2018-2019学年安徽省池州市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年安徽省池州市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省池州市高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．若函数的最小正周期为，则（ ）‎ A．24 B．18 C．12 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意，根据三角函数的最小正周期的公式，列出方程，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 依题意，根据三角函数的最小正周期的公式，可知，故，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的最小正周期应用，其中解答中熟记三角函数的最小正周期的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，利用列举法求得集合B，再根据交集的运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 依题意，集合，故，故选.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的表示与集合的交集的运算，其中解答中正确利用列举法表示出集合B，再根据集合的交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，根据，利用三角函数的诱导公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎4．函数的零点一定位于区间（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据基本初等函数的单调性，求得函数在上单调递增，再由，利用零点存在定理，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，易知函数，在上均单调递增，‎ 故函数在上单调递增；‎ 因为，而，‎ 此时，故函数的零点一定位于区间上，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中利用基本初等函数的单调性，的奥函数的单调性，再由零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎5．已知平面向量满足，，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意，利用向量的模的运算，得，再由，得到方程关于的，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 依题意， （1）；‎ 因为，故，故（1）式化为，故，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的模的运算，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的模的计算公式和向量的坐标运算公式，合理准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎6．若，，，则实数的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，即可比较大小，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 依题意，由对数函数的性质可得，‎ 由指数函数的性质及对数的性质，可得，‎ 故，故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对函数的图象与性质，合理应用是解答额关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎7．若，则（ ）‎ A． B． C．10 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，根据三角函数的基本关系式，化简为齐次式，代入即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据三角函数的基本关系式可得，故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，化简为齐次式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎8．若函数，将函数的图像向左平移（ ）个单位后关于轴对称.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位后得到函数，再利用三角函数的性质，即可求得，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，将函数的图像向左平移个单位后得到函数 ‎，此时可得函数图像关于轴对称，故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象变换，及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中正确利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，在合理利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9．若函数的图像关于原点对称，则（ ）‎ A．0 B．1 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】化简函数的解析式，得,根函数为奇函数，求得，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数；‎ 依题意，函数为奇函数，故，‎ 故，即，解得，故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数的取值问题，其中解答中根据三角函数的基本关系式，合理化简函数的解析式，再利用函数的奇偶性得到是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.‎ ‎10．已知，且，若，则函数的大致图像为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，令，故，解得，得到，根据幂函数的性质，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，令，故，解得或（舍去），‎ 故，故，故的大致图像为A，故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中根据题设条件，化简求得，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎11．已知函数在上单调递增，且存在唯一，使得，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，函数在区间上单调递增，利用三角函数的性质，列出不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 依题意，函数在区间上单调递增，可得，‎ 解得，故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用三角函数在区间上的单调性求解参数的取值范围问题，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理列出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎12．若函数，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，将函数的图像向右平移1个单位，得到函数为偶函数，且在上单调递增，进而得到函数的图像关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，将函数的图像向右平移1个单位，得到函数；‎ 可知函数为偶函数，且在上单调递增，故函数的图像关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以 或，解得或，故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中根据函数的图象变换，得出函数的对称性和单调性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13．若，，则在第__________象限．‎ ‎【答案】四 ‎【解析】根据三角函数在各个象限的符号进行判定，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 依题意，，则在第一或第四象限，在第一或第四象限以及轴的非负半轴，‎ 又由，则在第二或第四象限，故在第四象限.