高科数学专题复习课件:第十四章 14_1 第1课时坐标系与参数方程

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高科数学专题复习课件:第十四章 14_1 第1课时坐标系与参数方程

§14.1   坐标系与参数方程 第 1 课时  坐标系 基础知识   自主学习 课时作业 题型分 类  深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 设点 P ( x , y ) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ : ______________ 的 作用下,点 P ( x , y ) 对应到点 P ′ ( x ′ , y ′ ) ,称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换 . 1. 平面直角坐标系 知识梳理 2. 极坐标系 (1) 极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O ,自点 O 引一条射线 Ox ,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向 ( 通常取逆时针方向 ) ,这样就建立了一个极坐标系 . 点 O 称为极点,射线 Ox 称为极轴 . 平面内任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从射线 Ox 到射线 OM 的角度 θ 来刻画 ( 如图所示 ). 这两个数组成的有序数对 ( ρ , θ ) 称为点 M 的极坐标 . ρ 称为点 M 的 , θ 称为点 M 的 . 一般认为 ρ ≥ 0. 当极角 θ 的取值范围是 [0,2π) 时,平面上的点 ( 除去极点 ) 就与极坐标 ( ρ , θ ) ( ρ ≠ 0) 建立一一对应的关系 . 我们设定,极点的极坐标中,极径 ρ = 0 ,极角 θ 可取任意角 . 极径 极角 (2) 极坐标与直角坐标的互化 设 M 为平面内的一点,它的直角坐标为 ( x , y ) ,极坐标为 ( ρ , θ ). 由图可知下面关系式成立: 这就是极坐标与直角坐标的互化公式 . 3. 常见曲线的极坐标 方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为 r 的圆 ______________ 圆心为 ( r, 0) ,半径为 r 的圆 ________________ 圆心为 ( r , ) ,半径为 r 的圆 _______________ ρ = r (0 ≤ θ <2π) ρ = 2 r cos θ ( - ≤ θ < ) ρ = 2 r sin θ (0 ≤ θ <π) 过极点,倾斜角为 α 的直线 θ = α ( ρ ∈ R ) 或 θ = π + α ( ρ ∈ R ) 过点 ( a, 0) ,与极轴垂直的 直线 ____________ 过点 ( a , ) ,与极轴 平行的 直线 ______________ ρ sin θ = a (0< θ <π) 1.(2016· 北京西城区模拟 ) 求在极坐标系中,过点 (2 , ) 且与极轴平行的直线方程 . 考点自测 解答 ∴ 过点 (0,2) 且与 x 轴平行的直线方程为 y = 2. 即为 ρ sin θ = 2. 解答 3. 在以 O 为极点的极坐标系中,圆 ρ = 4sin θ 和直线 ρ sin θ = a 相交于 A , B 两点 . 当 △ AOB 是等边三角形时,求 a 的值 . 解答 由 ρ = 4sin θ 可得 x 2 + y 2 = 4 y ,即 x 2 + ( y - 2) 2 = 4. 由 ρ sin θ = a 可得 y = a . 设圆的圆心为 O ′ , y = a 与 x 2 + ( y - 2) 2 = 4 的两 交点 A , B 与 O 构成等边三角形,如图所示 . 由对称性知 ∠ O ′ OB = 30° , OD = a . 题型分类 深度剖析 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例 1   (1) 以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求线段 y = 1 - x (0 ≤ x ≤ 1) 的极坐标方程 . 解答 ∴ y = 1 - x 化成 极坐标方程为 ρ cos θ + ρ sin θ = 1 , ∵ 0 ≤ x ≤ 1 , ∴ 线段在第一象限内 ( 含端点 ) , (2) 在极坐标系中,曲线 C 1 和 C 2 的方程分别为 ρ sin 2 θ = cos θ 和 ρ sin θ = 1. 以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线 C 1 和 C 2 交点的直角坐标 . 解答 因为 x = ρ cos θ , y = ρ sin θ ,由 ρ sin 2 θ = cos θ ,得 ρ 2 sin 2 θ = ρ cos θ , 所以曲线 C 1 的直角坐标方程为 y 2 = x . 由 ρ sin θ = 1 ,得曲线 C 2 的直角坐标方程为 y = 1. 思维 升华 (1) 极坐标与直角坐标互化的前提条件 : ① 极点与原点重合; ② 极轴与 x 轴的正半轴重合; ③ 取相同的单位长度 . ( 2) 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式 x = ρ cos θ 及 y = ρ sin θ 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如 ρ cos θ , ρ sin θ , ρ 2 的形式,进行整体代换 . 跟踪训练 1   (1) 曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 x = 0 ,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程 . 解答 将 x 2 + y 2 = ρ 2 , x = ρ cos θ 代入 x 2 + y 2 - 2 x = 0 , 得 ρ 2 - 2 ρ cos θ = 0 ,整理得 ρ = 2cos θ . (2) 求在极坐标系中,圆 ρ = 2cos θ 垂直于极轴的两条切线方程 . 解答 由 ρ = 2cos θ ,得 ρ 2 = 2 ρ cos θ ,化为直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 x = 0 ,即 ( x - 1) 2 + y 2 = 1 ,其垂直于 x 轴的两条切线方程为 x = 0 和 x = 2 , 题型二 求曲线的极坐标方程 例 2   将圆 x 2 + y 2 = 1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C . (1) 写出曲线 C 的方程; 解答 设 ( x 1 , y 1 ) 为圆上的点,在已知变换下变为曲线 C 上的点 ( x , y ) , (2) 设直线 l : 2 x + y - 2 = 0 与 C 的交点为 P 1 , P 2 ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P 1 P 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 . 