上海市上海师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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www.ks5u.com 上师大附中2019学年第一学期期中考试高一年级 数学学科 一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，只要求直接填写结果，第1-6题每个空格填对得4分，第7-12 题每个空格填对得5分，否则一律得零分.‎ ‎1.已知集合，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的交集运算定义可得.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域为______.‎ ‎【答案】且 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由中根式内部的代数式大于等于0，0指数幂的底数不为0，联立不等式组求解．‎ ‎【详解】由 ，解得且x≠2． ∴函数的定义域是】且． 即答案为】且 ‎【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．‎ ‎3.已知函数，则__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算,再计算.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为:3‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的求值,属于基础题.‎ ‎4.“”是“”的___________条件.‎ ‎【答案】充分非必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分非必要条件定义可得答案,‎ ‎【详解】因为“”可以推出“”,且“”不能推出“”,‎ 所以“”是“”的充分非必要条件.‎ 故答案为充分非必要 ‎【点睛】本体考查了充分非必要条件的定义,属于基础题.‎ ‎5.不等式的解集为__________‎ ‎【答案】（-∞，0）∪[1,+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】变形，‎ 等价于，‎ 解得或，即不等式的解集为（-∞，0）∪[1,+∞）.‎ ‎6.已知，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化成积为定值的形式后,利用基本不等式可得.‎ ‎【详解】因为,所以,‎ 所以,当且仅当,即时取等号.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式求最小值,属于基础题.‎ ‎7.不等式的解集为R，则实数a的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论项的系数,根据二次函数的图象和性质列不等式组可解得答案.‎ ‎【详解】当时,不等式化为:,符合题意;‎ 当时,不等式化为:,解得,不符合题意;‎ 当时,要使不等式的解集为R,‎ 必有且,解得,‎ 综上所述: 实数a的取值范围为:.‎ 故答案为 ‎ ‎【点睛】本题考查了分类讨论思想,二次函数的图象和性质,属于基础题.‎ ‎8.已知，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据摩根律计算可得答案.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,,‎ 所以=.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算,属于基础题.‎ ‎9.已知函数为定义在R上的奇函数，当时，为常数)，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的定义域中有0,可得,根据时的解析式求得,从而可求得,再根据奇函数可得,根据解析式可求得.‎ ‎【详解】因为函数为定义在R上的奇函数,所以,所以,‎ 又,所以,所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 故答案为:-3‎ ‎【点睛】本题考查了奇函数的定义,利用奇函数求函数值,属于基础题.‎ ‎10.设集合A，B是R中两个子集，对于，定义: .①若；则对任意；②若对任意，则；③若对任意，则A，B的关系为.上述命题正确的序号是______. (请填写所有正确命题的序号)‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①,按照和两种情况讨论,可得①正确;对于②,根据不可能都为1,可得不可能既属于,又属于可得②正确;对于③,根据中的一个为0,另一个为1,可得时,必有,或时,必有,由此可知③正确.‎ ‎【详解】对于①,因为,所以当时,根据定义可得,所以,‎ 当,则必有,根据定义有,所以,‎ 故对于任意,都有,故①正确;‎ 对于②,因为对任意,所以中不可能都为1,即和不可能同时成立,所以,故②正确;‎ 对于③,因为对任意,所以中的一个为0,另一个为1,即时,必有,或时,必有,所以,故③正确.‎ 综上所述: 所有正确命题的序号为:①②③.‎ 故答案为①②③‎ ‎【点睛】本题考查了元素与集合,集合与集合之间的关系,对新定义的理解能力,属于中档题.‎ ‎11.