2018-2019学年湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高一下学期期中联考数学试题（解析版）

2018-2019学年湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高一下学期期中联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高一下学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用两角差的正弦公式直接计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角差的正弦，属于基础题.‎ ‎2．已知，，则和的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】考虑的符号即可得到两者的大小关系.‎ ‎【详解】‎ ‎，故.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 比较两个代数式的大小，可选用作差法或作商法，前者需要把差因式分解后再确定各个因式的符号，后者要注意两个代数式的符号且需确定商与1的大小关系.‎ ‎3．下列命题中，正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，，则 C．若 ，，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】利用不等式的性质或反例可判断各选项正确与否.‎ ‎【详解】‎ 对于A，取，则，但，故A错；‎ 对于B，取，则，‎ 但，，故B错； ‎ 对于C，取，则，‎ 但，，故C错；‎ 对于D，因为，故即，故D正确；‎ 综上，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的性质，属于基础题.‎ ‎4．已知的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（ ）‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】利用三角形的内角关系及三角变换公式得到，从而得到，此三角形的形状可判断.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 故，整理得到，‎ 所以，因，所以即，‎ 故为等腰三角形，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和、差的正弦，属于基础题，注意角的范围的讨论.‎ ‎5．在中，角的对边分别为.已知，则角的大小是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用正弦定理得到，再利用判断为锐角后可得的大小.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可得即，故，‎ 但，故，所以为锐角，故 ，选B.‎ ‎【点睛】‎ 三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.‎ ‎（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；‎ ‎（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边），注意利用大边对大角判断角与角之间的关系；‎ ‎（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.‎ ‎6．已知,，若是的真子集，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】算出后根据包含关系可得满足的不等式，从中可求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 因为是的真子集，故或即或，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的包含关系，属于基础题，根据包含关系列不等式组时要注意端点处是否可取.‎ ‎7．若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，则，利用诱导公式和倍角公式可计算所求的正弦值.‎ ‎【详解】‎ 令，则，‎ 故，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.‎ ‎8．已知的三个内角所对的边分别为.若 .则边长等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先利用余弦定理得到，再利用两个边与边的关系得到，从而得到为等边三角形，故可得.‎ ‎【详解】‎ 因为，故，‎ 因为，故.‎ 将代入，整理可得，所以，‎ 所以为等边三角形，故 ，解得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理，属于基础题.‎ ‎9．设,且,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】把题设中的两个等式移项后平方再相加，则有，再根据及可得的大小.‎ ‎【详解】‎ 因为，故，‎ ‎，‎ 同理，‎ 所以即.‎ 因为，故，，‎ 根据得到，因，‎ 故，故，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 三角函数的求值问题，需要观察给定的三角函数式的结构形式，再根据已有的公式的结构特点对原有的三角函数式变形化简.知道角的三角函数值，应该根据题设条件去挖掘隐含的角与角的大小关系，从而可对所得结果进行取舍.‎ ‎10．一艘海轮从A处出发，在A处观察灯塔C，其方向是南偏东.海轮以每小时60海里的速度沿南偏东方向直线航行，20分钟后到达B处.在B处观察灯塔C，其方向是北偏东.则B,C之间的距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据题设条件画出的位置图，再用正弦定理求的长即可.‎ ‎【详解】‎ 的位置如图所示：‎ 因为在的南偏东的位置，故，‎ 因为在的南偏东的位置，故，所以.‎ 因在的北偏东的位置，故，因，‎ 故即，‎ 在中，，（海里），‎ 故（海里），故选C.‎ ‎【点睛】‎ 与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.‎ ‎11．已知，不等式的解集为.若对任意的，恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由的解集可以得到的值，再求出在上的最小值可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为的解集为，故的两个根为，‎ 所以 即 ，‎ 令，则，‎ 由可以得到，因在上恒成立，‎ 故，选B.‎ ‎【点睛】‎ 一元二次不等式与其对应的二次函数、二次方程之间的关系是：不等式对应的解的端点是对应方程的根，是二次函数的图像与轴交点的横坐标.一元二次不等式的恒成立问题，可以转化为函数的最值进行讨论，必要时需要考虑对称轴的不同位置.‎ ‎12．锐角中，角的对边分别是且 ,‎ ‎.则边长的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】可把边角的混合关系转化为角的三角函数的关系，从而得到，再利用正弦定理得到，结合的范围可求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理有，‎ 所以，因为，所以，‎ 故，因，所以.‎ 由正弦定理有，故，因，‎ 故，所以，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.‎ 二、填空题 ‎13．若正实数满足，则的最大值为__________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可利用基本不等式求的最大值.‎ ‎【详解】‎ 因为都是正数，由基本不等式有，‎ 所以即，当且仅当时等号成立，‎ 故的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.‎ ‎14．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分和两类情况，结合不等式对应的二次函数的图像可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 时，恒成立，‎ 当时，由恒成立，‎ 故二次函数的图像在轴的上方，故，故，‎ 综上，. 