【数学】2019届一轮复习人教A版等差数列、等比数列的证明问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版等差数列、等比数列的证明问题学案

专题五 数列 问题一 等差数列、等比数列的证明问题 一、考情分析 等差数列与等比数列的证明是高考热点，一般出现在解答题第一问，等差数列与等比数列的证明难度虽然不大，但有一定的技巧性，且对规范性要求较高，解题时要避免会而不对或对而不全．‎ 二、经验分享 ‎1.等差数列证明方法主要有 (1)定义法 an－an－1(n≥2,n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列；(2)等差中项法 2an＝an－1＋an＋1(n≥2,n∈N*)成立⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法 an＝pn＋q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列；(4)前n项和公式法 验证数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A,B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列；‎ ‎2.若判断一个数列不是等差数列,只需找出三项an,an＋1,an＋2,使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可．‎ ‎3.等比数列的判定与证明方法主要有 (1)定义法 将已知中提供的递推关系式,或者是an与Sn的关系式进行化简,转化为数列{an}中相邻两项之间的关系,在an≠0(n∈N*)的前提下,若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数,n≥2且n∈N*),则{an}是等比数列．(2)等比中项法 数列{an}中,an≠0,如果根据已知条件能得到a＝an·an＋2(n∈N*),则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法 观察已知信息,或者计算出数列的通项公式,若可以写成an＝c·qn－1(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝ ·qn－ ( 为常数且 ≠0,q≠0,1),则数列{an}是等比数列．(5)性质法 利用等比数列的性质进行判断或证明.(6)数 归纳法.‎ 三、知识拓展 ‎1.数列{}中=1，=，则是等差数列，‎ ‎2.数列{}中=1，是{}的前n项和，=-2（n≥2），则是等差数列 ‎3．数列{}中=1，=（1+）+2n+2，则是等差数列 ‎ ‎4.数列{}中=1，=2+-1，则是等差数列 ‎ ‎5.数列{}中=2，=+1+，则是等差数列 ‎ 四、题型分析 ‎(一) 利用等差（等比）数列的定义 用定义法判断一个数列是等差数列,常采用的两个式子和有差别,前者必须加上“”,否则时无意义；在等比数列中一样有 时,有（常数）；②时,有（常数）． ！ ‎ ‎【例1】设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1＝1,a2＝,a3＝,且当n≥2时,4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.‎ ‎(1)求a4的值；‎ ‎(2)证明 为等比数列；‎ ‎(3)求数列{an}的通项公式．‎ ‎【分析】在本题中条件“4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1”(n≥2)是关键．要充分利用an与Sn的关系 解题,配凑出an＋2,an＋1,an的关系式,从而利用定义 证明等比数列；第3问中要利用第2问的结论,求出的通项,再用该递推关系求出an. ]‎ ‎【解析】　(1)当n＝2时,4S4＋5S2＝8S3＋S1,即4(a1＋a2＋a3＋a4)＋5(a1＋a2)＝8(a1＋a2＋a3)＋a1,整理得a4＝,‎ 又a2＝,a3＝,所以a4＝.‎ ‎(2)证明 当n≥2时,有4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1,‎ 即4Sn＋2＋4Sn＋Sn＝4Sn＋1＋4Sn＋1＋Sn－1,‎ 所以4(Sn＋2－Sn＋1)＝4(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1),‎ 即an＋2＝an＋1－an(n≥2)．‎ 经检验,当n＝1时,上式成立．‎ 因为＝＝＝为常数,且a2－a1＝1,‎ 所以数列是以1为首项,为公比的等比数列．‎ ‎【点评】证明数列成等比数列的关键是利用已知得出＝.‎ ‎【小试牛刀】【安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（ 12联盟）2018届高三上 期期末】已知数列满足， 且．‎ ‎（1）求证 数列是等差数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（2）令， ，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）， 且，‎ ‎∴，即，∴，‎ 数列是等差数列，∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）由（1）知，∴ ，‎ ‎∴，‎ ‎ ．