C.▲代表∠EFC D.※代表 AB 8.(3 分)一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ,把 用科学记数法表示 为(  ) A.5×10﹣4 B.5×10﹣5 C.2×10﹣4 D.2×10﹣5 9.(3 分)如图,在小正三角形组成的网格中,已有 6 个小正三角形涂黑,还需 涂黑 n 个小正三角形,使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三 条对称轴,则 n 的最小值为(  ) A.10 B.6 C.3 D.2 10.(3 分)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是(  ) A. B. C. D. 11.(2 分)某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类,以下是排乱的 统计步骤: ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是(  ) A.②→③→①→④ B.③→④→①→② C.①→②一④→ ③ D.②→④→③→① 12.(2 分)如图,函数 y= 的图象所在坐标系的原点是(  ) A.点 M B.点 N C.点 P D.点 Q 13.(2 分)如图,若 x 为正整数,则表示 ﹣ 的值的点落在(  ) A.段① B.段② C.段③ D.段④ 14.(2 分)图 2 是图 1 中长方体的三视图,若用 S 表示面积,S 主=x2+2x,S 左= x2+x,则 S 俯=(  ) A.x2+3x+2 B.x2+2 C.x2+2x+1 D.2x2+3x 15.(2 分)小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了 a=1,b= 4,解出其中一个根是 x=﹣1.他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 2.则原方程的根的情况是(  ) A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是 x=﹣1 D.有两个相等的实数根 16.(2 分)对于题目:“如图 1,平面上,正方形内有一长为 12、宽为 6 的矩 形,它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由 地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数 n.”甲、乙、丙作了自认为 边长最小的正方形,先求出该边长 x,再取最小整数 n. 甲:如图 2,思路是当 x 为矩形对角线长时就可移转过去;结果取 n=13. 乙:如图 3,思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取 n= 14. 丙:如图 4,思路是当 x 为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去;结果 取 n=13. 下列正确的是(  ) A.甲的思路错,他的 n 值对 B.乙的思路和他的 n 值都对 C.甲和丙的 n 值都对 D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对 二、填空题(本大题有 3 个小题,共 11 分,17 小题 3 分:18~19 小题各有 2 个空,每空 2 分,把答案写在题中横线上) 17.(3 分)若 7﹣2×7﹣1×70=7p,则 p 的值为  . 18.(4 分)如图,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的 数. 示例: 即 4+3=7 则(1)用含 x 的式子表示 m=  ; (2)当 y=﹣2 时,n 的值为  . 19.(4 分)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了 A,B,C 三地 的坐标,数据如图(单位:km).笔直铁路经过 A,B 两地. (1)A,B 间的距离为  km; (2)计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l,并在 l 上建一个维修站 D,使 D 到 A,C 的距离相等,则 C,D 间的距离为  km. 