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数符号的应用，其中解答中熟记三角函数在各个象限的符号，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎14．函数的单调递增区间为__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】由题意，求得函数的定义域为，在根据复数函数的单调性“同增异减”，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，令，解得或，‎ 所以函数的定义域为；‎ 因为在上单调递减，在上单调递增，‎ 故函数的单调递增区间为 ，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复合函数的单调性的判定，其中解答中熟记复合函数的单调性的判定方法：同增异减是解答的关键，同时注意函数的定义域是解答的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于中基础题.‎ ‎15．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，关于的不等式在上恒成立，转化为对一切恒成立，由三角函数的值域和二次函数的性质，求得的值域，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 依题意，关于的不等式在上恒成立，‎ 即对一切恒成立；‎ 又由 ，故，‎ 解的，即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答不等式的恒成立问题通常通过分离参数，转化函数的值域（最值）问题求解，同时注意函数的性质的应用是解答的关键，着重考查了转化思想，分离参数思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.‎ ‎16．设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，设函数，把函数的零点问题转化为，有3个交点，作出函数的图像，结合图象，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设函数，令，即，‎ 所以问题转化为，有3个交点；‎ 在坐标系内，作出函数的图像如下所示，‎ 结合图象可知，，故实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的零点问题，以及函数图象的应用问题，其中解答中把函数的零点问题转化为，有3个交点，作出函数的图像，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由集合A，得，求得，在利用补集的运算，即可求解；‎ ‎（2）由集合，在由，得，结合数轴，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若，则，故，‎ 故，则；‎ ‎（2）‎ 因为，故，结合数轴可知，‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的包含关系的应用，以及集合的运算问题，其中解答中根据函数的定义域和值域，准确求解集合A、B是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎18．角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的坐标为，其中.‎ ‎（1）求以及的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）,（2）‎ ‎【解析】（1）依题意，根据单位圆的方程，即可解得的值，再根据三角函数的定义，即可求解得值；‎ ‎（2）根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，化简函数的三角函数式为齐次式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，，故；‎ 因为，故，故；‎ 故.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数定义的应用，以及利用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式化简求解问题，其中解答中熟记三角函数的定义，及利用三角函数的诱导公式和基本关系式化简三角函数式为齐次式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求证：函数为奇函数；‎ ‎（2）用定义证明：函数是上单调递增.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1）根据对数的运算性质，求得函数的解析式，利用函数的奇偶性的定义，即可判定函数的奇偶性，得到证明；‎ ‎（2）由（1）利用函数的单调性的定义，即可判定函数的单调性，得到证明.‎ ‎【详解】‎ 由题意，化简，故 ‎（1）函数的定义域为，关于原点对称；‎ ‎，故函数为奇函数；‎ ‎（2）任取，且，‎ 则 ‎ 因为，故，故 所以函数是上单调递增.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用定义法判定函数的奇偶性和函数的单调性，其中解答中牢记函数的单调性和奇偶性的定义和判定方法是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎20．已知函数，判断该函数的零点个数，并说明理由.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】依题意，令，即，转化为函数，的图像的交点，结合两函数的图象求解，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 依题意，令，故 在同一直角坐标系中分别作出，的图像如下图所示，‎ 观察可知，，的图像有两个交点，‎ 即函数有两个零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的零点问题，以及函数的图象的应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象在同一坐标系下交点的个数，作出两函数的图象，结合图象求解是解答本题的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎21．中，是边上靠近的三等分点，是边上靠近的三等分点，，，连接，，.‎ ‎（1）用、表示和；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）由题，作出图形，利用向量的运算法则和平面向量的基本定理，即可求解；‎ ‎（2）根据向量的数量积的运算，求得，再由向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）作出图形如下所示：‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎（2）‎ 故 故，则，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量的基本定理和平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中牢记向量的运算法则，合理准确应用平面向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎22．已知函数的部分图像如下所示，其中，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间；‎ ‎（3）求函数在上的值域.‎ ‎【答案】（1） （2）（3）‎ ‎【解析】（1）依题意，根据图象求得函数的最小正周期，利用周期的公式，求得的值，再由，即可求得的值.‎ ‎（2）由（2）得到函数的解析式，利用三角函数的性质，即可求解函数的单调递增区间；‎ ‎（3）由时，求得，进而得到故，即可得到函数的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，，故，故 又，故 故，因为，故 ‎（2）依题意，‎ 令 故，‎ 故 故函数的单调递增区间为 ‎（3）当时，，，‎ 故，故，‎ 即函数在上的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用图象求解三角函数的解析式问题，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中合理应用图象和题设条件求得函数的解析式，合理应用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