‎ ‎ (二) 运用等差或等比中项性质 是等差数列,是等比数列,这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．‎ ‎ 【例2】正数数列和满足 对任意自然数成等差数列,成等比数列．证明 数列为等差数列．‎ ‎【点评】本题依据条件得到与的递推关系,通过消元代换构造了关于的等差数列,使问题得以解决．通过挖掘的意义导出递推关系式,灵活巧妙地构造得到中项性质,这种处理大大简化了计算．‎ ‎【小试牛刀】已知等比数列{an}的公比q＝－.‎ ‎(1)若a3＝,求数列{an}的前n项和； ‎ ‎(2)证明 对任意 ∈N*,a ,a ＋2,a ＋1成等差数列．‎ ‎【解析】(1)由通项公式可得a3＝a1＝,解得a1＝1,再由等比数列求和公式得Sn＝＝.‎ ‎(2)证明 ∵ ∈N*,∴2a ＋2－(a ＋a ＋1)＝2a1q ＋1－(a1q －1＋a1q )‎ ‎＝a1q －1(2q2－q－1)‎ ‎＝a1q －1· ‎＝0,∴2a ＋2－(a ＋a ＋1)＝0,∴对任意 ∈N*,a ,a ＋2,a ＋1成等差数列．‎ ‎(三) 反证法 解决数 ‎ 问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑．如 ‎ ‎【例3】设是公比不相等的两等比数列,．证明数列不是等比数列．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力,对逻辑思维能力有较高要求．要证不是等比数列,只要由特殊项（如）就可否定．一般地讲,否定性的命题常用反证法证明,其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性 ．  ‎ ‎【小试牛刀】 设{an}是公比为q的等比数列．‎ ‎（Ⅰ）推导{an}的前n项和公式；‎ ‎（Ⅱ）设q≠1,证明数列{an＋1}不是等比数列．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设{an}的前n项和为Sn,‎ 当q＝1时,Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；‎ 当q≠1时,Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1,①‎ qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn,②‎ ‎①－②得,(1－q)Sn＝a1－a1qn,‎ ‎∴Sn＝,∴Sn＝ ‎（Ⅱ）假设{an＋1}是等比数列,则对任意的 ∈N*,‎ ‎(a ＋1＋1)2＝(a ＋1)(a ＋2＋1),‎ a＋2a ＋1＋1＝a a ＋2＋a ＋a ＋2＋1,‎ aq2 ＋2a1q ＝a1q －1·a1q ＋1＋a1q －1＋a1q ＋1,‎ ‎∵a1≠0,∴2q ＝q －1＋q ＋1.‎ ‎∵q≠0,∴q2－2q＋1＝0,∴q＝1,这与已知矛盾．‎ ‎∴假设不成立,‎ ‎∴{an＋1}不是等比数列．‎ ‎【点评】证明一个数列不是等差数列或等比数列,有时也可假设前三项成等差数列或等比数列,推出矛盾,‎ ‎(四) 利用通项公式与前项和公式,证明或判断等差（等比）数列 ‎【例4】若是数列的前项和,,则是( 　　)‎ A．等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C．等差数列,而且也是等比数列 D.既非等数列又非等差数列 ‎【分析】由知是的二次函数,并且缺少一次项和常数项,符合等差数列的求和公式的形式.‎ ‎【答案】B ‎【解析】用到上述方法,一下子就知道答案为B,大大 节约了时间,同时大大提高了命中率．‎ ‎【点评】若数列通项能表示成（为常数）的形式,则数列是等差数列；若通项能表示成(均为不为0的常数,)的形式,则数列是等比数列． 若数列的前项和Sn能表示成 (a,b为常数)的形式,则数列等差数列；若Sn能表示成(均为不等于0的常数且q≠1)的形式,则数列是公比不为1的等比数列．这些结论用在选择填空题上可大大节约时间． ‎ 利用常规结论,证明或判断等差（等比）数列 ‎ 若数列是公比为的等比数列,则 ‎（1）数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；‎ ‎（2）若数列是公比为的等比数列,则数列是公比为的等比数列；‎ ‎（3）数列是公比为的等比数列；‎ ‎（4）数列是公比为的等比数列；‎ ‎（5）在数列中,每隔项取出一项,按原 顺序排列,所得新数列仍为等比数列且公比为；‎ ‎（6）,,等都是等比数列； ‎ ‎（7）若成等差数列时,成等比数列；‎ ‎（8）均不为零时,则成等比数列；‎ ‎（9）若是一个等差数列,则正项数列是一个等比数列．‎ 若数列是公差为等差数列,则 ‎（1）成等差数列,公差为（其中是实常数）；‎ ‎（2）,（为常数）,仍成等差数列,其公差为；‎ ‎（3）若都是等差数列,公差分别为,则是等差数列,公差为；‎ ‎（4）当数列是各项均为正数的等比数列时,数列是公差为的等差数列；‎ ‎（5）成等差数列时,成等差数列．‎ 评析 此题若用其它方法,解决起 要花比较多的时间,对于选择题 说得不断尝试．记住上面这些结论,在做选择填空题时可大大节约时间,并且能提高命中率．‎ 从上面可以看出 证明或判断等差（等比）数列的方法有许多种,作题时到底用何种方法,一般说 大题用前四种 定义法、运用等差或等比中项性质、运用数 归纳法、反证法,但用后面的方法可以容易检验出用前面的方法得出的结果是否正确,作小题应该用后面的方法．