三、解答题(本大题有 7 个小题,共 67 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 20.(8 分)有个填写运算符号的游戏:在“1□2□6□9”中的每个□内,填入 +,﹣,×,÷中的某一个(可重复使用),然后计算结果. (1)计算:1+2﹣6﹣9; (2)若 1÷2×6□9=﹣6,请推算□内的符号; (3)在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后,使计算所得数最小,直接写出这 个最小数. 21.(9 分)已知:整式 A=(n2﹣1)2+(2n)2,整式 B>0. 尝试化简整式 A. 发现 A=B2,求整式 B. 联想由上可知,B2=(n2﹣1)2+(2n)2,当 n>1 时,n2﹣1,2n,B 为直角三 角形的三边长,如图.填写下表中 B 的值: 直角三角形三边 n2﹣1 2n B 勾股数组Ⅰ / 8    勾股数组Ⅱ 35 /    22.(9 分)某球室有三种品牌的 4 个乒乓球,价格是 7,8,9(单位:元)三 种.从中随机拿出一个球,已知 P(一次拿到 8 元球)= . (1)求这 4 个球价格的众数; (2)若甲组已拿走一个 7 元球训练,乙组准备从剩余 3 个球中随机拿一个训 练. ①所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数是否相同?并简要 说明理由; ②乙组先随机拿出一个球后放回,之后又随机拿一个,用列表法(如图)求 乙组两次都拿到 8 元球的概率. 又拿 先拿 23.(9 分)如图,△ABC 和△ADE 中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°, 边 AD 与边 BC 交于点 P(不与点 B,C 重合),点 B,E 在 AD 异侧,I 为△APC 的内心. (1)求证:∠BAD=∠CAE; (2)设 AP=x,请用含 x 的式子表示 PD,并求 PD 的最大值; (3)当 AB⊥AC 时,∠AIC 的取值范围为 m°<∠AIC<n°,分别直接写出 m, n 的值. 24.(10 分)长为 300m 的春游队伍,以 v(m/s)的速度向东行进,如图 1 和图 2,当队伍排尾行进到位置 O 时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后 立即返回排尾,甲的往返速度均为 2v(m/s),当甲返回排尾后,他及队伍均 停止行进.设排尾从位置 O 开始行进的时间为 t(s),排头与 O 的距离为 S 头 (m). (1)当 v=2 时,解答: ①求 S 头与 t 的函数关系式(不写 t 的取值范围); ②当甲赶到排头位置时,求 S 的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与 位置 O 的距离为 S 甲(m),求 S 甲与 t 的函数关系式(不写 t 的取值范围) (2)设甲这次往返队伍的总时间为 T(s),求 T 与 v 的函数关系式(不写 v 的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程. 25.(10 分)如图 1 和 2,▱ABCD 中,AB=3,BC=15,tan∠DAB= .点 P 为 AB 延长线上一点,过点 A 作⊙O 切 CP 于点 P,设 BP=x. (1)如图 1,x 为何值时,圆心 O 落在 AP 上?若此时⊙O 交 AD 于点 E,直接 指出 PE 与 BC 的位置关系; (2)当 x=4 时,如图 2,⊙O 与 AC 交于点 Q,求∠CAP 的度数,并通过计算 比较弦 AP 与劣弧 长度的大小; (3)当⊙O 与线段 AD 只有一个公共点时,直接写出 x 的取值范围. 26.