设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】当时，代入题中不等式显然不成立 当时，令， ，都过定点 考查函数，令，则 与轴的交点为 时，均有 也过点 解得或（舍去），‎ 故 ‎12.设关于x的不等式的解集是一些区间的并集， 且这些区间的长度和(规定: 的长度为)不小于12，则a的取值范围为__________.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设 的根为: ，的根为: ，根据根与系数的关系,分析可知,再用表示不等式的解集,根据这些区间的长度和不小于12列不等式可解得.‎ ‎【详解】设 的根为: ，‎ 的根为: ，‎ 则,所以,‎ 且,所以,‎ 又，‎ 且 所以的大小关系为:,‎ 由,‎ 故由数轴穿根法得原不等式的解集是: ,‎ 由题意可得 或 .‎ 故答案为: 或.‎ ‎【点睛】本题考查了根与系数的关系,一元二次不等式,高次不等式的解法,分式不等式的解法,属于中档题.‎ 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎13.A， B， C三个学生参加了一次考试，已知命题p:若及格分高于70分，则A， B， C都没有及格.则下列四个命题中为p的逆否命题的是（ ）‎ A. 若及格分不高于70分，则A，B， C都及格 B. 若A，B， C都及格，则及格分不高于70分 C. 若A，B， C至少有一人及格，则及格分不高于70分 D. 若A， B， C至少有一人及格，则及格分高于70分 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题的定义,直接写出命题的逆否命题即可.‎ ‎【详解】根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,‎ 命题p:若及格分高于70分，则A， B， C都没有及格,‎ 则的逆否命题是:若至少有一人及格,则及格分不低于70分.‎ 故选C ‎【点睛】本题考查了由原命题写其逆否命题,属于基础题.‎ ‎14.下列各组不等式中解集相同的是（ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对各组不等式中的不等式求解可知答案.‎ ‎【详解】对于,根据分母不为0,可知的解集中没有元素1,而的解集中有元素1,故不正确;‎ 对于,由得且,即,‎ 由得,故选项正确;‎ 对于,由整理得且,即且且,故选项不正确;‎ 对于,由得且,即且,故不正确.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了分式不等式的解法,属于基础题.‎ ‎15.观察下列四个函数的图象，其中值域为的函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的值域的定义,观察图象可知选.‎ ‎【详解】对于,由图象观察可知,值域为,故不正确;‎ 对于,观察图象可知,值域不是,故不正确;‎ 对于,观察图象可知,值域不是,故不正确;‎ 对于,观察图象可知,值域是,故正确;‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了函数的值域的定义,属于基础题.‎ ‎16.已知非空集合满足以下两个条件：‎ ‎（ⅰ），；‎ ‎（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，‎ 则有序集合对的个数为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件：‎ A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，分别讨论集合A、B中元素的个数，列举所有可能，即可得到结果．‎ ‎【详解】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素 ‎1、当集合A只有一个元素时，集合B中有5个元素，且，此时仅有一种结果，；‎ ‎2、当集合A有两个元素时，集合B中有4个元素，且，此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，故有如下可能结果：‎ ‎（1），；（2），；（3），；（4），．共计4种可能．‎ ‎3、可以推测集合A中不可能有3个元素；‎ ‎4、当集合A中的4个元素时，集合B中的2个元素，此情况与2情况相同，只需A、B互换即可．共计4种可能．‎ ‎5、当集合A中的5个元素时，集合B中的1个元素，此情况与1情况相同，只需A、B互换即可．共1种可能．‎ 综上所述，有序集合对（A，B）的个数为10．答案选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．‎ 三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置.‎ ‎17.已知集合，集合，集合.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2) 若，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ； (2) 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 根据定义域求得集合A，解一元二次不等式求得集合B，再根据数轴求交集;‎ ‎(2) 先将条件转化为集合包含关系: Ô，再根据空集进行讨论，最后根据数轴研究两集合包含关系.