‎ ‎【小试牛刀】已知等比数列{an}的公比为q,记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m,cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是(　　)‎ A．数列{bn}为等差数列,公差为qm B．数列{bn}为等比数列,公比为q2m C．数列{cn}为等比数列,公比为qm2‎ D．数列{cn}为等比数列,公比为qmm ‎【答案】C 五、迁移运用 ‎1.【河北唐山市2017届高三年级期末】已知数列 满足 ,则“ 数列为等差数列” 是“ 数列为 等差数列”的（ ） ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若数列为等差数列,设其公差为,则＝,所以数列是等差数列；若数列为 等差数列,设其公差为,则－‎ ‎,不能推出数列为等差数列,所以“ 数列为等差数列” 是“ 数列为 等差数列”的充分不必要条件,故选A．‎ ‎2.【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考】已知数列的前项和,则““是“数列是等比数列”的（ ）．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎3.【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试】已知数列满足,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,,∴,∵,∴,∴,又∵,∴．∴数列是以﹣2为首项,﹣1为公差的等差数列,‎ ‎∴,∴．则．故答案为 ．‎ ‎4.【广东郴州市2017届高三第二次教 质量监测试卷】在中,分别是边的中点,分别是线段的中点,分别是线段的中点, 设数列满足 向量,有下列四个命题,其中假命题是 （ ） ‎ A．数列是单调递增数列,数列是单调递减数列 ‎ B．数列是等比数列 ‎ C.数列有最小值,无最大值 ‎ D．若中,,,,则最小时,‎ ‎【答案】C ‎【解析】由,,所以,‎ 所以C为假命题,故选C.‎ ‎5.【江西省新余市第一中 2017届高三上 期调研考试】 数列满足,记,则数列的前项和 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得,且,所以数列构成以1为首项,2为公差的等差数列,所以,从而得到,则,‎ 所以,,‎ 两式相减,得 所以.‎ ‎6．【安徽省池州市2018届高三上 期期末】已知数列满足 ， .‎ ‎（Ⅰ）求证 数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知，‎ ‎ 又，所以数列是首项为 公比为的等比数列，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7．【江苏省常州2018届高三上 期期末】已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足（其中为常数）， .数列满足.‎ ‎（1）证明数列是等差数列，并求出的通项公式；‎ ‎（2）若无穷等比数列满足 对任意的，数列中总存在两个不同的项， 使得，求的公比.‎ ‎【解析】（1）方法一 因为①，‎ 所以②，‎ 由②-①得， ，‎ 即 ，又，‎ 则，即.‎ 在中令得， ，即.‎ 综上，对任意，都有，‎ 故数列是以为公差的等差数列.‎ 又，则.‎ ‎（2）令，则数列是递减数列，所以.‎ 考察函数，因为，所以在上递增，因此，从而 .‎ 因为对任意，总存在数列中的两个不同项， ，使得，所以对任意的都有，明显.‎ 若，当时，‎ 有，不符合题意，舍去；‎ 若，当时，‎ 有 ，不符合题意，舍去；‎ 故.‎ ‎8．【山西省晋城市2018届高三上 期第一次模拟】已知数列满足， .‎ ‎（1）求证 数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前10项和. - ‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴ ，‎ 又，‎ ‎∴数列是首项为2，公比为2的等比数列.‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ‎ ‎.‎ ‎9．【云南省昆明市第一中 2018届高三第五次月考】已知数列满足 .‎ ‎（1）证明 是等比数列；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）由得 ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴，从而由得 ，‎ ‎∴是以为首项， 为公比的等比数列． ‎ ‎（2）由（1）得 ‎∴，即 ，‎ ‎∴ ．‎ ‎10．【江苏省镇江市2018届高三上 期期末】已知数列的前项和，对任意正整数，总存在正数使得， 恒成立 数列的前项和，且对任意正整数， 恒成立.‎ ‎（1）求常数的值；‎ ‎（2）证明数列为等差数列；‎ ‎（3）若，记 ，是否存在正整数，使得对任意正整数， 恒成立，若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】（1）∵①‎ ‎∴②，，‎ ‎①-②得 ，即， ，‎ 又 ‎∴， ，‎ 时， ； 时， .‎ ‎∵为正数 ‎∴.