2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：10
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第十章 复数
10．1 复数及其几何意义
10．1.1 复数的概念
[课程目标] 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学知识体系内部的矛盾(数的运算规则、求方程的根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
知识点一 复数的概念及分类
[填一填]
(1)复数的概念
①为了使得方程x2＝－1有解，人们规定i的平方等于－1，即i2＝－1，并称i为虚数单位．
②当a与b都是实数时，称a＋bi为复数，复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．
其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b.
(2)复数的分类
所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}．
任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数．
[答一答]
1．复数集与实数集的关系是怎样的？与已学过的有关数集的关系是怎样的？
提示：实数集R是复数集C的真子集，即RC.至此，我们学过的有关数集的关系如下：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
知识点二 复数相等
[填一填]
两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1＝z2.
如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.
特别地，当a，b都是实数时，a＋bi＝0的充要条件是a＝0且b＝0.
[答一答]
2．怎样理解两复数相等的概念？
提示：(1)两个实数可以比较大小，但两个不全是实数的复数就不能比较大小，只能说相等或不相等．如2＋i和3－i,2和i之间就无大小可言．
(2)虚数不能比较大小，有大小关系的两个数一定是实数．
两个不全为实数的复数不能比较大小．
(1)根据复数a＋bi与c＋di相等的定义可知，在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么就有a＋bi≠c＋di.
(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
(3)实数之间的“<”(小于)关系，具有以下性质：
①若a
0，则acb，则a＋i>b＋i.
[分析] 本题考查复数的基本概念和基本性质．
[解] (1)错误．当且仅当z∈R时，z2≥0成立．若z＝i，则z2＝－1<0.
(2)错误．当a＝－1时，(a＋1)i＝(－1＋1)i＝0·i＝0∈R.
(3)错误．两个虚数不能比较大小．
1.虚数单位i具有i2＝－1的性质.
2.只有在两个复数都是实数时，才可以比较它们的大小.
3.复数z的平方未必为非负数.
[变式训练1] 下列命题正确的是(1)．
(1)复数－i＋1的虚部为－1.
(2)若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.
(3)任意两个复数都不能比较大小．
解析：(1)复数－i＋1＝1－i，虚部为－1.正确．
(2)若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小．错误．
(3)若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．
类型二 复数的分类
[例2] 已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[分析] 根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的a的值．
[解] (1)当z为实数时，
∴
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，
∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，
∴
∴不存在实数a，使得z为纯虚数．
本题除要熟悉复数的实部、虚部的概念及复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件外，还要注意“分式分母不为零”这个隐含条件.
[变式训练2] 实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．
解：设z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i.
(1)要使z为实数，必须有m2－3m＝0，
得m＝0或m＝3，即m＝0或m＝3时，z为实数．
(2)要使z为虚数，必须有m2－3m≠0，即m≠0且m≠3.故m≠0且m≠3时，z为虚数．
(3)要使z为纯虚数，必须有
∴∴m＝2.
∴m＝2时，z为纯虚数．
(4)要使z＝0时，依复数相等的充要条件有：
⇒⇒m＝3，
∴当m＝3时，复数z为零．
类型三 复数相等的应用
[例3] (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值．
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
[分析] (1)复数a＋bi＝c＋di的充要条件是什么？()(2)利用复数相等解题的前提是什么？(a，b，c，d∈R)
[解] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴解得或
(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为
3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴解得a＝11或a＝－.
1.利用两个复数相等进行解题的依据是实部与虚部分别相等．
2．在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R
.忽略条件后，不能成立．因此在解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题来解决．
[变式训练3] 已知关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0有实数根，求实数m的值．
解：设方程的实根为x0，
则x－(2i－1)x0＋3m－i＝0，
因为x0、m∈R，所以方程变形为(x＋x0＋3m)－(2x0＋1)i＝0，
由复数相等得解得
故m＝.
1．复数1－i的虚部是( B )
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：分清复数的实部、虚部是解题的关键．
2．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为( A )
A．1 B．－1
C．±1 D．以上全不对
解析：由题意得∴x＝1.
3．复数(2x2＋5x＋2)＋(x2＋x－2)i为虚数，则实数x满足( D )
A．x＝－ B．x＝－2或x＝－
C．x≠－2 D．x≠1且x≠－2
解析：由题意得x2＋x－2≠0，解得x≠1且x≠－2.
4．已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1＝z2，则m的值为－1.
解析：由题意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4)i，
从而解得m＝－1.
