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文档介绍
甘肃省兰州市联片办学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题
2019—2020学年第一学期联片办学期末考试 高二年级理科数学试卷 一、选择题 1.命题“若,则”的逆否命题是( ) A. 若,则,或 B. 若,则 C. 若或,则 D. 若或,则 【答案】D 【解析】 【分析】 根据逆否命题的定义即可写出原命题的逆否命题. 【详解】解:根据逆否命题的定义知,原命题的逆否命题为: 若或,则, 故选:. 【点睛】考查逆否命题的定义,以及写出原命题的逆否命题的方法,属于基础题. 2.“不到长城非好汉,屈指行程二万”,出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》,反映了中华民族的一种精神气魄,一种积极向上的奋斗精神,其中“到长城”是“好汉”的( ) A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分条件 D. 必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】解:设为不到长城,为非好汉,即, 则,即好汉到长城, 故“到长城”是“好汉”的必要条件, 故选:. 【点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键,属于基础题. 3.下列说法中,正确是( ) A. “”是“”充分的条件; B. “”是“”成立的充分不必要条件; C. 命题“已知,是实数,若,则或”为真命题; D. 命题“若,都是正数,则也是正数”的逆否命题是“若不是正数,则,都不是正数”. 【答案】C 【解析】 【分析】 .根据充分条件的定义加以判断. .根据充分必要条件的定义加以判断. .写出原命题的逆否命题,根据互为逆否命题同真假加以判断;.写出原命题的逆命题,然后加以判断; 【详解】解:对于:由得不到,故“”是“”的不充分的条件,故错误; 对于:由推不出,但是由能够得到,故“”是“”成立的必要不充分条件,故错误; 对于:命题“已知,是实数,若,则或”的逆否命题为“已知,是实数,若且,则”,显然是真命题,根据互为逆否命题同真假可知原命题是真的,故正确; 对于:命题“若,都是正数,则也是正数”的逆否命题是“若不是正数,则,不都是正数”,故错误; 故选: 【点睛】本题考查简易逻辑的基础知识:四种命题及真假,充分必要条件,属于基础题. 4.已知命题“设、、,若,则”,则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析:由题意得,命题“设、、,若,则”为真命题,所以它的逆否命题也为真命题;又由原命题的逆命题为“设、、,若,则”为假命题,所以它的否命题也为假命题,所以在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有一个,故选B. 考点:四种命题的真假的判定. 5.当双曲线:的焦距取得最小值时,双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可得,可得取得最小值,由双曲线的渐近线方程,可得渐近线的斜率. 【详解】解:由题意可得, 可得当时,焦距取得最小值, 双曲线的方程为, 即有渐近线方程为. 故选:. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线的斜率的求法,注意运用二次函数的最值的求法,考查运算能力,属于中档题. 6.若方程表示焦点在轴上的椭圆,则锐角的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 依题意可得关于的三角不等式,根据正弦函数的性质解答. 【详解】解:因为方程表示焦点在轴上的椭圆 所以即,由正弦函数的性质可得, 又为锐角 即 故选: 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质,以及正弦函数的性质,属于基础题. 7.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点,则直线的斜率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设直线被椭圆所截得线段,,,,利用点差法可求直线的斜率. 【详解】解:设直线被椭圆所截得的线段,,,, 因为线段中点为,, , , , ,即直线的斜率是. 故选:. 【点睛】本题考查了中点弦问题,点差法是最好的方法,属于基础题. 8.若抛物线上的点到其焦点的距离为,则实数=( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,即可求出结果. 【详解】因为抛物线的准线方程为, 又抛物线上的点到其焦点的距离为, 所以,因此. 故选B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义,灵活运用抛物线的定义即可求出结果,属于基础题型. 9.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积等于( ) A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 写出抛物线的准线与双曲线的两条渐近线方程是解决本题的关键,然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积. 