2020届二轮复习（文）专题五第2讲　圆锥曲线的方程与性质作业

2020届二轮复习（文）专题五第2讲　圆锥曲线的方程与性质作业

第2讲　圆锥曲线的方程与性质 一、选择题 ‎1.(2019湖南五市十校联考)已知双曲线C:x‎2‎m‎2‎-y‎2‎‎3‎=1(m>0)的离心率为2,则C的焦点坐标为(　　)‎ A.(±2,0) B.(±‎2‎,0)‎ C.(0,±2) D.(0,±‎2‎)‎ 答案　A　由题意知,离心率e=ca=‎1+‎b‎2‎a‎2‎=‎1+‎‎3‎m‎2‎=2,解得m2=1,所以c=m‎2‎‎+3‎=2,又双曲线C的焦点在x轴上,所以双曲线C的焦点坐标为(±2,0),故选A.‎ ‎2.(2019河南洛阳尖子生第二次联考,4)经过点(2,1),且渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切的双曲线的标准方程为(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.x‎2‎‎11‎‎3‎-y‎2‎‎11‎=1 B.x‎2‎‎2‎-y2=1‎ C.y‎2‎‎11‎‎3‎-x‎2‎‎11‎=1 D.y‎2‎‎11‎-x‎2‎‎11‎‎3‎=1‎ 答案　A　设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径,由点到直线的距离公式可得‎|k×0-2|‎k‎2‎‎+1‎=1,解得k=±‎3‎.因为双曲线经过点(2,1),所以双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),将(2,1)代入可得‎4‎a‎2‎-‎1‎b‎2‎=1,由‎4‎a‎2‎‎-‎1‎b‎2‎=1,‎ba‎=‎‎3‎解得a‎2‎‎=‎11‎‎3‎,‎b‎2‎‎=11,‎故所求双曲线的标准方程为x‎2‎‎11‎‎3‎-y‎2‎‎11‎=1.故选A.‎ 一题多解　设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0),将(2,1)代入方程可得,4m-n=1①.双曲线的渐近线方程为y=±mnx,圆x2+(y-2)2=1的圆心为(0,2),半径为1,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,可得‎2‎‎1+‎mn=1,即mn=3②,由①②可得m=‎3‎‎11‎,n=‎1‎‎11‎,所以该双曲线的标准方程为x‎2‎‎11‎‎3‎-y‎2‎‎11‎=1,故选A.‎ 解后反思　用待定系数法求双曲线的方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为x‎2‎m‎2‎-y‎2‎n‎2‎=λ(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根据条件求解.‎ ‎3.设F1,F2为椭圆x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎5‎=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则‎|PF‎2‎|‎‎|PF‎1‎|‎的值为(　　)‎ A.‎5‎‎14‎ B.‎5‎‎9‎ C.‎4‎‎9‎ D.‎‎5‎‎13‎ 答案　D　‎ 如图,设线段PF1的中点为M,因为O是F1F2的中点,所以OM∥PF2,可得PF2⊥x轴,则|PF2|=b‎2‎a=‎5‎‎3‎,|PF1|=2a-|PF2|=‎13‎‎3‎,所以‎|PF‎2‎|‎‎|PF‎1‎|‎=‎5‎‎13‎,故选D.‎ ‎4.(2019福建3月质检)设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与E交于P,Q两点.若△PF1F2为直角三角形,则E的离心率为(　　)‎ A.‎2‎-1 B.‎‎5‎‎-1‎‎2‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎2‎+1‎ 答案　A　不妨设椭圆E的方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),如图所示,‎ ‎∵△PF1F2为直角三角形,∴PF1⊥F1F2,又|PF1|=|F1F2|=2c,‎ ‎∴|PF2|=2‎2‎c,∴|PF1|+|PF2|=2c+2‎2‎c=2a,∴椭圆E的离心率e=ca=‎2‎-1.故选A.‎ ‎5.(2019湖南五市十校联考)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴交于点R,若∠NFR=60°,则|NR|=(　　)‎ A.2 B.‎‎3‎ C.2‎3‎ D.3‎ 答案　A　如图,连接MF,QF,设准线l与x轴交于点H,∵y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,∴|FH|=2,|PF|=|PQ|.∵M,N分别为PQ,PF的中点,∴MN∥QF.∵PQ垂直l于点Q,∴PQ∥OR.又∠NFR=60°,∴∠QPF=60°,∴△PQF为等边三角形,∴MF⊥PQ,∴F为HR的中点,∴|FR|=|FH|=2,∴|NR|=2.故选A.‎ ‎6.