(12 分)如图,若 b 是正数,直线 l:y=b 与 y 轴交于点 A;直线 a:y=x﹣ b 与 y 轴交于点 B;抛物线 L:y=﹣x2+bx 的顶点为 C,且 L 与 x 轴右交点为 D. (1)若 AB=8,求 b 的值,并求此时 L 的对称轴与 a 的交点坐标; (2)当点 C 在 l 下方时,求点 C 与 l 距离的最大值; (3)设 x0≠0,点(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分别在 l,a 和 L 上,且 y3 是 y1,y2 的平均数,求点(x0,0)与点 D 间的距离; (4)在 L 和 a 所围成的封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为 “美点”,分别直接写出b=2019 和 b=2019.5 时“美点”的个数. 2019 年河北省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题有 16 个小题,共 42 分,1-10 小题各 3 分,11-16 小题各 2 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.【解答】解:正五边形五个角相等,五条边都相等, 故选:D. 2.【解答】解:“正”和“负”相对,所以,如果(→2)表示向右移动 2 记作+2,则(← 3)表示向左移动 3 记作﹣3. 故选:B. 3.【解答】解:∵从点C 观测点 D 的视线是 CD,水平线是 CE, ∴从点 C 观测点 D 的仰角是∠DCE, 故选:B. 4.【解答】解:“x 的 与 x 的和不超过 5”用不等式表示为 x+x≤5. 故选:A. 5.【解答】解:∵四边形ABCD 是菱形,∠D=150°, ∴AB∥CD,∠BAD=2∠1, ∴∠BAD+∠D=180°, ∴∠BAD=180°﹣150°=30°, ∴∠1=15°; 故选:D. 6.【解答】解:①a(b+c)=ab+ac,正确; ②a(b﹣c)=ab﹣ac,正确; ③(b﹣c)÷a=b÷a﹣c÷a(a≠0),正确; ④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0),错误,无法分解计算. 故选:C. 7.【解答】证明:延长BE 交 CD 于点 F, 则∠BEC=∠EFC+∠C(三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和). 又∠BEC=∠B+∠C,得∠B=∠EFC. 故 AB∥CD(内错角相等,两直线平行). 故选:C. 8.【解答】解: =0.00002=2×10﹣5. 故选:D. 9.【解答】解:如图所示,n 的最小值为 3, 故选:C. 10.【解答】解:三角形外心为三边的垂直平分线的交点,由基本作图得到C 选项作了两边 的垂直平分线,从而可用直尺成功找到三角形外心. 故选:C. 11.【解答】解:由题意可得, 正确统计步骤的顺序是:②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并 绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最 受学生欢迎的种类, 故选:D. 12.【解答】解:由已知可知函数y= 关于 y 轴对称, 所以点 M 是原点; 故选:A. 13.【解答】解∵ ﹣ = ﹣ =1﹣ = 又∵x 为正整数, ∴ ≤x<1 故表示 ﹣ 的值的点落在② 故选:B. 14.【解答】解:∵S 主=x2+2x=x(x+2),S 左=x2+x=x(x+1), ∴俯视图的长为 x+2,宽为 x+1, 则俯视图的面积 S 俯=(x+2)(x+1)=x2+3x+2, 故选:A. 15.【解答】解:∵小刚在解关于x 的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了 a=1,b=4, 解出其中一个根是 x=﹣1, ∴(﹣1)2﹣4+c=0, 解得:c=3, 故原方程中 c=5, 则 b2﹣4ac=16﹣4×1×5=﹣4<0, 则原方程的根的情况是不存在实数根. 故选:A. 16.【解答】解:甲的思路正确,长方形对角线最长,只要对角线能通过就可以,但是计算 错误,应为 n=14; 乙的思路与计算都正确; 乙的思路与计算都错误,图示情况不是最长; 故选:B. 二、填空题(本大题有 3 个小题,共 11 分,17 小题 3 分:18~19 小题各有 2 个空,每空 2 分,把答案写在题中横线上) 17.【解答】解:∵7﹣2×7﹣1×70=7p, ∴﹣2﹣1+0=p, 解得:p=﹣3. 故答案为:﹣3. 18.【解答】解:(1)根据约定的方法可得: m=x+2x=3x; 故答案为:3x; (2)根据约定的方法即可求出 n x+2x+2x+3=m+n=y. 当 y=﹣2 时,5x+3=﹣2. 解得 x=﹣1. ∴n=2x+3=﹣2+3=1. 故答案为:1. 19.