‎ 又∵， ，且 ‎∴.‎ ‎（2）∵③‎ ‎∴当时， ④，‎ ‎∴③-④得 ，即⑤，‎ 又∵⑥‎ ‎∴⑤+⑥得 ，即 ‎∴为等差数列.‎ ‎（3）∵， ，由（2）知为等差数列 ‎∴.‎ 又由（1）知，‎ ‎∴ ，‎ 又∵ ，‎ ‎∴ ，‎ 令得，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴时， ，即，‎ ‎∵时， ， ‎ ‎∴，即.‎ 此时，即，‎ ‎∴的最大值为 若存在正整数，使得对任意正整数， 恒成立，则，‎ ‎∴正整数的最小值为4.‎ ‎11．【安徽省马鞍山市2018届高三第一次（期末）教 质量检测】已知数列的首项为，且， .‎ ‎(1)求证 数列是等差数列；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1) ，‎ 数列是以为首项，以1为公差的等差数列；‎ ‎(2)由(1)可知， ， ，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎12．【福建省福州市2018届高三上 期期末】已知数列中， .设.‎ ‎（1）证明 数列是等比数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项的和.‎ ‎【解析】（1）证明 因为， ，‎ 所以 ，[ ]‎ 又因为， ‎ 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列. ‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为，‎ 所以 ，‎ 所以 ‎.‎ ‎13．【河南省南阳市第一中 校2018届高三第七次考试】已知数列数列的前项和且，且.‎ ‎（1）求的值，并证明 ；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎【解析】（1）令，得，所以，‎ ‎， ，‎ 两式相减得，‎ 因为，所以.‎ ‎14．【福建省三明市A片区高中联盟校2018届高三上 期阶段性考试】已知各项为正数的数列， ，前项和， 是与的等差中项（）．‎ ‎（1）求证 是等差数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）设，求前项和．‎ ‎【解析】（1）∵当时， ‎ ‎∴，‎ 即，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，‎ ‎∴‎ ‎∴（），‎ ‎∵当时也成立，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎15．【湖北省部分重点中 2018届高三上 期第二次联考】设数列的前项和为，点在直线上.‎ ‎（1）求证 数列是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）设直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，记（其中为坐标原点），求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）点在直线上， ①‎ ‎（i）当时， .‎ ‎16.【新疆兵团农二师华山中 2017届高三上 期 前考试数 】已知数列{an}前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N*)．‎ ‎（I）证明 {an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列{}的前n项和,若对正整数a都成立,求a的 取值范围． ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】(Ⅰ) 由题设 是等比数列 ‎；（Ⅱ）因为 ‎ ‎ ‎ ．‎ 试题解析 (Ⅰ) 由题设,‎ 两式相减得, ‎ 即.‎ 又,‎ 所以是以为首项,为公比的等比数列 ‎ ‎ ‎ 又,所以 ‎（Ⅱ）因为,‎ ‎ ‎ 所以, ‎ 依题意得 ‎ ‎17.【广东湛江市2017届高三上 期期中调研考试】已知数列的前项和为.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若恰好依次为等比数列的第一、第二、第三项,求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时,. ‎ 当时,.‎ 检验时,上式符合.‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由题知成等比数列,‎ ‎,‎ 即,解得.‎ ‎,公比.‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎.‎ 即 上式两边乘以,得 得 ‎.‎ ‎18．已知数列的各项均不为0,其前n项和为,且满足,．‎ ‎（1）求的值； —— ‎ ‎（2）求证是等差数列；‎ ‎（3）若,求数列的通项公式,并求 ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）,．‎ ‎【解析】（1）因为,所以,即,‎ 因为,所以．‎ ‎（2）因为,所以时,,两式相减,‎ 得到,‎ 因为,所以,‎ 所以,所以 所以是公差为2,首项为2的等差数列,‎ ‎（3）由（2）都是公差为2的等差数列,‎ 当时,,‎ 所以,为偶数 当时,,‎ 所以 当时,,‎ 因为,所以,‎