2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第一篇 第2练
第2练 复数与平面向量
[明晰考情] 1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度.
考点一 复数的概念与四则运算
要点重组 (1)复数：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位.若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数.
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R).
(5)复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数.
1.(2018·全国Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|等于( )
A.0 B. C.1 D.
答案 C
解析 ∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，
∴|z|＝1.故选C.
2.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2等于( )
A.5－4i B.5＋4i C.3－4i D.3＋4i
答案 D
解析 由已知得a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i，
∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.
3.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，
反过来(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，
则a2－b2＝0，2ab＝2，
解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1.
故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件，故选A.
4.复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是虚数，则实数m的取值范围是__________.
答案 {m|m≠6且m≠－1}
解析 根据题意知，m2－5m－6≠0，即(m－6)(m＋1)≠0，所以m≠6且m≠－1.
考点二 复数的几何意义
要点重组 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
5.设a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R(i是虚数单位)，则a等于( )
A.3 B.－3 C. D.－
答案 B
解析 (1＋3i)(1＋ai)＝1＋ai＋3i－3a，
∵(1＋3i)(1＋ai)∈R，
∴虚部为0，则a＋3＝0，∴a＝－3.
6.已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A.(－3，1) B.(－1，3) C.(1，＋∞) D.(－∞，－3)
答案 A
解析 由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，得
解得－3
0，则△ABC为锐角三角形.
答案 ②③
解析 在△ABC中，－＝，①错误；
若·>0，则B是钝角，△ABC是钝角三角形，④错误.
3.已知向量a＝(1，2)，b＝(1，1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________.
答案 ∪
解析 a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，由a·(a＋λb)>0，可得λ>－.
又a与a＋λb不共线，∴λ≠0.
故λ>－且λ≠0.
解题秘籍 (1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确.
(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.
(3)注意向量夹角的定义和范围.在△ABC中，和的夹角为π－B；向量a，b的夹角为锐角要和a·b>0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).
1.设i是虚数单位，则复数i3－等于( )
A.－i B.－3i C.i D.3i
答案 C
解析 i3－＝－i－＝－i＋2i＝i.故选C.
2.(2017·山东)已知a∈R，i是虚数单位.若z＝a＋i，z·＝4，则a等于( )
A.1或－1 B.或－ C.－ D.
答案 A
解析 ∵z·＝4，∴|z|2＝4，即|z|＝2.
∵z＝a＋i，∴|z|＝＝2，∴a＝±1.
故选A.
3.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案 B
解析 ＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知，－1＋i在复平面内的对应点为
(－1，1)，该点位于第二象限，故选B.
4.(2018·安庆模拟)在△ABC中，点D是边BC上任意一点， M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A. B.－ C.2 D.－2
答案 B
解析 因为点D在边BC上，所以存在t∈R，
使得＝t＝t(－).
因为M是线段AD的中点，所以＝(＋)＝(－＋t－t)＝－(t＋1)＋t.
又＝λ＋μ，
所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，所以λ＋μ＝－.
5.“复数z＝在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 D
解析 由题意得z＝a－3i，
若z在复平面内对应的点在第三象限，则a<0，故选D.
6.(2018·通州期末)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＋＝0，且||＝||，则·等于( )
A. B. C.3 D.2
答案 C
解析 ∵＋＋＝0，∴＝－，故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形，
又△ABC的外接圆的半径为1，||＝||，∴BC＝2，AB＝1，CA＝，∠BCA＝30°，
∴·＝||||·cos 30°＝×2×＝3.
7.已知a>0，＝2，则a等于( )
A.2 B. C. D.1
答案 B
解析 ＝＝＝2，即a2＝3.
又∵a>0，∴a＝.
8.(2018·浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )
A.－1 B.＋1
C.2 D.2－
答案 A
解析 ∵b2－4e·b＋3＝0，
∴(b－2e)2＝1，
∴|b－2e|＝1.
如图所示，把a，b，e的起点作为公共点O，以O为坐标原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点M(2，0)为圆心，1为半径的圆上，|a－b|就是线段AB的长度.
要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此|a－b|的最小值为－1.
故选A.
9.设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝______.
答案 4
解析 由题意得(1＋i)＋(1＋2i)＝(1＋3i)，
∴(5x＋2y)＋(5x＋4y)i＝5＋15i，
∴∴∴x＋y＝4.
10.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积之比为________.
答案
解析 设AB的中点为D，由5＝＋3，
得3－3＝2－2，
即3＝2.
故C，M，D三点共线，
如图所示，＝，
也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，
则△ABM与△ABC的面积之比为.
11.(2018·德阳诊断)已知i为虚数单位，实数x，y满足(x＋2i)i＝y－i，则|x－yi|＝______.
答案
解析 ∵(x＋2i)i＝y－i，∴－2＋xi＝y－i，∴
则|x－yi|＝|－1＋2i|＝.
12.已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值为________.
答案 13
解析 以点A为坐标原点，，所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，
＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，
∴点P(1，4)，则·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，
当且仅当＝4t，
即t＝时取“＝”，
∴·的最大值为13.