【详解】解:抛物线的准线为,双曲线的两条渐近线方程分别为:,,如图这三条直线构成边长为的等边三角形,因此,所求三角形面积等于. 故选:. 【点睛】本题考查三角形形状的确定和面积的求解,考查双曲线标准方程与其渐近线方程的联系,抛物线标准方程与其准线方程的联系,考查学生直线方程的书写,考查学生分析问题解决问题的能力,属于基本题型. 10.方程(x2+y2-4))=0的曲线形状是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由可得: 或 它表示直线和圆在直线右上方的部分 故选 11.双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为 A. 2sin40° B. 2cos40° C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由双曲线渐近线定义可得,再利用求双曲线离心率. 【详解】由已知可得, ,故选D. 【点睛】对于双曲线:,有;对于椭圆,有,防止记混. 12.设是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,若且,则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析:由勾股定理得 (2c)2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1﹣PF2|2 +2,得到 e2﹣e﹣1=0,解出e. 详解:由题意得,△PF1F2是直角三角形, 由勾股定理得 (2c)2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1﹣PF2|2 +2=4a2+4ac, ∴c2﹣ac﹣a2=0,e2﹣e﹣1=0 且e>1, 解方程得e=, 故答案:C 点睛:(1)本题主要考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用.(2)利用勾股定理及双曲线的定义建立a、c的关系是解题的关键. 二、填空题 13.命题“”的否定是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用全称命题的否定可得出答案. 【详解】由全称命题的否定可知,命题“”的否定是“, ”,故答案为“,”. 【点睛】本题考查全称命题的否定,熟记全称命题与特称命题的否定形式是解本题的关键,属于基础题. 14.双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于9,那么点 到另一个焦点的距离等于________. 【答案】3或15 【解析】 【分析】 通过双曲线方程求出,再由已知条件,利用双曲线的定义能求出结果. 【详解】解:双曲线的标准方程是, , 设点到另一个焦点的距离为, 双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于9, 由双曲线定义知:, 解得,或. 点到另一个焦点的距离是15或3. 故答案为:3或15. 【点睛】本题考查双曲线上一点到焦点距离的求法,解题时要熟练掌握双曲线性质,属于基础题. 15.一动圆与圆外切,同时与圆内切,则动圆圆心的轨迹方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 求出两个圆的圆心与半径,设出动圆的圆心与半径,判断动圆的圆心轨迹,推出结果即可. 【详解】圆x2+y2+6x+5=0的圆心为A(﹣3,0),半径为2; 圆x2+y2﹣6x﹣91=0的圆心为B(3,0),半径为10; 设动圆圆心为M(x,y),半径为x; 则MA=2+r,MB=10﹣r; 于是MA+MB=12>AB=6 所以,动圆圆心M的轨迹是以A(﹣3,0),B(3,0)为焦点,长轴长为12的椭圆. a=6,c=3,b2=a2﹣c2=27; 所以M的轨迹方程为 故答案为 【点睛】本题考查轨迹方程的求法,考查椭圆定义的应用,考查分析问题解决问题的能力,转化思想的应用. 16.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则____________. 【答案】6 【解析】 如图所示,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线与轴交于点,作与点,与点,由抛物线的解析式可得准线方程为,则,在直角梯形中,中位线,由抛物线的定义有:,结合题意,有,故. 点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线,又能与距离联系起来,那么用抛物线定义就能解决问题.因此,涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离,这样就可以使问题简单化. 三、解答题 17.设命题:实数满足,其中;命题:实数满足. (1)当时,若为真,求的取值范围; (2)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)将代入,由为真可判断真且真,分别求解出命题对应的实数的取值范围,再求交集即可; (2)先将是的必要不充分条件转化为是的必要不充分条件,再结合端点值建立不等关系求解即可 【详解】(1)当时,真,则,解得; 真,则解得. ∵为真,则真且真, 故的取值范围为. (2)是的必要不充分条件,则是的必要不充分条件, ∵真,有, ∴故. 