填.‎ ‎【点睛】‎ 含参数的一元二次不等式在 上的恒成立问题，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再结合不等号的方向得到二次函数图像的分布情况，最后得到判别式的正负情况．当然，对于含参数的一元二次不等式的恒成立问题，也可考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求.‎ ‎15．若函数的最大值是0，则实数的值是__________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先利用两角和差的正弦化简三角函数式，再利用辅助角公式得到，其最大值为，结合已知条件可求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，‎ 当（）时，，‎ 故，填.‎ ‎【点睛】‎ 对于形如的函数，我们可将其化简为，其中，．‎ ‎16．已知在中，角所对的边分别为.为上一点且则的最小值为__________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用面积公式得到，再利用基本不等式可求的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，，‎ 又，故即，‎ 所以.‎ 又，‎ 当且仅当，时等号成立，故的最小值为，填.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．‎ ‎（2）应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.‎ 三、解答题 ‎17．已知且均为锐角 ‎（）求 ‎ ‎ 求 ‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（1）利用同角的三角函数基本关系式算出、的值，再用两角和的正弦公式计算即可.‎ ‎（2）因，故可以利用两角差的正弦公式求.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） ， ， .‎ ‎ 又 均为锐角， ，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ， .‎ ‎【点睛】‎ 三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.‎ ‎18．已知函数 ‎（）解关于的不等式 ‎ 若对任意的 恒成立，求的取值范围 ‎【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析.（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）将原不等式化为，分类讨论可得不等式的解.‎ ‎（Ⅱ）若则；若，则参变分离后可得在恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） 即，‎ ‎ ，（ⅰ）当时，不等式解集为；‎ ‎（ⅱ）当时，不等式解集为；‎ ‎（ⅲ）当时，不等式解集为，‎ 综上所述，（ⅰ）当时，不等式解集为；‎ ‎（ⅱ）当时，不等式解集为；‎ ‎（ⅲ）当时，不等式解集为 .‎ ‎（Ⅱ）对任意的恒成立，即恒成立，即对任意的，恒成立.‎ ‎①时，不等式为恒成立，此时； ‎ ‎②当时，， ‎ ‎ ， ， ，‎ 当且仅当时，即，时取“”, .‎ 综上 .‎ ‎【点睛】‎ 含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求.‎ ‎19．已知向量， 函数 ‎（）求的最小正周期及最值；‎ 在中，分别为的对边，若求周长的最大值 ‎【答案】（Ⅰ）最小正周期为,最大值为5，最小值为1（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用降幂公式和辅助角公式可得，从而可求该函数的最小正周期和最值.‎ ‎（Ⅱ）利用正弦定理及三角变换公式可得周长，利用的范围可得的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以最小正周期为，最大值为5，最小值为1. ‎ ‎ （Ⅱ） ， .‎ 又 ， ，‎ ‎ ， .‎ 由正弦定理可得 ，‎ ‎， 而,，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎ ， ，‎ ‎ ， ， 最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程、对称中心及最值等．三角形中的最值问题，可以利用正弦定理把边的最值问题转化为关于角的三角函数的最值问题.‎ ‎20．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且 ，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.‎ ‎（）求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；‎ ‎2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据销售额减去成本（固定成本万和成本）求出利润函数即可.‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的分段函数可求出何时取最大值及相应的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，；‎ 当时，，‎ ‎ .‎ ‎（Ⅱ）若，，‎ 当时，万元 .‎ 若，，‎ 当且仅当时，即时，万元 .‎ ‎2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.‎ ‎【点睛】‎ 解函数应用题时，注意根据实际意义构建目标函数，有时可根据题设给出的计算方法构建目标函数.求函数的最值时，注意利用函数的单调性或基本不等式.‎ ‎21．如图，在中，，且 ‎（）求的值；‎ 若，且，求及.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）,‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用可得的值.‎ ‎（Ⅱ）在和中利用余弦定理构建关于的方程组，结合（Ⅰ）中结果可求的值，求出后可计算从而得到.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）在中，，‎ ‎ ，其中为边上的高.‎ 又 ，‎ ‎ . ‎ ‎（Ⅱ）在中，‎ ‎ ……①‎ 在中，‎ ‎ ……②‎ 而，即，‎ 所以，，解得，‎ ‎ ， . ‎ 又因为，‎ ‎ ，‎ ‎ ， .‎ ‎【点睛】‎ 三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.‎ ‎（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；‎ ‎（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；‎ ‎（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.‎ 另外，注意在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．‎ ‎22．已知.‎ ‎（）求 ‎ ‎ 求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用二倍角公式计算.‎ ‎（Ⅱ）弦化切后可计算三角函数式的值.‎ ‎【详解】‎ 由已知可得：， ‎ ‎（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）因，故 ．‎ ‎【点睛】‎ 利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：‎ ‎（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把含有正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；‎ ‎（2）“1”的代换法：有时可以把看成．‎