【数学】2019届一轮复习北师大版 坐标系 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 坐标系 学案

第57讲　坐标系 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解坐标系的作用．‎ ‎2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎4．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．‎ ‎2017·全国卷Ⅱ，22‎ ‎2017·全国卷Ⅲ，22‎ ‎2016·全国卷Ⅰ，23‎ ‎2016·北京卷，11‎ ‎　极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程．‎ 分值：5～10分 ‎1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系 ‎(1)相关概念 ‎①极坐标系：‎ 如图所示，在平面内取一个__定点__O，点O叫做极点，自极点O引一条__射线__Ox，Ox叫做极轴；再选定一个__长度单位__、一个__角度单位__(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ ‎②极坐标：‎ 一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．‎ ‎③点与极坐标的关系：‎ 一般地，极坐标(ρ，θ)与__　(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)　__表示同一个点，特别地，极点O的坐标为__　(0，θ)(θ∈R)　__，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有__无数__种表示．‎ 如果规定ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标__(ρ，θ)__表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： ‎3．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ ‎(0≤θ＜π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 ‎__　θ＝α(ρ∈R)　__‎ 或__　θ＝π＋α(ρ∈R)　__‎ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a ‎(0＜θ＜π)‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或打“”)．‎ ‎(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆．(　×　)‎ ‎(2)在伸缩变换下，椭圆可变为圆，圆可变为椭圆．(　√　)‎ ‎(3)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α. (　√　)‎ ‎(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.(　×　)‎ ‎2．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为__y ‎＝3sin_2x__.‎ 解析　由知 代入y＝sin x中得y′＝3sin 2x′，即y＝3sin 2x.‎ ‎3．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为__　　__.‎ 解析　因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.‎ ‎4．曲线ρ＝4sin θ与ρ＝2的交点坐标为__　，　__.‎ 解析　由得sin θ＝，∴θ＝或.‎ ‎5．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a＞0)的一个交点在极轴上，则a＝__　　__.‎ 解析　曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，曲线C1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线C2上，代入解得a＝.‎ 一　平面直角坐标系下图形的伸缩变换 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示，在伸缩变换的作用下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．‎ ‎【例1】 (1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：求点A经过φ变换所得的点A′的坐标．‎ ‎(2)求直线b：y＝6x经过φ：变换后所得到的直线l的方程．‎ 解析　(1)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：得到由于点A的坐标为，‎ 于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，∴A′(1，－1)为所求．‎ ‎(2)设直线l上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将代入y＝6x，得2y′＝6×，‎ ‎∴y′＝x′，即y＝x为所求．‎ 二　极坐标与直角坐标的互化 极坐标方程与普通方程的互化技巧 ‎(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方的技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．‎ ‎(2)巧借两角和差公式，转化为ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．‎ ‎(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ，将y换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．‎ ‎【例2】 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ＞0)．‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程；‎ ‎(2)曲线C2的方程为＋＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求的最小值．‎ 解析　(1)曲线C1的方程可化为3(x2＋y2)＝12x－10，‎ 即(x－2)2＋y2＝.　‎ ‎(2)依题意可设Q(4cos θ，2sin θ)，由(1)知圆C1的圆心坐标为C1(2,0)，半径r1＝.‎ 故|QC1|＝＝ ‎＝2，‎ 所以|QC1|min＝，所以|PQ|min＝|QC1|min－r1＝.‎ 三　极坐标方程的求法与应用 已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．‎ ‎【例3】 (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ 解析　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α).‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ‎＝4cos α· ‎＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ ‎1．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．‎ 解析　设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，将代入x2－＝1，得－＝1，化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则所求焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)．‎ ‎2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ 解析　(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.‎ 因为ρ2－2ρcos＝2，‎ 所以ρ2－2ρ＝2.‎ 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆直角坐标方程相减，得过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin＝.‎ ‎3．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．‎ 解析　圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ，它表示圆心为点，半径为的圆．‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ 解析　(1)消去参数t得l1的普通方程为y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程为y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)．‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．‎ 联立 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．‎ 故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M的极径为.‎ 错因分析：忽略变量的取值范围，导致错误．‎ ‎【例1】 求极坐标方程ρ＝所对应的直角坐标方程．‎ 解析　由ρ＝(sin θ≠0)，得ρ＝(cos θ≠±1)，‎ ‎∴ρ－ρcos θ＝2(cos θ≠±1)，(*)‎ ‎∴＝x＋2，化简得y2＝4x＋4，‎ 当cos θ＝1时，(*)式不成立；‎ 当cos θ＝－1时，由(*)式知ρ＝1，∴x＝ρcos θ＝－1.‎ 综上可知，y2＝4x＋4(x≠－1)即为所求．‎ ‎【跟踪训练1】 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0 ＝2，若曲线C1与C2‎ 的公共点都在C3上，求a.‎ 解析　(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.‎ 课时达标　第57讲 ‎[解密考纲]高考中，主要涉及曲线的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，能在极坐标系中给出简单图形的极坐标方程，常以解答题的形式出现．‎ ‎1．求椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程．‎ 解析　由得①‎ 将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.‎ 因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.‎ ‎2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．‎ ‎(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．‎ 解析　(1)由点A在直线l上，得cos＝a，则a＝，故直线l的方程可化为ρsin θ＋ρcos θ＝2，得直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.‎ ‎(2)消去参数α，得圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1,0)到直线l的距离d＝＝<1，所以直线l与圆C相交．‎ ‎3．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，曲线C1，C2相交于A，B两点．‎ ‎(1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求弦AB的长度．‎ 解析　(1)曲线C2：θ＝(ρ∈R)表示直线y＝x，曲线C1：ρ＝6cos θ ，即ρ2＝6ρcos θ，所以x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.‎ ‎(2)∵圆心(3,0)到直线的距离d＝，r＝3，‎ ‎∴弦长AB＝2＝3.‎ ‎∴弦AB的长度为3.‎ ‎4．在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsin θ＝2，点M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2，求曲线C2的极坐标方程．‎ 解析　设 P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)，‎ 由|OP|·|OM|＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝.‎ ‎∵M是C1上任意一点，‎ ‎∴ρ2sin θ＝2，即sin θ＝2，ρ1＝2sin θ.‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎5．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，直线l的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设Q为曲线C1上一动点，求点Q到直线l距离的最小值．‎ 解析　(1)根据 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得C1的直角坐标方程为x2＋2y2＝2，直线l的直角坐标方程为x＋y＝4.‎ ‎(2)设Q(cos θ，sin θ)，则点Q到直线l的距离为 d＝＝≥＝，‎ 当且仅当θ＋＝2kπ＋，即θ＝2kπ＋(k∈Z)时取等号．‎ ‎∴点Q到直线l距离的最小值为.‎ ‎6．(2018·四川绵阳诊断考试)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 (α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．‎ 解析　(1)将C的参数方程化为普通方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，即x2＋y2－6x－8y＝0，所以曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.‎ ‎(2)把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋3，‎ 所以点A的极坐标为A.‎ 把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋4，‎ 所以点B的极坐标为B.‎ 所以S△AOB＝ρ1ρ2sin∠AOB ‎＝(4＋3)(3＋4)sin＝12＋.‎