专题08++三角形中的三角问题的探究-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破

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专题08++三角形中的三角问题的探究-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破

专题 08 三角形中的三角问题的探究 【自主热身,归纳总结】 1、在△ABC 中,若 9cos2A-4cos2B=5,则BC AC的值为________. 【答案】:2 3  【解析】:由题意得,9(1-2sin2A)-4(1-2sin2B)=5,即 9sin2A=4sin2B,所以BC AC=sinA sinB=2 3. 2、 在△ 中,已知 边上的中线 ,则 的值为 . 【答案】: 【解析】 设 为 的中点,连接 ,则 ,且 , 设 ,在△ 中,由余弦定理可得 , 即 ,解得 (舍去),即 , 所以在△ 中,由余弦定理可得 ,即 , 又因为 , 所以由正弦定理 ,可得 3、如图,测量河对岸的塔高 AB 时,选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D,测得∠BCD=30°,∠ BDC=120°,CD=10 m,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°,则塔高 AB=________m. 【答案】: 30  ABC 5BD = sin A 14 70 E BC DE //DE AB BE x= BDE 71, 3x x= = − 2BC = ABC 2 21 3AC = 30sin 6B = 【解析】:在△BCD 中,由正弦定理得 BC= sin120° sin30° ·10=10 3(m).在 Rt△ABC 中,AB=BCtan60°=30(m). 4、在△ 中,边 的垂直平分线交边 于 ,若 , , ,则△ 的面积为 . 【答案】: 【解析】 在△ 中,由余弦定理可得 , 即 ,解得 或 5, 所以 或 12,所以△ 的面积为 或 . 5、在锐角△ 中,角 的对边分别为 , , ,且 , 为 的中点,则 的长为 . 【答案】: (方法 2)由正弦定理 可得 , 又由 ,可得 , 又由锐角△ ,可得 , 在△ 中, 由余弦定理可得 ,即 , , 所以在△ 中, 由余弦定理可得 , 即 . ABC AB AC D 60C = ° 8BC = 7BD = ABC BCD 3CD = 10AC = ABC 24 3 ABC , ,A B C , ,a b c 4b = 6c = D BC AD 19 4b = 3sin 2A = ABC 3A = π ABC 2 7BC = ABD 19AD = 6 、在锐角三角形 ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c. 若 b a+a b=6cosC ,则tanC tanA+tanC tanB的值是 ________. 【答案】:. 4  【解析】:由b a+a b=6cosC 及余弦定理,得b a+a b=6×a2+b2-c2 2ab ,化简得 a2+b2=3 2c2.又b a+a b=6cosC 及正弦 定 理 , 得 sinB sinA+ sinA sinB= 6cosC , 故 sinAsinBcosC = 1 6(sin2B + sin2A) . 又 tanC tanA+ tanC tanB= sinC cosC(cosA sinA+cosB sinB)= sin2C cosCsinAsinB,所以tanC tanA+tanC tanB= 6sin2C sin2B+sin2A= 6c2 a2+b2=4. 7、在△ 中, 角 所对的边分别为 ,且满足 ,则 的最大值 为 . 【答案】: . 【解析】 由 ,得 , 由正弦定理可得 , 由余弦定理可得 , 化简得 , 又因为 ,当且仅当 时等号成立,可得 , 所以 的最大值为 . 8、已知在△ 中, , , 为 的中点,当 最小时,△ 的面积 为     . (2)设 的角 所对的边分别为 ,若 , ,求 面积的最大值. 解:(1)由题意,得 , 当 取最大值时,即 ,此时 , 所以 的取值集合为 . ABC , ,A B C , ,a b c 2 ab c 3 2 2 2 23a b c+ = a b= 2 3 2 ab c ≤ 2 ab c 3 2 ABC 4BC = D BC AD ABC ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( ) 2f C = 3c = ABC∆ ( )f x x 【关联 2】、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 , . (1)求 的值; (2)求函数 的值域. 【解析】:(1)因为 ,所以 . 由余弦定理得 . 因为 ,所以 . (2)因为 ,所以 , 所以 . 因为 ,所以 . 因为 又因为 ,所以 , 所以 的值域为 . 易错警示 第(2)问中易忽略 的范围而出错. 【关联 3】、在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=(sinB-sinC,sinC-sinA), b=(sinB+sinC,sinA),且 a⊥b. (1) 求角 B 的大小; 4b = 8BA BC⋅ =  2 2a c+ 8BA BC⋅ =  cos 8ac B = 4b = 2 2 32a c+ = 16ac≤ ( )0,πB∈ π0 3B< ≤ ( )f B 31, 2      B (2) 若 b=c·cosA,△ABC 的外接圆的半径为 1,求△ABC 的面积. 