【数学】2019届一轮复习人教A版圆的标准方程与一般方程学案

【数学】2019届一轮复习人教A版圆的标准方程与一般方程学案

专题08 圆的标准方程与一般方程 ‎1．表示圆的条件 当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆；‎ 当D2+E2－4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点；‎ 当D2+E2－4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义，不表示任何图形．‎ ‎2．圆的标准方程与一般方程 圆的标准方程 圆的一般方程 定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径 方程 圆心 半径 区别与 联系 ‎（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；‎ ‎（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；‎ ‎（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程 ‎3．点与圆的位置关系 标准方程的形式 一般方程的形式 点（x0，y0）在圆上 点（x0，y0）在圆外 点（x0，y0）在圆内 ‎【必记结论】①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．‎ ‎4．直线与圆的三种位置关系 ‎（1）相离：没有公共点；‎ ‎（2）相切：只有一个公共点；‎ ‎（3）相交：有两个公共点．‎ ‎5．圆与圆的位置关系 两圆的位置关系 外切 相切 两圆有唯一公共点 内切 内含 相离 两圆没有公共点 外离 相交 两圆有两个不同的公共点 ‎6．直线与圆的位置关系的判断方法 判断方法 直线与圆的位置关系 几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断 方程无实数解，直线与圆相离 方程有唯一的实数解，直线与圆相切 方程有两个不同的实数解，直线与圆相交 ‎7．圆与圆的位置关系的判断方法 圆与圆的位置关系的判断方法有两种：‎ ‎（1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长R，r的关系来判断（如下图，其中）．‎ ‎ ‎ ‎（2）代数法：设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②，‎ 联立①②‎ ‎，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．‎ ‎8．两圆相交时公共弦所在直线的方程 设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②，‎ 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D1－D2）x+（E1－E2）y+F1－F2=0 ③．‎ 方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．‎ 圆O1：和圆的位置关系是________________．‎ ‎【答案】相交 ‎【解析】圆的圆心坐标为（1，0），半径长，圆的圆心坐标为（0，2），半径长，‎ 故两圆的圆心距，而，则，故两圆相交．‎ 圆心在直线上，且过点的圆的方程为________________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】方法1：设点C为圆心，∵点C在直线上，∴可设点C的坐标为．‎ 又该圆经过A，B两点，∴|CA|=|CB|，‎ 即，解得，‎ ‎∴圆心C的坐标为，半径r=．故所求圆的方程为．‎ 方法2：设所求圆的标准方程为，‎ 由题意得，解得，故所求圆的方程为．‎ 方法3：设圆的一般方程为，则圆心坐标为．‎ 由题意得，解得．故所求圆的方程为．‎ ‎（1）已知圆C1：（x+1）2+（y－1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1=0对称，则圆C2的方程为________________；‎ ‎（2）若圆（x+1）2+（y－3）2=9上相异两点P，Q关于直线 x+2y－4=0对称，则 的值为________________．‎ ‎【答案】（1）；（2）2．‎ ‎【解析】（1）圆C1的圆心为（－1，1），半径长为1，设圆C2的圆心为（a，b），‎ 由题意得且，解得a=2，b=－2，‎ 所以圆C2的圆心为（2，－2），且半径长为1，故圆C2的方程为（x－2）2+（y+2）2=1．‎ ‎（2）已知圆（x+1）2+（y－3）2=9的圆心为（－1，3），‎ 由题设知，直线 x+2y－4=0过圆心，则 ×（－1）+2×3－4=0，解得 =2．‎ 已知直线y= x+3与圆相交于M，N两点，若|MN|=2，则 的值是________________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由已知得圆的标准方程为，则该圆的圆心为（3，2），半径为2．设圆心到直线y= x+3的距离为d，则，解得d=，即，解得或．‎ 已知点P（2，2），圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．‎ ‎（1）求点M的轨迹方程；‎ ‎（2）当|OP|＝|OM|时，求直线l的方程及的面积．‎ ‎【答案】（1）M的方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2；（2）l的方程为y＝－x＋，的面积为．‎ ‎【解析】（1）圆C的方程为x2＋（y－4）2＝16，圆心为（0，4），半径r＝4．‎ 设M（x，y），则．‎ 由题设可知，即，即（x－1）2＋（y－3）2＝2，‎ 由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2．‎ ‎（2）由（1）可知，点M的轨迹方程是以N（1，3）为圆心，半径为的圆，‎ 由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．‎ 因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，故直线l的方程为y＝－x＋．‎ 又|OM|＝|OP|＝2，点O到直线l的距离为，|PM|＝，所以的面积为．‎ ‎（1）已知点在圆O：外，则直线与圆O的位置关系是________________；‎ ‎（2）若直线与圆不相交，则实数a的取值范围是________________．‎ ‎【答案】（1）相交；（2）（－∞，－－2]∪[－2，＋∞）．‎ ‎【解析】（1）因为在圆O：外，所以，‎ 而圆心O到直线的距离，‎ 所以直线与圆相交．‎ ‎（2）若直线与圆不相交，则直线与圆相离或相切，故有，解得a≥－2或a≤－－2，‎ 故实数a的取值范围是（－∞，－－2]∪[－2，＋∞）．