(2019安徽合肥模拟)已知A,B,C是双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)上的三个点,直线AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BF⊥AC,且3|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率为(　　)‎ A.‎10‎‎2‎ B.‎‎5‎‎2‎ C.‎10‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ 答案　A　如图,设双曲线的左焦点为E,连接AE,CE,BE,‎ 由题意知|BF|=|AE|,|BE|=|AF|,四边形AEBF为矩形,‎ 令|BF|=|AE|=m,|AF|=n,‎ 由双曲线的定义,得|CE|-|CF|=|AE|-|AF|=2a,‎ 在直角三角形EAC中,m2+(3n+n)2=(3n+2a)2,‎ 将2a=m-n代入,化简,可得m=3n,‎ 所以n=a,m=3a,‎ 在直角三角形EAF中,m2+n2=(2c)2,即9a2+a2=4c2,‎ 可得e=ca=‎10‎‎2‎.故选A.‎ 二、填空题 ‎7.(2019江西七校第一次联考)点M(2,1)到抛物线y=ax2准线的距离为2,则a的值为　　　　. ‎ 答案　‎1‎‎4‎或-‎‎1‎‎12‎ 解析　易知a≠0,抛物线方程化为标准形式为x2=‎1‎ay,因为点M(2,1)到抛物线的准线的距离为2,所以当a>0时,p‎2‎=‎1‎‎4a=1,解得a=‎1‎‎4‎;当a<0时,p‎2‎=-‎1‎‎4a=3,解得a=-‎1‎‎12‎.故a的值为‎1‎‎4‎或-‎1‎‎12‎.‎ ‎8.P是椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)上的一点,A为左顶点,F为右焦点,PF⊥x轴,若tan∠PAF=‎1‎‎2‎,则椭圆的离心率e为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ 解析　如图,不妨设点P在第一象限,因为PF⊥x轴,所以xP=c,将xP=c代入椭圆方程得yP=b‎2‎a,即|PF|=b‎2‎a,则tan∠PAF=‎|PF|‎‎|AF|‎=b‎2‎aa+c=‎1‎‎2‎,结合b2=a2-c2,整理得2c2+ac-a2=0,两边同时除以a2得2e2+e-1=0,解得e=‎1‎‎2‎或e=-1(舍去).‎ ‎9.(2019四省八校双教研联考)已知F1,F2是双曲线E的左、右焦点,点P在双曲线E上,∠F1PF2=π‎6‎,且(F‎2‎F‎1‎+F‎2‎P)·F‎1‎P=0,则双曲线E的离心率e=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎+1‎‎2‎ 解析　由题意知,△F2PF1是等腰三角形,|F1F2|=|F2P|=2c,因为∠F1PF2=π‎6‎,所以|PF1|=2‎3‎c.由双曲线的定义,可得2‎3‎c-2c=2a,所以双曲线E的离心率e=ca=‎3‎‎+1‎‎2‎.‎ ‎10.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎2‎‎3‎ 解析　设抛物线C:y2=8x的准线为l,易知l:x=-2,‎ 直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0).‎ 如图,过A,B分别作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,‎ 由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,‎ ‎∴点B为线段AP的中点,连接OB,‎ 则|OB|=‎1‎‎2‎|AF|,‎ ‎∴|OB|=|BF|,∴点B的横坐标为1.‎ ‎∵k>0,∴点B的坐标为(1,2‎2‎),∴k=‎2‎2‎-0‎‎1-(-2)‎=‎2‎‎2‎‎3‎.‎ 三、解答题 ‎11.(2019课标全国Ⅰ理,19,12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为‎3‎‎2‎的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.‎ ‎(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;‎ ‎(2)若AP=3PB,求|AB|.‎ 解析　设直线l:y=‎3‎‎2‎x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎(1)由题设得F‎3‎‎4‎‎,0‎,故|AF|+|BF|=x1+x2+‎3‎‎2‎,由题设可得x1+x2=‎5‎‎2‎.‎ 由y=‎3‎‎2‎x+t,‎y‎2‎‎=3x可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-‎12(t-1)‎‎9‎.‎ 从而-‎12(t-1)‎‎9‎=‎5‎‎2‎,得t=-‎7‎‎8‎.‎ 所以l的方程为y=‎3‎‎2‎x-‎7‎‎8‎.‎ ‎(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.‎ 由y=‎3‎‎2‎x+t,‎y‎2‎‎=3x可得y2-2y+2t=0.‎ 所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.‎ 代入C的方程得x1=3,x2=‎1‎‎3‎.故|AB|=‎4‎‎13‎‎3‎.