【解析】:(1) 因为 a⊥b,所以 a·b=0,即 sin2B-sin2C+sinA(sinC-sinA)=0, 即 sinAsinC=sin2A+sin2C-sin2B, 由正弦定理得 ac=a2+c2-b2, 所以 cosB=a2+c2-b2 2ac =1 2, 因为 B∈(0,π),所以 B=π 3. (2) 因为 c·cosA=b,所以b c=b2+c2-a2 2bc , 即 b2=c2-a2, 又 ac=a2+c2-b2,b=2RsinB= 3, 解得 a=1,c=2.(12 分) 所以 S△ABC=1 2acsinB= 3 2 . 例 2 、 在 △ 中 , 三 个 内 角 , , 的 对 边 分 别 为 , 设 △ 的 面 积 为 , 且 . (1)求 的大小; (2)设向量 , ,求 的取值范围. (2)由向量 , ,得 . 由(1)知 ,所以 ,所以 . ABC A B C a b c, , ABC S B∠ ⋅m n π 3B = 2π 3A C+ = 2π0 3A< < 所以 . 所以 . 所以 .即取值范围是 . 【变式 1】、在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列. (1) 若BA→ ·BC→ =3 2,b= 3,求 a+c 的值; (2) 求 2sinA-sinC 的取值范围. 【解析】:(1) 因为 A,B,C 成等差数列,所以 B=π 3. 因为BA→ ·BC→ =3 2,所以 accosB=3 2, 所以 1 2ac=3 2,即 ac=3. 因为 b= 3,b2=a2+c2-2accosB, 所以 a2+c2-ac=3,即(a+c)2-3ac=3, 所以(a+c)2=12,所以 a+c=2 3. (2) 2sinA-sinC=2sin(2π 3 -C)-sinC =2( 3 2 cosC+1 2sinC)-sinC= 3cosC. 因为 0<C<2π 3 ,所以 3cosC∈(- 3 2 , 3). 所以 2sinA-sinC 的取值范围是(- 3 2 , 3). 【变式 2】、在△ABC 中,角 , , 所对的边分别为 , ,c.已知 . (1)求角 的大小; (2)设 ,求 T 的取值范围. 【解析】(1)在△ABC 中, , 因为 ,所以 , A B C a b B sin 0C ≠ 所以 , 因为 ,所以 , 因为 ,所以 . (2) 因为 ,所以 , 故 ,因此 , 所以 . 方法总结:原条件利用“化边为角”或“化角为边”两种思路均可求解,若对等式两边同时加 1,再进行转化, 更为便捷;第二问中可利用均值代换,不妨设 , , 求解,可简化求解过程. 【关联 1】、已知 三个内角 , , 的对应边分别为 , , ,且 , .当 取 得最大值时, 的值为 . 【答案】 【解析】: 设 ( ),则 , 因 为 , , 所 以 由 正 弦 定 理 得 : , 所 以 , , , 由 得 ,从而当 ,即 时, 取最大值, 此时 , sin 0A ≠ 1cos 2B = 0 πB< < π 3B = 2π0 3A< < 4π0 2 3A< < 3 9 2 4T< ≤ A απ= −3 C απ= +3 π0 3 α <≤ ABC△ A B C a b c π 3C = 2c = AC AB⋅  b a 32 + α=∠BAC πα 3 20 << 3 π=C 2=c πα 3 20 << 062 =− πα 12 πα = ABAC ⋅ , 所以 。 点评:为了研究 ,所以可以考虑以 和 的夹角 为参数,并利用正弦定理将 表示出来, 特别是将 用 表示时,三角恒等变换是关键,然后求出 时, 取最大值,这时再 取 就不困难了。 【关联 2】、 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足 b2-a2= ac,则 1 tanA- 1 tanB的取值范围是________. 【答案】 (1,2 3 3 )  思路分析 思路一,根据题意可知,本题可以从“解三角形和三角恒等变换”角度切入,又因已知锐角和边的 关系,而所求为正切值,故把条件化为角的正弦和余弦来处理即可;思路二,本题所求为正切值,故可以 构造直角三角形,用边的关系处理. 解法 1 原式可化为 1 tanA- 1 tanB=cosA sinA-cosB sinB=sinBcosA-cosBsinA sinAsinB =sinB-A sinAsinB .由 b2-a2=ac 得,b2=a2+ac =a2+c2-2accosB,即 a=c-2acosB,也就是 sinA=sinC-2sinAcosB,即 sinA=sin(A+B)-2sinAcosB=sin(B -A),由于△ABC 为锐角三角形,所以有 A=B-A,即 B=2A,故 1 tanA- 1 tanB= 1 sinB,在锐角三角形 ABC 中 易知,π 3a,即c a>1,在锐角三角形 ABC 中有 b2+a2>c2,则 a2+a2+ac>c2,即 (c a )2-c a-2<0,解得-10,则 cosθ<1 2,f(θ)是增函数;令 f′(θ)<0, 则 cosθ>1 2,f(θ)是减函数.故当 cosθ= 1 2时,sinθ= 3 2 ,此时 f(θ)max=2 3,则PC→ ·PB→ +BC→ 2 有最小值,为 2 3. 【关联 4】、满足条件 AB=2,AC= 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是________. 【答案】: 2 2  解法 1 以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系 xOy,则由 AB=2 得 A(-1,0),B(1,0).设 C(x,y),由 AC= 2BC 得 x+12+y2= 2· x-12+y2,即(x-3)2+y2=(2 2)2, 所以点 C 在以(3,0)为圆心,半径为 2 2的圆上(去掉与 x 轴的交点),从而三角形 ABC 的面积的最大值为1 2 ×2×2 2=2 2.
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