‎ ‎【详解】(1) ，或,即,‎ 所以即,‎ ‎(2) ,所以 Ô,‎ 当时,即时,为空集满足条件:,‎ 当,即时,‎ 或，‎ 解得,或,‎ 又,所以,‎ 综上或.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,子集关系,分类讨论思想,容易遗漏空集,属于基础题.‎ ‎18.记关于x的不等式的解集为P.‎ ‎(1)若，求P；‎ ‎(2)若，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)解分式不等式可得,注意分母不为0;‎ ‎(2) 转化为或后可解得.‎ ‎【详解】(1)当时, 化为,即且,‎ 所以,‎ 故.‎ ‎(2)因为,所以或,‎ 解得或或,‎ 故实数a取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式以及分式不等式的解法,注意分母不为0,属于基础题.‎ ‎19.2019年10月1日为庆祝中华人民共和国成立70周年在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，共有580台(套)装备、160 余架各型飞机接受检阅．受阅装备均为中国国产现役主战装备，其中包括部分首次公开亮相的新型装备．例如，在无人机作战第三方队中就包括了两型侦察干扰无人机，可以在遥控设备或自备程序控制操纵的情况下执行任务，进行对敌方通讯设施的电磁压制和干扰，甚至压制敌人的防空系统．‎ 某作战部门对某处的战场实施“电磁干扰”实验，据测定，该处的“干扰指数”与无人机干扰源的强度和距离之比成反比，比例系数为常数.现已知相距36km的A. B两处配置两架无人机干扰源，其对敌干扰的强度分别为1和，它们连线段上任意一点C处的干扰指数y等于两机对该处的干扰指数之和，设.‎ ‎(1)试将y表示为x的函数，指出其定义域；‎ ‎(2)当时，试确定“干扰指数”最小时C所处位置.‎ ‎【答案】(1) ；(2) “干扰指数”最小的C所处位置在距离A点处.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 依题意，点C受A干扰指数为，点C受B干扰指数为,两个指数相加可得答案; ‎ ‎(2) 将变形后利用基本不等式可求得最小值.‎ ‎【详解】(1)依题意，点C受A干扰指数为，点C受B干扰指数为， 其中，‎ 从而点C处干扰指数: ‎ ‎(2) ,当时,‎ ‎ (当且仅当时等号成立)，此时，‎ 答:“干扰指数”最小的C所处位置在距离A点处.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的应用,基本不等式求和的最小值,属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎(2)若对于任意的恒成立，求满足条件的实数m的最小值M .‎ ‎(3)对于(2)中的M，正数a，b满足，证明: .‎ ‎【答案】(1) 当时， 为偶函数, 当时，既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析；(2)2；(3) 证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对分类讨论,结合奇偶性的定义进行判断可得;‎ ‎(2)将不等式转化为对任意的都成立,再构造函数,利用单调性求出最大值即可得到答案;‎ ‎(3)由(2)知,所以,再根据变形可证.‎ ‎【详解】(1)(i)当m=1时，，,‎ 因为,‎ 所以为偶函数；‎ ‎(ii)当时,,,,,‎ ‎ 所以既不是奇函数也不是偶函数.‎ ‎(2) 对于任意的,即恒成立，‎ 所以对任意的都成立,‎ 设,‎ 则为上的递减函数,‎ 所以时,取得最大值1,‎ 所以,即.‎ 所以.‎ ‎ (3)证明: 由(2)知,‎ ‎，所以,‎ ‎,‎ ‎，当且仅当时取等号，①‎ 又 ‎，当且仅当时取等号，②‎ 由①②得，,‎ 所以,‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性的讨论,不等式恒成立问题,不等式的证明问题,属于中档题.‎ ‎21.符号表示不大于x的最大整数，例如:.‎ ‎(1)解下列两个方程；‎ ‎(2)设方程: 的解集为A，集合，，求实数k的取值范围；‎ ‎(3)求方程的实数解.‎ ‎【答案】(1)，；(2) ；(3) ；；；.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据对符号的定义理解可得答案;‎ ‎(2)将化为,再分三种情况去绝对值解不等式可得集合,然后对分类讨论解得集合,再根据,列式可求得的范围;‎ ‎(3)先判断出,再将平方得,再结合方程可得不等式,解不等式可得或或或,分别代入方程可解得答案.‎ ‎【详解】(1) ‎ ‎,‎ ‎(2) ，,‎ 当时，有,解得 ,‎ 当时，有,无解,‎ 当时，有,解得: ‎ 综上所述:.‎ 因为 当时，‎ 因为，所以，解得；‎ 当时，，‎ 因为,所以，解得: ，‎ 当时，,成立，‎ 综上: 实数k的取值范围.‎ ‎(3)因， 又时,方程不成立,‎ 所以,所以,‎ 所以,‎ ‎,‎ 所以 所以,‎ 所以或且,‎ 所以 或,‎ 所以或或或,‎ 当时,原方程化为,所以,‎ 当时,原方程化为,所以,‎ 当时,原方程化为,‎ 当时,原方程化为，‎ 经检验知，这四个值都是原方程的解.‎ 故方程的实数解为:或或或.‎ ‎【点睛】本题考查了对新定义的理解,一元二次不等式的解法,属于难题.‎ ‎ ‎