‎ 已知点在圆上，则 ‎（1）的最大值为________________，最小值为________________；‎ ‎（2）的最大值为________________，最小值为________________．‎ ‎【答案】（1），；（2）， ．‎ ‎【解析】（1）设，则，t可视为直线的纵截距，‎ ‎∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，‎ 即直线与圆相切时的纵截距，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即，‎ 解得或，∴的最大值为，最小值为．‎ ‎（2）可视为点与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．‎ 设过原点的直线的方程为，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，‎ 即，解得或，∴的最大值为，最小值为．‎ ‎【名师点睛】（1）与圆的几何性质有关的最值：①记O为圆心，圆外一点A到圆上距离最小为，最大为；②过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；③记圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为，最小距离为；④过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆．（2）与圆的代数结构有关的最值：①形形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．‎ 已知点，点M（3，1），圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4．‎ ‎（1）求过点P的圆C的切线方程；‎ ‎（2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．‎ ‎【答案】（1）；（2）1．‎ ‎【解析】由题意得圆心C（1，2），半径长r＝2．‎ ‎（1）因为，所以点P在圆C上．‎ 又，所以切线的斜率，‎ 所以过点P的圆C的切线方程是，即．‎ ‎（2）因为，所以点M在圆C外部．‎ 当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，‎ 又点C（1，2）到直线x＝3的距离d=3－1=2=r，所以直线x＝3是圆的一条切线．‎ 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝ （x－3），即 x－y＋1－3 ＝0，‎ 则圆心C到切线的距离d=，解得 ＝，‎ 所以切线方程为y－1＝（x－3），即3x－4y－5＝0．‎ 综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3=0或3x－4y－5＝0．‎ 因为|MC|=，所以过点M的圆C的切线长为．‎ ‎1．以点为圆心且与直线相切的圆的方程为________________．‎ ‎2．设圆的弦的中点为，则直线的方程是________________．‎ ‎3．圆截直线所得的弦长为8，则的值是________________．‎ ‎4．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________________．‎ ‎5．过点、，且圆心在上的圆的方程是________________．‎ ‎6．已知圆的方程为，过点的圆的三条弦的长分别为，若成等比数列，则其公比的最大值为________________．‎ ‎7．设，若直线与圆相切，则m+n的取值范围是________________．‎ ‎8．（1）圆心在直线上，与轴相交于两点的圆的方程为________________；‎ ‎（2）经过三点的圆的方程为________________．‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx－y－‎2m－1＝0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．‎ ‎10．若直线将圆的周长分为两部分，则直线的斜率为________________．‎ ‎11．过定点的直线：与圆相切于点，则________________．‎ ‎12．已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1和两点A（－m，0），B（m，0）（m>0）．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为________________．‎ ‎13．已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是________________．‎ ‎14．已知直线与圆：相交于两点，且为等边三角形，‎ 则圆的面积为________________．‎ ‎15．已知点，圆：，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点．‎ ‎（1）求的轨迹方程；‎ ‎（2）当时，求直线的方程及的面积．‎ ‎16．已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．‎ ‎（1）证明：坐标原点O在圆M上；‎ ‎（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程．‎ ‎1．【2016江苏】如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆：及其上一点A(2，4)．‎ ‎（1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；‎ ‎（2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；‎ ‎（3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围．‎ ‎2．【2018江苏】如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．‎ ‎（1）求椭圆C及圆O的方程；‎ ‎（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；‎ ‎②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．‎ ‎1．【答案】‎ ‎【解析】由题可得，故所求圆的方程为．‎ ‎2．【答案】‎ ‎【解析】，所以圆心为，‎ 因此．‎ ‎3．【答案】或 ‎【解析】∵弦长为8，圆的半径为5，∴弦心距为3，∵圆心坐标为，∴，解得为或．‎ ‎【名师点睛】涉及圆中弦长的问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断．‎ ‎4．【答案】x－y＋2＝0‎ ‎【解析】因为圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，所以直线l为两圆心连线线段的中垂线，即．