【解答】解:(1)由A、B 两点的纵坐标相同可知:AB∥x 轴, ∴AB=12﹣(﹣8)20; (2)过点 C 作 l⊥AB 于点 E,连接 AC,作 AC 的垂直平分线交直线 l 于点 D, 由(1)可知:CE=1﹣(﹣17)=18, AE=12, 设 CD=x, ∴AD=CD=x, 由勾股定理可知:x2=(18﹣x)2+122, ∴解得:x=13, ∴CD=13, 故答案为:(1)20;(2)13; 三、解答题(本大题有 7 个小题,共 67 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20.【解答】解:(1)1+2﹣6﹣9 =3﹣6﹣9 =﹣3﹣9 =﹣12; (2)∵1÷2×6□9=﹣6, ∴1× ×6□9=﹣6, ∴3□9=﹣6, ∴□内的符号是“﹣”; (3)这个最小数是﹣20, 理由:∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后,使计算所得数最小, ∴1□2□6 的结果是负数即可, ∴1□2□6 的最小值是 1﹣2×6=﹣11, ∴1□2□6﹣9 的最小值是﹣11﹣9=﹣20, ∴这个最小数是﹣20. 21.【解答】解:A=(n2﹣1)2+(2n)2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2, ∵A=B2,B>0, ∴B=n2+1, 当 2n=8 时,n=4,∴n2+1=42+1=15; 当 n2﹣1=35 时,n2+1=37. 故答案为:15;37 22.【解答】解:(1)∵P(一次拿到 8 元球)= , ∴8 元球的个数为 4× =2(个),按照从小到大的顺序排列为 7,8,8,9, ∴这 4 个球价格的众数为 8 元; (2)①所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数相同;理由如下: 原来 4 个球的价格按照从小到大的顺序排列为 7,8,8,9, ∴原来 4 个球价格的中位数为 =8(元), 所剩的 3 个球价格为 8,8,9, ∴所剩的 3 个球价格的中位数为 8 元, ∴所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数相同; ②列表如图所示:共有 9 个等可能的结果,乙组两次都拿到 8 元球的结果有 4 个, ∴乙组两次都拿到 8 元球的概率为 . 23.【解答】解:(1)在△ABC 和△ADE 中,(如图 1) ∴△ABC≌△ADE(SAS) ∴∠BAC=∠DAE 即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE ∴∠BAD=∠CAE. (2)∵AD=6,AP=x, ∴PD=6﹣x 当 AD⊥BC 时,AP= AB=3 最小,即 PD=6﹣3=3 为 PD 的最大值. (3)如图 2,设∠BAP=α,则∠APC=α+30°, ∵AB⊥AC ∴∠BAC=90°,∠PCA=60°,∠PAC=90°﹣α, ∵I 为△APC 的内心 ∴AI、CI 分别平分∠PAC,∠PCA, ∴∠IAC= ∠PAC,∠ICA= ∠PCA ∴∠AIC=180°﹣(∠IAC+∠ICA) =180°﹣ (∠PAC+∠PCA) =180°﹣ (90°﹣α+60°) = α+105° ∵0<α<90°, ∴105°< α+105°<150°,即 105°<∠AIC<150°, ∴m=105,n=150. 24.【解答】解:(1)①排尾从位置O 开始行进的时间为 t(s),则排头也离开原排头 t (s), ∴S 头=2t+300 ②甲从排尾赶到排头的时间为 300÷(2v﹣v)=300÷v=300÷2=150 s,此时 S 头= 2t+300=600 m 甲返回时间为:(t﹣150)s ∴S 甲=S 头﹣S 甲回=2×150+300﹣4(t﹣150)=﹣4t+1200; 因此,S 头与 t 的函数关系式为 S 头=2t+300,当甲赶到排头位置时,求 S 的值为 600m, 在甲从排头返回到排尾过程中,S 甲与 t 的函数关系式为 S 甲=﹣4t+1200. (2)T=t 追及+t 返回= + = , 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为:v×(T﹣150)=v×( ﹣﹣150)= 400﹣150v; 因此 T 与 v 的函数关系式为:T= ,此时队伍在此过程中行进的路程为(400﹣150v) m. 25.