解答 化为极坐标方程,并整理得 2 ρ cos θ - 4 ρ sin θ =- 3 , 思维 升华 求曲线的极坐标方程的步骤 : ( 1) 建立适当的极坐标系,设 P ( ρ , θ ) 是曲线上任意一点 ; ( 2) 由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式 ; ( 3) 将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程 . 跟踪训练 2   在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P ( ) ,圆心为 直线 与 极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程 . 解答 令 θ = 0 ,得 ρ = 1 , 所以圆 C 的圆心坐标为 (1,0). 如图所示,因为圆 C 经过点 于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ = 2cos θ . 题型三 极坐标方程的应用 例 3   (2015· 课标全国 Ⅰ ) 在直角坐标系 xOy 中,直线 C 1 : x =- 2 ,圆 C 2 : ( x - 1) 2 + ( y - 2) 2 = 1 ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . (1) 求 C 1 , C 2 的极坐标方程; 解答 因为 x = ρ cos θ , y = ρ sin θ , 所以 C 1 的极坐标方程为 ρ cos θ =- 2 , C 2 的极坐标方程为 ρ 2 - 2 ρ cos θ - 4 ρ sin θ + 4 = 0. 由于 C 2 的半径为 1 ,所以 △ C 2 MN 为等腰直角三角形, 解答 思维 升华 (1) 已知极坐标系方程讨论位置关系时,可以先化为直角坐标方程 ; ( 2) 在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性 . 跟踪训练 3   ( 2017· 广州调研 ) 在极坐标系中,求直线 ρ sin( θ + ) = 2 被圆 ρ = 4 截得的弦长 . 解答 课时作业 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 在极坐标系 ( ρ , θ )(0 ≤ θ < 2π) 中,求曲线 ρ (cos θ + sin θ ) = 1 与 ρ (sin θ - cos θ ) = 1 的交点的极坐标 . 解答 曲线 ρ (cos θ + sin θ ) = 1 化为直角坐标方程为 x + y = 1 , ρ (sin θ - cos θ ) = 1 化为直角坐标方程为 y - x = 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 在极坐标系中,已知圆 ρ = 3cos θ 与直线 2 ρ cos θ + 4 ρ sin θ + a = 0 相切,求实数 a 的值 . 解答 圆 ρ = 3cos θ 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 3 x , 直线 2 ρ cos θ + 4 ρ sin θ + a = 0 的直角坐标方程为 2 x + 4 y + a = 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 以极点为坐标原点,极轴为 x 轴建立直角坐标系, 则曲线 ρ = 2cos θ 的直角坐标方程为 ( x - 1) 2 + y 2 = 1 , 且圆心为 (1,0). 因为圆心 (1,0) 关于 y = x 的对称点为 (0,1) , 所以圆 ( x - 1) 2 + y 2 = 1 关于 y = x 的对称曲线为 x 2 + ( y - 1) 2 = 1. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对曲线 C 1 的极坐标方程进行转化: ∵ ρ = 12sin θ , ∴ ρ 2 = 12 ρ sin θ , ∴ x 2 + y 2 - 12 y = 0 , 即 x 2 + ( y - 6) 2 = 36. 对曲线 C 2 的极坐标方程进行转化: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 OA = 4 , OB = 5 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 已知 P (5 , ) , O 为极点,求使 △ POP ′ 为正三角形的点 P ′ 的坐标 . 解答 设 P ′ 点的极坐标为 ( ρ , θ ). ∵△ POP ′ 为正三角形,如图所示, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 在极坐标系中,判断直线 ρ cos θ - ρ sin θ + 1 = 0 与圆 ρ = 2sin θ 的位置 关系 . 直线 ρ cos θ - ρ sin θ + 1 = 0 可化成 x - y + 1 = 0 ,圆 ρ = 2sin θ 可化为 x 2 + y 2 = 2 y ,即 x 2 + ( y - 1) 2 = 1. 解答 故直线与圆相交 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 (1) 将 M 、 N 、 P 三点的极坐标化为直角坐标; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 (2) 判断 M 、 N 、 P 三点是否在一条直线上 . ∴ k MN = k NP , ∴ M 、 N 、 P 三点在一条直线上 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1) 写出 C 的直角坐标方程,并求 M 、 N 的极坐标; 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当 θ = 0 时, ρ = 2 ,所以 M (2,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 设 MN 的中点为 P ,求直线 OP 的极坐标方程 . 解答 M 点的直角坐标为 (2,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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