‎ ‎5．【答案】‎ ‎【解析】线段AB的中垂线方程为，所以由，的交点得圆心，半径为，因此所求圆的方程为．‎ ‎6．【答案】‎ ‎【解析】将圆的一般方程化为标准方程为，数列 的公比取最大值时，为最短弦，此时弦心距且，为最大弦（直径），因此公比的最大值是．‎ ‎7．【答案】‎ ‎【解析】由题意可知|m+n|=，整理得mn=m+n+1．由mn≤（）2可知m+n+1≤（m+n）2，解得m+n∈（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）．‎ ‎8．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由已知可设圆心为，半径为，则圆的方程为．‎ 代入两点得，解得．‎ 于是所求圆的方程为．‎ ‎（2）设圆的方程为，‎ 代入三点，可得，解得．‎ 于是所求圆的方程为．‎ ‎【名师点睛】求圆的方程一般采用待定系数法，方程有两种设法，一是设为标准方程，二是设为一般方程，第（1）问设标准方程，第（2）问设一般方程，第（1）问使用标准方程时，要学会巧设圆心，列方程组解出圆心和半径，第（2）问求过三点的圆的方程，一般设圆的一般方程，然后列方程组即可．‎ ‎9．【答案】（x－1）2＋y2＝2‎ ‎【解析】因为直线mx－y－‎2m－1＝0（m∈R）恒过点（2，－1），所以当点（2，－1）为切点时，半径最大，此时半径r＝，故所求圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝2．‎ ‎10．【答案】或 ‎【解析】由题意知直线将圆分成的两部分中劣弧所对圆心角为，‎ 又圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，即，‎ 解得或，所以直线的斜率为或．‎ ‎11．【答案】4‎ ‎【解析】直线：过定点，的圆心，半径为：3；定点与圆心的距离为：．过定点的直线：与圆：相切于点，则．‎ ‎【名师点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法：（1）几何法：利用d与r的关系；（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断；（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．‎ ‎12．【答案】6‎ ‎【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为（3，4），半径r＝1，且|AB|＝‎2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|．要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】∵动圆C与直线相切于点，故直线AC与直线垂直，故C落在直线上，设C点坐标为，则圆的半径r=，则圆的方程为：．令，则，即，∵圆C被x轴所截得的弦长为2，∴，解得：，或，故所有圆C的半径之积为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】圆：，化为，圆心，半径，因为直线和圆相交，为等边三角形，所以圆心到直线 的距离为，即，解得，所以圆的面积为．‎ ‎15．【答案】（1）；（2）的方程为；的面积为．‎ ‎【解析】（1）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，‎ 设，则，，‎ 由题设知，故，即．‎ 由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是．‎ ‎（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．‎ 由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而．‎ 因为ON的斜率为3，所以直线的斜率为，故直线的方程为．‎ 又，O到的距离为，，所以的面积为．‎ ‎16．【答案】（1）证明见解析；（2）直线：，圆：或直线：，圆：．‎ ‎【解析】（1）设，．‎ 由可得，则．又，故．‎ 因此的斜率与的斜率之积为，所以，故坐标原点在圆上．‎ ‎（2）由（1）可得．‎ 故圆心的坐标为，圆的半径．‎ 由于圆过点，因此，故，‎ 即，‎ 由（1）可得，所以，解得或．‎ 当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为．‎ 当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为．‎ ‎1．【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【分析】（1）根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径；（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围．‎ ‎【解析】圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5，．‎ ‎（1）由圆心N在直线x=6上，可设．因为N与x轴相切，与圆M外切，‎ 所以，于是圆N的半径为，从而，解得．‎ 因此，圆N的标准方程为．‎ ‎（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为．‎ 设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，‎ 则圆心M到直线l的距离 因为而 所以，解得m=5或m=-15，故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0．‎ ‎（3）设 因为，所以 ①，‎ 因为点Q在圆M上，所以 ②，‎ 将①代入②，得．‎ 于是点既在圆M上，又在圆上，‎ 从而圆与圆没有公共点，‎ 所以解得．‎ 因此，实数t的取值范围是．‎ ‎2．【答案】（1）椭圆C：，圆O：；（2）①，②．‎ ‎【解析】（1）因为椭圆C的焦点为，‎ 可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，‎ 所以，解得，因此椭圆C的方程为．‎ 因为圆O的直径为，所以其方程为．‎ ‎（2）①设直线l与圆O相切于，则，‎ 所以直线l的方程为，即．‎ 由消去y得．（ ）‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，‎ 所以．‎ 因为，所以，因此点P的坐标为．‎ ‎②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．‎ 设，由（ ）得，‎ 所以．‎ 因为，所以，即，‎ 解得舍去），则，因此P的坐标为．‎ 综上，直线l的方程为．‎ 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