‎ ‎12.设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y2=1(a>1,a∈R)上,过O的直线交椭圆C于A,B两点,F为椭圆C的左焦点.‎ ‎(1)若△FAB的面积的最大值为1,求a的值;‎ ‎(2)若直线MA,MB的斜率乘积等于-‎1‎‎3‎,求椭圆C的离心率.‎ 解析　(1)因为S△FAB=‎1‎‎2‎|OF|·|yA-yB|≤|OF|=a‎2‎‎-1‎=1,所以a=‎2‎.‎ ‎(2)由题意可设A(x0,y0),B(-x0,-y0),M(x,y),则x‎2‎a‎2‎+y2=1,x‎0‎‎2‎a‎2‎+y‎0‎‎2‎=1,kMA·kMB=y-‎y‎0‎x-‎x‎0‎·y+‎y‎0‎x+‎x‎0‎=y‎2‎‎-‎y‎0‎‎2‎x‎2‎‎-‎x‎0‎‎2‎=‎1-x‎2‎a‎2‎-‎‎1-‎x‎0‎‎2‎a‎2‎x‎2‎‎-‎x‎0‎‎2‎=‎-‎1‎a‎2‎(x‎2‎-x‎0‎‎2‎)‎x‎2‎‎-‎x‎0‎‎2‎=-‎1‎a‎2‎=-‎1‎‎3‎,‎ 所以a2=3,所以a=‎3‎,所以c=a‎2‎‎-‎b‎2‎=‎2‎,‎ 所以椭圆的离心率e=ca=‎2‎‎3‎=‎6‎‎3‎.‎ ‎13.(2019天津理,18,13分)设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为‎5‎‎5‎.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.‎ 解析　(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,ca=‎5‎‎5‎,又a2=b2+c2,可得a=‎5‎,b=2,c=1.‎ 所以,椭圆的方程为x‎2‎‎5‎+y‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立y=kx+2,‎x‎2‎‎5‎‎+y‎2‎‎4‎=1,‎整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-‎20k‎4+5‎k‎2‎,代入y=kx+2得yP=‎8-10‎k‎2‎‎4+5‎k‎2‎,进而直线OP的斜率yPxP=‎4-5‎k‎2‎‎-10k.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-‎2‎k.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-k‎2‎.由OP⊥MN,得‎4-5‎k‎2‎‎-10k·‎-‎k‎2‎=-1,化简得k2=‎24‎‎5‎,从而k=±‎2‎‎30‎‎5‎.‎ 所以,直线PB的斜率为‎2‎‎30‎‎5‎或-‎2‎‎30‎‎5‎.‎ ‎14.(2019天津文,19,14分)设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知‎3‎|OA|=2|OB|(O为原点).‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设经过点F且斜率为‎3‎‎4‎的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.‎ 解析　本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.‎ ‎(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有‎3‎a=2b.‎ 又由a2=b2+c2,消去b得a2=‎3‎‎2‎a‎2‎+c2,解得ca=‎1‎‎2‎.‎ 所以,椭圆的离心率为‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)由(1)知,a=2c,b=‎3‎c,故椭圆方程为x‎2‎‎4‎c‎2‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1.‎ 由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=‎3‎‎4‎(x+c).‎ 点P的坐标满足x‎2‎‎4‎c‎2‎‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1,‎y=‎3‎‎4‎(x+c),‎ 消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-‎13c‎7‎.代入到l的方程,解得y1=‎3‎‎2‎c,y2=-‎9‎‎14‎c.‎ 因为点P在x轴上方,所以Pc,‎3‎‎2‎c.‎ 由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).‎ 因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),‎ 故t‎4‎=‎3‎‎2‎cc+2c,解得t=2.则C(4,2).‎ 因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,‎ 又由圆C与l相切,得‎3‎‎4‎‎(4+c)-2‎‎1+‎‎3‎‎4‎‎2‎=2,可得c=2.‎ 所以,椭圆的方程为x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎12‎=1.‎