【解答】解:(1)如图 1,AP 经过圆心 O,∵CP 与⊙O 相切于 P, ∴∠APC=90°, ∵▱ABCD, ∴AD∥BC, ∴∠PBC=∠DAB ∴ =tan∠PBC=tan∠DAB= ,设 CP=4k,BP=3k,由 CP2+BP2=BC2, 得(4k)2+(3k)2=152,解得 k1=﹣3(舍去),k2=3, ∴x=BP=3×3=9, 故当 x=9 时,圆心 O 落在 AP 上; ∵AP 是⊙O 的直径, ∴∠AEP=90°, ∴PE⊥AD, ∵▱ABCD, ∴BC∥AD ∴PE⊥BC (2)如图 2,过点 C 作 CG⊥AP 于 G, ∵▱ABCD, ∴BC∥AD, ∴∠CBG=∠DAB ∴ =tan∠CBG=tan∠DAB= , 设 CG=4m,BG=3m,由勾股定理得:(4m)2+(3m)2=152,解得 m=3, ∴CG=4×3=12,BG=3×3=9,PG=BG﹣BP=9﹣4=5,AP=AB+BP=3+4=7, ∴AG=AB+BG=3+9=12 ∴tan∠CAP= = =1, ∴∠CAP=45°; 连接 OP,OQ,过点 O 作 OH⊥AP 于 H,则∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°,PH= AP= , 在 Rt△CPG 中, = =13, ∵CP 是⊙O 的切线, ∴∠OPC=∠OHP=90°,∠OPH+∠CPG=90°,∠PCG+∠CPG=90° ∴∠OPH=∠PCG ∴△OPH∽△PCG ∴ ,即 PH×CP=CG×OP, ×13=12OP, ∴OP= ∴劣弧 长度= = , ∵ <2π<7 ∴弦 AP 的长度>劣弧 长度. (3)如图 3,⊙O 与线段 AD 只有一个公共点,即圆心 O 位于直线 AB 下方,且∠OAD≥90 °, 当∠OAD=90°,∠CPM=∠DAB 时,此时 BP 取得最小值,过点 C 作 CM⊥AB 于 M, ∵∠DAB=∠CBP, ∴∠CPM=∠CBP ∴CB=CP, ∵CM⊥AB ∴BP=2BM=2×9=18, ∴x≥18 26.【解答】解:(1)当x=0 吋,y=x﹣b=﹣b, ∴B(0,﹣b), ∵AB=8,而 A(0,b), ∴b﹣(﹣b)=8, ∴b=4. ∴L:y=﹣x2+4x, ∴L 的对称轴 x=2, 当 x=2 吋,y=x﹣4=﹣2, ∴L 的对称轴与 a 的交点为(2,﹣2 ); (2)y=﹣(x﹣ )2+ , ∴L 的顶点 C( ) ∵点 C 在 l 下方, ∴C 与 l 的距离 b﹣ =﹣ (b﹣2)2+1≤1, ∴点 C 与 1 距离的最大值为 1; (3)由題意得 ,即 y1+y2=2y3, 得 b+x0﹣b=2(﹣x02+bx0) 解得 x0=0 或 x0=b﹣ .但 x0#0,取 x0=b﹣ , 对于 L,当 y=0 吋,0=﹣x2+bx,即 0=﹣x(x﹣b), 解得 x1=0,x2=b, ∵b>0, ∴右交点 D(b,0). ∴点(x0,0)与点 D 间的距离 b﹣(b﹣ )= (4)①当 b=2019 时,抛物线解析式 L:y=﹣x2+2019x 直线解析式 a:y=x﹣2019 联立上述两个解析式可得:x1=﹣1,x2=2019, ∴可知每一个整数 x 的值都对应的一个整数 y 值,且﹣1 和 2019 之间(包括﹣1 和﹣2019) 共有 2021 个整数; ∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分:线段和抛物线, ∴线段和抛物线上各有 2021 个整数点 ∴总计 4042 个点, ∵这两段图象交点有 2 个点重复重复, ∴美点”的个数:4042﹣2=4040(个); ②当 b=2019.5 时, 抛物线解析式 L:y=﹣x2+2019.5x, 直线解析式 a:y=x﹣2019.5, 联立上述两个解析式可得:x1=﹣1,x2=2019.5, ∴当 x 取整数时,在一次函数 y=x﹣2019.5 上,y 取不到整数值,因此在该图象上“美 点”为 0, 在二次函数 y=x+2019.5x 图象上,当 x 为偶数时,函数值 y 可取整数, 可知﹣1 到 2019.5 之间有 1009 个偶数,并且在﹣1 和 2019.5 之间还有整数 0,验证后可 知 0 也符合 条件,因此“美点”共有 1010 个. 故 b=2019 时“美点”的个数为 4040 个,b=2019.5 时“美点”的个数为 1010 个.
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