【点睛】本题考查由命题的真假进一步确定取值范围问题,根据包含关系求解参数取值范围,属于基础题 18.(1)求过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线的方程; (2)求双曲线的焦点到其渐近线的距离. 【答案】(1);(2) 【解析】 【分析】 (1)设共渐近线的双曲线方程为,代点计算可得. (2)根据双曲线方程求出焦点坐标以及渐近线方程,再根据点到线的距离公式计算可得. 【详解】解:(1)因为所求双曲线与双曲线有公共渐近线, 所以可设所求双曲线的方程为. 因为所求双曲线过点, 所以,得, 所以所求双曲线的方程为. (2)因为双曲线的方程为, 所以双曲线的一条渐近线方程为, 即. 因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等, 且为双曲线的一个焦点, 所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为. 【点睛】本题考查共渐近线的双曲线方程的计算问题,以及点到线的距离公式,属于基础题. 19.如图所示,分别为椭圆的左、右两个焦点,A、B为两个顶点.已知椭圆C上的点到两点的距离之和为4. (1)求椭圆C的方程和焦点坐标; (2)过椭圆C的焦点作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求弦PQ的长. 【答案】(1),;(2) 【解析】 【详解】(1)由椭圆定义,又点在椭圆上, 椭圆方程为,焦点为 (2)方程为.代入椭圆方程 得, 设则 20.已知双曲线以为焦点,且过点 (1)求双曲线与其渐近线方程 (2)若斜率为1的直线与双曲线相交于两点,且(为坐标原点),求直线的方程 【答案】(1)双曲线C的方程为; 渐近线方程为.(2)l方程为. 【解析】 【分析】 (1)设出双曲线C方程,利用已知条件求出c,a,解得b,即可求出双曲线方程与渐近线的方程; (2)设直线l的方程为y=x+t,将其代入方程,通过△>0,求出t的范围,设A(x1,y1),B(x2,y2),利用韦达定理,通过x1x2+y1y2=0,求解t即可得到直线方程. 【详解】(1)设双曲线C的方程为,半焦距为c, 则c=2,,a=1, 所以b2=c2﹣a2=3, 故双曲线C的方程为. 双曲线C的渐近线方程为. (2)设直线l的方程为y=x+t,将其代入方程, 可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3=0(*) △=4t2+8(t2+3)=12t2+24>0,若设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1,x2是方程(*)的两个根,所以, 又由,可知x1x2+y1y2=0, 即x1x2+(x1+t)(x2+t)=0,可得, 故﹣(t2+3)+t2+t2=0,解得, 所以直线l方程为. 【点睛】本题考查双曲线的方程的求法,双曲线的简单性质的应用,直线与双曲线的位置关系的综合应用,考查计算能力. 21.已知点到点的距离与点到直线的距离相等. (1)求点的轨迹方程; (2)设点的轨迹为曲线,过点且斜率为1的直线与曲线相交于不同的两点, ,为坐标原点,求的面积. 【答案】(1);(2) 【解析】 【分析】 (1)由抛物线的定义可知点的轨迹是以为焦点的抛物线,即可求解. (2)由点斜式求出直线方程,联立直线与抛物线方程,消元,利用韦达定理即可求得三角形的面积. 【详解】解:(1)设, ∵动点到点的距离与到定直线的距离相等, ∴点到点的距离等于到直线的距离, 由抛物线定义得:点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线. 设抛物线方程为,可得: ,. ∴抛物线的方程为,即为点的轨迹方程. (2)由直线的斜率为1, 可得直线的方程为,即. 与联立,消去,整理得. 设,,则,, ∴, 因此的面积: . 【点睛】本题考查抛物线的定义,以及直线与抛物线的综合应用,属于中档题. 22.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左焦点为,右顶点为,上顶点为. (1)已知椭圆的离心率为,线段中点的横坐标为,求椭圆的标准方程; (2)已知△外接圆的圆心在直线上,求椭圆的离心率的值. 【答案】(1)(2) 【解析】 【分析】 (1)利用椭圆的离心率以及已知条件转化求解a,b即可得到椭圆方程. (2)A(a,0),F(﹣c,0),求出线段AF的中垂线方程为:.推出,求出线段AB的中垂线方程,推出b=c,然后求解椭圆的离心率即可. 【详解】(1)因为椭圆 的离心率为, 所以,则. 因为线段中点的横坐标为, 所以. 所以,则,. 所以椭圆的标准方程为. (2)因为, 所以线段的中垂线方程为:. 又因为△外接圆的圆心C在直线上, 所以.因为, 所以线段的中垂线方程为:. 由C在线段的中垂线上,得, 整理得,, 即. 因为,所以. 所以椭圆的离心率. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的离心率以及椭圆方程的求法,考查计算能力.查看更多